Zagadnienia

2.1 Siły zachowawcze
2.2 Siły potencjalne.

2. Różne rodzaje sił

Siły, jakie obserwujemy, są kilku rodzajów. Po pierwsze są to siły pochodzące od istot żywych. Ich natura jest skomplikowana i nie będziemy się nimi tutaj zajmować. Drugim rodzajem sił są siły związane z urządzeniami mechanicznymi. Studiowanie ich oraz ich skutków w postaci ruchu mechanizmów jest w oczywisty sposób związane z projektowaniem tych ostatnich. Proste realizacje takich sytuacji występują w Przykładach 1.4 i 1.6 z poprzedniego wykładu. Trzecim rodzajem sił są ”siły przyrody”. Okazuje się, że są one czterech rodzajów, z których dwa: siły grawitacyjne i siły elektromagnetyczne występują w skali makro, natomiast dwa inne rodzaje - tzw. oddziaływania mocne i słabe są właściwie dla świata mikro. Teoria oddziaływań mocnych i słabych należy do zaawansowanych fragmentów fizyki teoretycznej i jest poza obszarem naszych obecnych zainteresowań. Pozostają nam więc oddziaływania grawitacyjne i elektomagnetyczne. Teoria tych ostatnich dotyczy w znacznej mierze obiektów poruszających się z wielkimi prędkościami, gdzie jedno z naszych wstępnych założeń o bezwzględności czasu musi zostać zakwestionowane. Sytuacja ta tłumaczy widoczną w przytoczonych przykładach jednorodność rodzaju występujących sił. Większość z nich to (ewentualnie) przetransformowane, jak w Przykładzie 1.5 siły grawitacyjne.

2.1. Siły zachowawcze

W dyskutowanych poprzednio przykładach wszystkie siły (poza Przykładem 1.2) zależały tylko od położenia i nie zależały od czasu. Niezależność od czasu prawych stron dyskutowanych równań ma liczne implikacje matematyczne. Oto jedna z nich:

Uwaga 2.1

Jeżeli siła F w (1.4) nie zależy od czasu ani od prędkości x˙ to wraz z x⁢t funkcja x⁢-t jest rozwiązaniem (1.4). Istotnie, dla y⁢t=x⁢-t widzimy, że y˙⁢t=-1⁢x˙⁢-t oraz y¨⁢t=x¨⁢-t. Zatem

y¨⁢t=x¨⁢-t=F⁢x⁢-t=F⁢y⁢t.

Wynika stąd, że (pomijając mało istotny wpływ pozostałych planet) wraz z ruchem planety po orbicie wokół Słońca, możliwy jest ruch po tej samej orbicie w odwrotnym kierunku, który możemy otrzymać niejako odwracając bieg czasu. Ten ”odwrócony” porządek możemy zrealizować w normalnym świecie, zmieniając np. warunki początkowe w chwili 0 z x0,x0˙ na x0,-x0˙.

2.2. Siły potencjalne.

W elementarnym kursie fizyki definiuje się pracę △⁢L stałej siły △⁢F na prostoliniowej drodze S przy założeniu, że siła jest równoległa do tej drogi i zgodnie z nią skierowana wzorem:

△⁢L=△⁢F⋅△⁢S

(2.1)

gdzie △⁢S oznacza długość drogi. Zatem pracę stałego pola F określonego na odcinku a,b prostej zanurzonej w Rn możemy przyjąć jako

△⁢L=△⁢F,b-ab-a⁢b-a=△⁢F,b-a

(2.2)

gdzie <A⋅R⋅R> jest iloczynem skalarnym w Rn, b-a jest długością odcinka a,b, natomiast <△F,b-ab-a> jest długością rzutu wektora △⁢F na oś wyznaczoną przez a,b.

Wzór (2.2) jest krokiem wstępnym do określenia pracy ∫γF⁢d⁢γ gładkiego pola wektorowego F, wzdłuż gładkiej krzywej γ. Przypomnimy znany z kursu Analizy II sens tego symbolu.

Niech γ:α,β→Rn będzie krzywą klasy C1, (tj. krzywą mającą ciągłą pochodną na α,β). Dla skończonego podziału

p:α=t1<t2,…<tn=β

(2.3)

odcinka α,β utwórzmy sumę całkową:

S(p,γ,F)=∑i=1n-1<F(γ(ti)),γ⁢ti+1-γ⁢tiγ⁢ti+1-γ⁢ti>⋅|γ(ti+1)-γ(ti)|

(2.4)

której każdy składnik jest postaci (2.2). Następnie dla normalnego ciągu podziałów pk rozpatrzmy granicę:

limk→∞⁡S⁢pk,γ,F

(2.5)

(Ciąg podziałów pkk=1∞) nazywamy normalnym, jeżeli największa z różnic ti+1-ti między kolejnymi punktami tworzącymi k-ty podział, dąży do zera przy k→∞.)

Korzystając z różniczkowalności F oraz γ, pokazuje się, że dla dostatecznie drobnego podziału p różnica

|⁢S⁢p,γ,F-∑i=1n-1F⁢γ⁢ti,γ˙⁢tiγ˙⁢ti⁢⁢γ˙⁢ti⁢⁢ti+1-ti⁢|

(2.6)

może być tak mała, jak chcemy.

Część druga (odjemnik) powyższej różnicy jest sumą całkową dla funkcji h⁢t=F⁢γ⁢t,γ˙⁢t. Wynika stąd, że sumy (2.4) mają dla każdego normalnego ciągu podziału granicę równą

∫αβh(t)dt=:∫γFdγ

(2.7)

Tak wprowadzona całka mogłaby zależeć od parametryzacji krzywej γ. Dowodzi się, że tak jednak nie jest.W dalszym ciągu wykorzystamy dwie następujące jej własności, które przyjmiemy bez dowodu:

Stwierdzenie 2.1

Jeżeli γ jest kawałkami gładką krzywą, będącą sumą dwóch rozłącznych części γ1 i γ2, wtedy dla dowolnego kawałkami gładkiego pola wektorowego F zachodzi:

∫γF⁢d⁢γ=∫γ1F⁢d⁢γ1+∫γ2F⁢d⁢γ2

(2.8)

Jeżeli -γ oznacza krzywą γ przebieganą w przeciwnym kierunku to

∫γF⁢d⁢-γ=-∫γF⁢d⁢γ.

(2.9)

Odpowiedź na poniższe pytanie ma podstawowe znaczenie dla tego wykładu.

Problem 2.1

Dane jest gładkie pole wektorowe F określone na Ω⊂Rn. Kiedy dla każdej pary krzywych γ1 i γ2 leżących w Ω i łączących te same punkty zachodzi równość

∫γ1F⁢d⁢γ1=∫γ2F⁢d⁢γ2.

(2.10)

O sytuacji opisanej wzorem (2.10) powiemy krótko, że praca pola nie zależy od drogi całkowania. Zanim ustosunkujemy się do Problemu 2.1, rozpatrzmy proste zadanie:

Ćwiczenie 2.1

Na zboczu rozległej góry znajdują się dwa domy (zob. rysunek poniżej). Łączą je dwie drogi. Pokazać, że (nie uwzględniając sił tarcia) człowiek ciągnący wózek z ładunkiem z domu A do domu B po każdej z tych dróg wykonuje taką samą pracę, której wielkość zależy tylko od różnicy wysokości położenia domów.

Rozwiązanie:

Zacznijmy od uściślenia sformułowań. Posuwając się pod górę pokonujemy opór siły z jaką Ziemia przyciąga wózek a dokładniej opór rzutu tej siły na oś styczną do drogi w jej aktualnym miejscu. Chcemy robić to możliwie ekonomicznie, nie rozpędzając niepotrzebnie wózka (porównaj początek następnego wykładu). W rezultacie, (co jest teoretyczną idealizacją), będziemy zakładać, że siła, którą działamy jest przeciwna do wyżej wymienionego rzutu siły ciężkości. Analogiczne założenie należy przyjąć w tej części drogi, kiedy posuwamy się w dół. Wprowadźmy układ współrzędnych prostokątnych, którego trzecia oś jest skierowana pionowo do góry. Siła, która popycha wózek, kiedy jedzie z góry lub którą trzeba przezwyciężyć, ciągnąc go pod górę, jest składową styczną do drogi siły (0,0 -mg⁢g). Porównaj Przykład (1.2), gdzie mg jest masą grawitacyjną wózka a g przyspieszeniem ziemskim. Rozpatrzmy i-ty wyraz sumy całkowej (2.4), który (po uproszczeniu) jest równy:

F⁢γ⁢ti,γ⁢ti+1-γ⁢ti=-mg⁢g⁢hi,

gdzie hi jest różnicą poziomów punktów γ⁢ti+1 i γ⁢ti. Zatem całka od A do B po każdej z tych dróg jest równa -mg⁢h gdzie h jest różnicą poziomów domów B i A.

Możemy teraz podać odpowiedź na postawione pytanie:

Twierdzenie 2.1

Dane jest gładkie pole wektorowe F, określone na otwartym podzbiorze Ω⊂Rn. Następujące warunki są równoważne:

Praca pola F jest niezależna od drogi całkowania w Ω.
Praca pola F wzdłuż dowolnej krzywej zamkniętej w Ω wynosi 0.
Istnieje funkcja gładka U:Ω→R taka, że:

F=F1,F2,…⁢Fn=-∂⁡U∂⁡x1,-∂⁡U∂⁡x2,…-∂⁡U∂⁡xn=-g⁢r⁢a⁢d⁢U. (2.11)

Uwaga 2.2

Z matematycznego punktu widzenia można oczywiście zamiast poprzedniej formuły, zmieniając U na -U, napisać warunek:

F=g⁢r⁢a⁢d⁢U

(2.12)

Ponieważ (jak w naszym przykładzie), chcemy aby ruch wywołany siłą pochodzącą od potencjału odbywał się w kierunku jego mniejszych wartości, przyjmiemy znak '-' przed gradientem.

(Szkic)

Równoważność 1⇔2 jest oczywista. Naszkicujemy dowody implikacji 1⇒3 oraz 3⇒1.

Dowód implikacji 1⇒3. Ponieważ wszystkie prace danej siły F po możliwych gładkich krzywych łączących dwa ustalone punkty x1,x2 są z założenia równe, będziemy oznaczać je ∫x1x2F. Wybierzmy punkt x0 i niech

U⁢x=-∫x0xF.

Chcemy pokazać, że dla każdego 1≤ i ≤n zachodzi:

Fi=-∂⁡U∂⁡x1.

Niech ei będzie wersorem i-tej osi i napiszmy iloraz różnicowy:

U⁢x+△⁢t⁢ei-U⁢x△⁢t=1△⁢t⋅|big(∫x0x+△⁢t⁢eiF-∫x0xF)=1△⁢t∫xx+△⁢t⁢eiF

Obierając drogę łączącą x z x+△⋅t⁢ei w postaci γ:0,1∋t→x+t⁢△⋅t⁢ei∈Ω otrzymamy γ˙⁢t=△⁢t⋅ei, a zatem zgodnie z (2.7)

∫x0x+△⁢t⁢eiF=∫01<F⁢γ⁢t,△⁢t⁢ei>d⁢t=△⁢t⁢∫01Fi⁢x+t⋅△⁢t⁢ei⁢d⁢t.

W rezultacie, korzystając z twierdzenia o wartości średniej dla całek, otrzymamy (gdzie (0≤Θ(△x)≤1))

∂⁡U∂⁡x1⁢x=l⁢i⁢m△⁢t→0⁢Fi⁢x+Θ⁢△⁢t⋅△⁢t⁢ei=Fi⁢x

Dowód implikacji 3⇒1.

Niech γ=γ1,γ2,…⁢γn będzie ustaloną krzywą łączącą x1 z x2. Korzystając z (2.7) otrzymamy:

∫γF=∫t1t2〈(F1(γ(t),…Fn(γ(t))),(γ1˙1(t),…γn˙(t))〉dt=

-∫t1t2∑i=1n∂⁡U∂⁡xi⁢γ⁢t⋅γ˙i⁢t⁢d⁢t=-∫t1t2dd⁢t⁢U⁢γ⁢t⁢d⁢t=U⁢x1-U⁢x2

(Podobnie, jak w zadaniu 2.3)

∎

Przykład 2.1

Wskażemy (bez sprawdzania) potencjały odpowiadające siłom dyskutowanym w przykładach 1.1 - 1.6 z poprzedniego wykładu. Wyniki ujmiemy w następującym zestawieniu

Przykładsiłapotencjał

1.1⁢f⁢x=-g⁢mg⁢U⁢x=g⁢mg⁢x

1.2⁢Siła zależy także od prędkości i nie jest potencjalna

1.3⁢f⁢x=-mg⁢Mgr+x2⁢U⁢x=-mg⁢Mgr+x

1.4⁢f⁢x=-α2⁢x⁢U⁢x=α2⁢x22

1.5⁢f⁢ϕ=mg⁢g⁢sin⁡ϕ⁢U⁢ϕ=mg⁢g⁢cos⁡ϕ

1.6⁢f⁢x=-α2⁢xU⁢x=α2⁢x22

Przykład 2.2

Skończone układy punktów materialnych oddziaływujących wzajemnie siłą grawitacji są potencjalne. Dla większej przejrzystości przeprowadzimy rozumowanie dla układu trzech punktów o masach m1,m2,m3. Sytuacja ogólna różni się tylko większą komplikacją zapisu.

Zgodnie z punktem (4) ze Wstępu w Wykładzie 1 potraktujemy nasz układ jako punkt x w R9=R3×R3×R3. Wtedy x=x1,x2,x3 gdzie xi∈R3 jest położeniem i-tego punktu. Podobnie F=F1,F2,F3

jest siłą działającą na x, której potencjał chcemy wyznaczyć, natomiast Fi jest wtedy siłą działającą na i-ty punkt. Zgodnie z (1.9)otrzymamy

F1=m2⁢m1⁢x2-x1x2-x13+m3⁢m1⁢x3-x1x3-x13

F2=m1⁢m2⁢x1-x2x1-x23+m3⁢m2⁢x3-x2x3-x23

F3=m1m3x1-x3x1-x33+m2m3x2-x3x2-x33)

Twierdzimy, że ta siła jest potencjalna w R9. Istotnie zauważmy, że w R3 funkcja

U⁢x=1x=x12+x22+x32-12

ma -g⁢r⁢a⁢d⁢i⁢e⁢n⁢t równy

-g⁢r⁢a⁢d⁢⁢U⁢x=12⁢2⁢x1x12+x22+x323/2,2⁢x2x12+x22+x323/2,2⁢x3x12+x22+x323/2.

Zatem -g⁢r⁢a⁢d⁢⁢U=xx3 Zauważmy też, że dla ustalonego wektora r

-g⁢r⁢a⁢d⁢⁢U⁢r-x=-r-xx-r3

Wynika stąd, że siła F jest w R9 -gradientem funkcji

U⁢x1,x2,x3=-m1⁢m2x2-x1+m1⁢m3x3-x1+m1⁢m3x3-x2

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Matematyczne metody mechaniki