Jak pokazaliśmy w Stwierdzeniu (13.4), operator Laplace'a jest przemienny z operatorami naturalnej reprezentacji grupy S⁢O⁢3⁢R. Sytuacja ta sugeruje spojrzenie na R3\0 jako na produkt sfery S2 i prostej R.

Technicznie odbywa się ono poprzez wprowadzenie na sferze współrzędnych ”geograficznych”: współrzędnej θ - ”szerokości geograficznej” , stałej na ”równoleżnikach” i podającej liczony od 0 do π kąt między wektorem położenia a ”osią obrotu Ziemi” ( osią 0⁢x3→ przyjętego układu kartezjańskiego) oraz współrzędnej φ - ”długości geograficznej” - stałej na południkach - podającej kąt liczony od 0 do 2⁢π od ”południka 0”, za który przyjmiemy linię przecięcia sfery z półpłaszczyzną x1⁢x2 dla x1>0. Zatem mamy

gdzie 0<θ<π,0⁢φ⁢2⁢π oraz 0,r<+∞ jest odległością od zera. Współrzędne θ,φdają po wyrzuceniu południka 0 wraz z biegunami wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie płaskiej mapy na sferę.

Wzory (14.1) można traktować albo jako równoległy do kartezjańskiego opis punktów W=R3\{półpłaszczyznax1x2dla x>0} albo jako wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie S:Ω→W, gdzie

Tej zamianie współrzędnych odpowiada nowy opis operatora Laplace'a. Przenosząc funkcję F⁢x,y,z określoną na W do zbioru Ω, tak że jej obraz wynosi

Po żmudnych rachunkach otrzymujemy

Przedmiotem naszego zainteresowania w tym wykładzie będzie widmo punktowe σp⁢H operatora energii (13.8) to znaczy zbiór wartości własnych H. Wiemy już (Stwierdzenie 13.3), że dla potencjału U, przyjmującego wartości rzeczywiste widmo σp⁢H przyjmuje wartości rzeczywiste.

W dalszym ciągu dla ustalonej liczby λ∈C wygodnie będzie rozważać operator Hλ=H-λ⁢I. Oznaczając

Możemy wtedy widmo punktowe H opisać warunkiem:

Oczywiście widmo H zależy od potencjału U.

W tym rozdziale skupimy się na potencjale coulombowskim

Strategia naszego postępowania jest następująca:

Korzystając z tego, że potencjał (14.4) jest niezmienniczy dla naturalnego działania grupy S⁢O⁢3,R użyjemy niebanalnego faktu (którego dowód naszkicowany jest w punkcie 14.4 ), że w przypadku potencjału sferycznie symetrycznego zachodzi implikacja:

Następnie, korzystając z postaci (14.2) operatora Laplace'a zastosujemy ”metodę separacji zmiennych ”, prowadzącą do trzech równań różniczkowych zwyczajnych na funkcje △,Φ i R z osobna.

Równania te nie są niezależne - łączy je występowanie wspólnych ”stałych separacji”. Ich wyznaczenie za pomocą równań na φ i na θ stanowi drugą część postępowania. Nie korzysta ona z postaci (14.4) naszego potencjału a jedynie z jego symetrii sferycznej.

Krok ostatni, to dyskusja równania na R⁢r z wykorzystaniem (14.4). Przynosi ona opis możliwych wartości własnych H zgodny z warunkami Bohra i Balmera. A zatem potwierdza trafność równania Schro¨dingera.

W przypadku sferycznie symetrycznego potencjału V, korzystając z opisu (14.2) operatora Laplace'a, otrzymany dla operatora Hλ=H-λ⁢I
warunek Hλ⁢F=0 w postaci

Jak widzimy, nasz operator zapisuje się w formie

gdzie część Hλr zawiera tylko różniczkowanie względem r i mnożenie przez funkcje zależne od r. Analogicznie wygląda sytuacja dla Hλθ⁢φ, tym razem względem φ i θ oraz funkcji tych argumentów.

Zastosujmy ten operator do funkcji (14.5). Wtedy Hλr działa tylko na R⁢r a Hλθ⁢φ tylko na △θ⋅ϕ⁢φ. W rezultacie dzieląc całości przez F i przenosząc na prawą stronę część zależną od θ,φ otrzymamy

Ponieważ po lewej stronie (14.7) mamy funkcję zmiennej r a po prawej zmiennych θ i φ, równość ta może zachodzić tylko wtedy , kiedy obie strony są stałe. Otrzymamy więc:

Ostatnia równość po podstawieniu postaci Hλθ,φ i po pomnożeniu przez sin2⁡θ przyjmie formę:

Wykonując różniczkowania, dzieląc przez △θ⁢ϕ⁢φ, i przenosząc wyrazy zawierające θ na jedną stronę a zawierające φ na drugą, otrzymamy

skąd, podobnie jak poprzednio lewa strona i prawa strona równe są stałej d. Otrzymamy zatem równania

oraz

Każde rozwiązanie równania (14.8) jest kombinacją liniową funkcji ei⁢d⁢φ gdzie d ma dwie wartości zespolone. Na to, aby ϕ⁢φ była funkcją 2⁢π okresową - co wynika z opisu we współrzędnych sferycznych, różniczkowalnej na R3\0 funkcji F⁢θ,φ,r=R⁢r△θ⁢Φ⁢φ, potrzeba i wystarcza by d=m2 dla m∈Z. Zatem stała separacji c musi być taka żeby określone na 0,π równanie (14.9) miało rozwiązania określone na (0,π.)

Zajmiemy się równaniem (14.9). Naszym celem jest pokazanie, że ma ono niezerowe rozwiązanie na 0,π tylko wówczas, gdy c=l⁢l+1 dla l=0,1,2,…

Postępowanie polega na przechodzeniu do coraz prostszych równań w taki sposób, że kolejne równania zawierają c jako parametr oraz, że posiadanie rozwiązania przy ustalonym c przez równanie poprzednie implikuje posiadanie rozwiązania przy tym samym c przez równanie następne. W rezultacie po pewnej liczbie kroków dochodzimy do równań:

Zagadnienie, przy jakim c takie równanie posiada rozwiązania na (-1, 1), jest jednym z klasycznych zadań analizy i wiąże się z teorią wielomianów Legendre'a. w innym sformułowaniu jest to pytanie o widmo punktowe operatora

Nasze postępowanie przebiega w kilku krokach.

Krok pierwszy:

Od równania (14.9) przejdziemy do równania

gdzie G ma być funkcją określoną na (-1,1).

Przejścia dokonujemy, podstawiając θ=arccos⁡w, tak, że G⁢w=△arccos⁡w lub inaczej:

Z (14.13) otrzymujemy

oraz

Wstawiając te wartości do (14.9), po przekształceniach, otrzymamy (14.13).

Krok drugi:

Od równania (14.13) przejdziemy do równania (14.14 ), rozważanego, podobnie jak (14.13), na odcinku (-1, 1).

Indeks m pojawia się w (14.14) w związku z następującą dalej redukcją, obniżającą m do m-1 i w konsekwencji doprowadzającą do (14.10) przy m=0.

Aby przejść od (14.13) do (14.14)(m), przyjmijmy

a zatem

Po prostych,lecz pracochłonnych obliczeniach, pokazujemy, że spełnienie przez G o postaci (14.15) warunku (14.12) implikuje, że Um spełnia równanie (14.14)(m).

Krok trzeci:

Pojawiają się one w związku z kilku zagadnieniami analizy. Powodem naszego zainteresowania jest ich związek z równaniem Laplace'a. Nie mając zamiaru przedstawić w pełny sposób tej klasy funkcji specjalnych, skoncentrujmy się na jej własnościach związanych z pytaniem:

(c) Z warunków dd⁢x⁢1-x2⁢d⁢fid⁢x=ci⁢fi dla i=1,2 otrzymamy

Lewa strona jest równa 1-x2⁢d⁢f1d⁢x⁢f2-d⁢f2d⁢x⁢f1 w granicach 1,-1 a zatem wynosi 0.

(d) Z (b) i (c) wynika ortogonalność funkcji Pi a z (a) wynika, że przestrzeń liniowa rozpinana przez P0,…⁢Pn, jest zarazem przestrzenią rozpinaną przez 1,x,x2,…,xn.

Badając wartości własne operatora energii

rozważamy rodzinę operatorów Hλ=H⁢λ-I dla λ∈C i badamy warunek Hλ=0.

W przypadku potencjału coulombowskiego

gdzie e jest ładunkiem elektronu a ∈0 stałą dielektryczną próżni, wygodnie jest w opisie Hλ przejść do współrzędnych sferycznych, zapisując warunek Hλ=0 w postaci (14.6).

Jak pokazaliśmy, metoda separacji zmiennych prowadzi do równania Hλr-c⁢R⁢r=0, które po wykonaniu różniczkowań, podzieleniu przez r2, podstawieniu za U potencjału coulombowskiego (14.23) oraz uwzględnieniu, że stała separacji c musi przyjmować jedną z wartości l⁢l-1 dla l=1,2,3,… przybiera postać:

Naszym celem będzie zbadanie, dla jakich λ powyższe równanie posiada rozwiązanie oraz powiązanie otrzymanego warunku z występującymi tu parametrami fizycznymi. (Przypomnijmy, że ze Stwierdzenia(13.3) wynika, że λ∈R ). W celu możliwie jaknajwiększego uniezależnienia współczynników naszego równania od parametrów fizycznych, przejdziemy do ”unormowanej” zmiennej ρ=ra1, gdzie a1=4π∈0ℏ2m⁢e2 jest promieniem Bohra (porównaj (12.8)). Oznaczymy też μ=-8π∈0a1e2⋅λ.

W wyniku tych zmian otrzymamy równanie

gdzie ”obecna” funkcja R jest równa dawnej funkcji R od zmiennej a1⋅ρ.

Warunek F∈L2⁢R3,d⁢x dla F(r,θ,φ)=R(r)⋅△(θ)⋅ϕ(φ) prowadzi do warunku:

i będziemy szukać rozwiązań (14.24) spełniających (14.25). Przekształcimy równanie (LABEL:14.5.4), aby zależność od parametru l było łatwiej poddać kontroli a także, aby uprościć jego postać.

Wskazówką przy szukaniu odpowiedniego podstawienia mogą być następujące dwie obserwacje: Uproszczenie równania (14.24) do

daje równanie o podobnych (mamy nadzieję) rozwiązaniach dla małych wartości ρ. Co więcej, dla (14.27) możemy odgadnąć dwa liniowo niezależne rozwiązania. Są nimi

Z nich tylko α1 spełnia dla małych ρ warunek (LABEL:14.5.4). Podobnie dla dużych ρ możemy (14.24) uprościć do

Równanie to ma dwa liniowo niezależne rozwiązania β1⁢ρ=e-μ⁢ρ i β2=eμ⁢ρ. Ponieważ, jak pokazaliśmy w Stwierdzeniu 13.3, λ a zatem μ są rzeczywiste, to całkowalność rozwiązań (14.28) mamy szansę uzyskać tylko dla μ>0 ( zatem λ<0 ).

W wyniku tych obserwacji zapropononujemy podstawienie

Wtedy

oraz

I w rezultacie podstawiając te wartości oraz (14.29 ) do równania (14.27), widzimy, że L musi spełniać równanie:

Rozwińmy funkcję L w szereg Laurenta o środku w 0, to jest niech:

Wtedy

Widzimy (14.30), że n-ty współczynnik funkcji otrzymanej jako lewa strona równania (identycznościowo równej zero na mocy tegoż równania wynosi:

Ponieważ funkcja równa identycznościowo zeru ma wszystkie współczynniki równe zeru, otrzymamy stąd

skąd

Ze wzoru tego wynika, że dla dużych n stosunek an+1an zachowuje się jak 2⁢μn+1, skąd można wyprowadzić, że L⁢ρ zachowuje się dla dużych ρ jak e2⁢μ⁢ρ a zatem R⁢ρ nie może być funkcją całkowalną. Jedynym wyjątkiem jest sytuacja, kiedy an=0 począwszy od pewnego n.

To się może stać wtedy, kiedy

Przypomnijmy, że przyjęliśmy μ=-8π∈0a1e2⁢⁢λ, gdzie a1=4π∈0ℏ2m⁢e2 jest promieniem Bohra (12.8). Wtedy μ=-λR gdzie R=m⁢e432Π2∈02ℏ2 jest stałą Rydyberga. Ostatecznie otrzymujemy warunek

dla l=0,1,2,… oraz n=0,1,2,…, zgodny z (12.9).

W punkcie tym pokażemy, że w przypadku potencjału V, który we współrzędnych (14.1) zależy jedynie od r, przestrzeń k⁢e⁢r⁢Hλ, o ile nie jest równa 0 zawiera funkcje o postaci

Redukcja ta nie zależy od postaci operatora Hλ a jedynie od tego, że jest on przemienny z naturalną reprezentacją grupy S⁢O⁢3,R, Wynika stąd, że Y=k⁢e⁢r⁢Hλ jest zachowana przez operatory A~ dla A∈S⁢O⁢3⁢R.

Dla krótkości niech G=S⁢O⁢3,R, niech ρ oznacza naturalną reprezentację G w L2⁢R3,d⁢x, to znaczy dla G∋g=A∈S⁢O⁢3,R niech ρg⁢f=A~⁢f.

Pierwszym krokiem do pokazania (14.34) jest następujący

Dowód lematu korzysta z teorii reprezentacji unitarnych zwartych grup topologicznych. Potrzebne fragmenty tej teorii podane są w następnym punkcie tego wykładu.

Idea dowodu Lematu

Niech d⁢μr oznacza unormowaną miarę Lebesque'a na sferze Sr ( tj. o środku 0 i promieniu r) w R3. Niech ρr oznacza reprezentację G w L2⁢Sr,dμr indukowaną przez naturalne działania G na Sr.

Dla ustalonego r określmy Πr:Y⟶L2⁢Sr,d⁢μr, kładąc Πr⁢f=γ gdzie γ⁢θ,φ=f⁢r,θ,φ.

Z Twierdzenia 14.1 wynika, że istnieje skończenie wymiarowa ρ-niezmiennicza podprzestrzeń zespolona Z⊂Y, taka, że ρ ograniczona do Z jest nieprzywiedlna.

Jeżeli funkcje fi⁢r,θ,φ⁢⁢⁢i=1,2,…,d stanowią bazę ortonormalną Z, to reprezentację ρ ograniczoną do Z można opisać wzorem

gdzie B⁢g=bi⁢j⁢gi⁢j=1d przebiega pewną (nieprzywiedlnie działającą na Cd ) podgrupą grupy unitarnej U⁢d.

Ponieważ działanie grupy G dotyczy współrzędnych θ i φ to z ρ-niezmienniczości przestrzeni Z wynika ρ-niezmienniczość przestrzeni Zr=Πr⁢Z. Oznaczmy

Wtedy

Zauważmy teraz, że dla każdej pary r1,r2 przekształcenie ir1,r2⁢r,θ,φ:Sr1⟶Sr2 określone we współrzędnych sferycznych wzorem ir1,r2⁢r2,θ,φ=r1,θ,φ pozwala utożsamić Sr1 z Sr2 i indukuje przekształcenie unitarne

i przy tym, dla dowolnych r1,r2 oraz g∈G

Zatem Ir1,r2 dają utożsamienie przestrzeni L2⁢Sr,d⁢μr wraz z działaniem G.

Zauważmy, że przy każdym r funkcje hi są liniowo niezależne. Istotnie, gdyby k spośród nich rozpinało przestrzeń Zr dla pewnego k<d to operatory B⁢g dla g∈G działaby z przestrzenią niezmienniczą w Cd.

Z utożsamienia (LABEL:14.6.5) reprezentacji ρr dla różnych r wynika, że wszystkie one mają ten sam rozkład na ortogonalną sumę prostą reprezentacji nieprzywiedlnych. Z tego, że reprezentacje ρr są cykliczne wynika, że każda reprezentacja nieprzywiedlna może pojawić się w tym rozkładzie tylko skończoną (≤ od swojego wymiaru) liczbę razy. Dwie reprezentacje nieprzywiedlne pojawiające się w rozkładzie są identyczne lub działają w przestrzeniach ortogonalnych.

Ponieważ małej zmianie r odpowiada mała zmiana bazy ( h1r,…⁢hdr) i ponieważ wzór (14.36) określa reprezentację nieprzywiedlną, wynika stąd, hir nie zależą od r, to jest

Ale to wtedy znaczy, że

Wynika stąd teza.

Niech S będzie sferą w R3 i d⁢μ unormowaną miarą Lebesque'a na S. Ograniczmy reprezentację ρ do 1-parametrowej podgrupy S⁢O⁢3⁢R składającej się z obrotów wokół osi x3, to jest w przyjętych współrzędnych sferycznych przekształcenie Aφ0, będące obrotem o kąt φ0, ma postać

Miara ta ( zwana lewą miarą Haara) jest jedyna w tym sensie, że każde dwie takie miary są proporcjonalne. Miara Haara μ grupy zwartej jest skończona ( na ogół normuje się ją tak, żeby μ⁢G=1). Własność skończoności miary Haara charakteryzuje grupy zwarte w klasie grup lokalnie zwartych.