4.1. Pęd i moment pędu
Omówimy teraz kilka typowych przykładów symetrii w układach mechanicznych. Przez symetrię rozumiemy tu dodatkowe warunki, jakie spełniają siły występujące w rozważanym układzie mechanicznym.
Pierwszym takim warunkiem zaobserwowanym w poprzednim wykładzie (dla układu jednopunktowego) jest potencjalność występującej siły. Konsekwencją tej symetrii jest pojawienie się całki pierwszej - energii całkowitej rozpatrywanego punktu.
W dalszym tekście wygodnie będzie traktować układ n-punktów w R3 jako jeden punkt w R3n . Jak zauważyliśmy w Wykładzie 3 przestrzeń fazową F takiego układu, którą jest wiązka styczna do R3n możemy utożsamiać z
R3n×R3n t.j. F=R6n.
Punkt przestrzeni F ma wtedy współrzędne
gdzie xi∈R3 jest położeniem i-tego punktu a vi∈R3 jest jego prędkością.
Definicja 4.1
(a) Niech ruch punktu materialnego o masie M opisany będzie krzywą gładką R∋t→xt∈R3. Pędem tego punktu w chwili t nazwiemy mx˙t∈R3.
(b) Niech ruch układu M n-punktów o masach m1,…,mn opisany będzie krzywą w przestrzeni fazowej F(M)=R3n×R3n:
|
γ˙:R∋t→((x1(t),…xn(t),x˙1(t),…x˙1(t))∋F(M) |
|
Pędem tego układu w chwili t nazwiemy wektor
(c) Dla punktu materialnego (a) jego momentem pędu w chwili t nazwiemy wektor
gdzie a,b oznacza iloczyn wektorowy wektorów a,b∈R3.
(d) Dla układu M z punktu b momentem pędu tego układu w chwili t nazwiemy wektor
|
∑i=1nxit,mix˙t∈R3 |
| (4.3) |
Uwaga 4.1
(a) Zarówno w przypadku pędu jak i momentu pędu mamy do czynienia z następującą sytuacją. Na przestrzeni fazowej FM są określone funkcje
P:FM→R3 zwana pędem oraz
P:FM→R3 zwana momentem pędu
takie, że formuły (4.2) i (4.3) otrzymamy jako superpozycje odpowiednio P∘γ˙ i M∘γ˙.
(b) Można rozważać także moment pędu względem ustalonego punktu x0∈Rn, dany formułą R∋t→xt-x0,mx˙t z podobną zmianą formuły (4.3).
4.2. Układy izolowane
Niech dany będzie układ n-punktów. Siłę Fj działającą na j-ty punkt można zapisać w postaci
gdzie Fij dla i≠j jest siłą z jaką i-ty punkt oddziaływuje na j-ty, natomiast Fjj jest siłą działającą na j-ty punkt z zewnątrz. Będziemy przy tym zakładać, że siła Fij jest równoległa do wektora xi-xj, gdzie xi∈R3 jest położeniem i-tego punktu.
Otrzymujemy zatem opis działających sił w formie macierzy
gdzie siłę działającą na punkt j-ty otrzymujemy jako sumę sił występujących w j-tej kolumnie.
Definicja 4.2
Układ n-punktów nazwiemy izolowanym, jeżeli macierz F jest antysymetryczna, tj. jeżeli Fij=-Fji. Warunek ten zawiera dwa ważne warunki częściowe. Po pierwsze siła zewnętrzna Fjj działająca na j-ty punkt jest zerowa.
Po drugie suma wszystkich sił działających na punkty tworzące układ jest zerowa, tj
Twierdzenie 4.1
Dla układów izolowanych pęd układu P oraz moment pędu układu M są całkami pierwszymi ruchu.
Niech
|
γ˙t=x1t,…,xnt,x˙1t,…,x˙nt |
|
będzie krzywą ruchu w przestrzeni fazowej F rozważanego układu.
Mamy pokazać, że
|
P∘γ˙t=∑i=1nmix˙itorazM∘γ˙t=∑i=1nxit,mix˙it, |
|
gdzie mi jest masą i-tego punktu, są całkami pierwszymi.
Na mocy warunku (4.5) mamy
|
ddtP∘γ˙t=ddt∑j=1nmjx˙jt=∑j=1nmjx¨jt=∑j=1nFjx1,…xn=0 |
|
Podobnie wykorzystując (4.5) oraz własność w,w=0 dla w∈R3 otrzymamy
|
ddtM∘γ˙t=ddt∑j=1nxjt,mjx˙jt= |
|
|
=∑j=1n([x˙j(t),mjx˙j(t)]+[xj(t),mjx¨j(t)])=∑j=1n[xj(t),Fj(x1,…xn)]= |
|
|
=∑j=1n[xj(t),∑i=1nFij(x1,…xn)]=∑ij=1n[xj(t)Fij(x1,…xn)] |
|
Wykorzystując antysymetrię macierzy sił F możemy ostatnią sumę zapisać jako sumę po wszystkich parach i,jj,i podwójnych indeksów, gdzie drugi podwójny indeks otrzymujemy przez transpozycję pierwszego. Pokażemy, że wynik sumowania w każdej takiej parze daje zero, t.j., że
|
xitFjix1,…xn+xjtFijx1,…xn=0 |
| (4.6) |
Istotnie, z własności iloczynu wektorowego wynika, że w obydwu składnikach sumy w (4.6) możemy zastąpić odpowiednio xi przez xi+λ((x1-x2) oraz xj przez xj+μ((x1-x2) (jest tak, bo Fij||(x1-x2)). Zatem dobierając λ=12 oraz μ=-12 dostaniemy ten sam wektor w, i z warunku Fij=-Fji wynika własność (4.6).
Dla układu M składającego się z N punktów o położeniach xi∈R oraz masach mi określmy środek masy x0 tego układu za pomocą wzoru
gdzie M=∑i=1nmi.
∎
Stwierdzenie 4.1
Dla układu n-punktów położenie jego środka masy zmienia się tak, jak położenie punktu w R3 o masie M na który działa siła F=∑i=1nFi.
Mx¨0=∑i=1nmix¨i=∑i=1nFi
∎
Wniosek 4.1
Dla układu izolowanego jego środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Na mocy (4.5) mamy wtedy Mx¨0=0.
∎
4.3. Układy potencjalne
Niech M będzie układem n-punktów o maasach m1,…,mn, którego przestrzeń fazowa FM ma współrzędne (4.1). Niech na punkty układu działają siły zewnętrzne oraz siły oddziaływania wzajemnego opisane przez macierz (4.4).
Definicja 4.3
Powiemy, że układ M jest potencjalny, jeżeli istnieje funkcja U:FM→R zależna tylko od zmiennych x1,…xn taka, że (traktując M jako punkt przestrzeni R3n) siła działająca na ten punkt ma postać
|
Fx1,…xn=-gradUx1,…xn. |
| (4.8) |
Wtedy siła Fj działająca na j-ty punkt jest opisana jako j-ta (wektorowa) współrzędna siły F, tj
|
Fx1,…xn=F1x1,…xn,F2x1,…xn,…,Fnx1,…xn |
| (4.9) |
Definicja 4.4
Energią kinetyczną układu M nazwiemy funkcję T:FM→R opisaną we współrzędnych (4.1) formułą
|
Tx1,…xn,v1,…vn=∑i=1nmivi22 |
| (4.10) |
Niech na przestrzeni fazowej układu M dana będzie siła (4.9)(niekoniecznie potencjalna). Niech
|
γ˙:R∋t→x1t,x2t,…,xnt,x˙1t,…,x˙nt∈FM |
| (4.11) |
gdzie
|
mix¨i(t)=Fi((x1(t),…xn(t))i=1,2,..n. |
|
Stwierdzenie 4.2
Przyrost energii kinetycznej wzdłuż krzywej ruchu (LABEL:4.3.4) jest równy pracy siły (4.9) wzdłuż tej krzywej t.j. dla t2>t1
|
Tγ˙t2-Tγ˙t1=∑i=1n∫t1t2Fix1t,…xnt,x˙itdt. |
|
|
T(γ˙(t2)-T(γ˙(t1))=∫t1t2ddtT(γ˙(t))dt=∫t1t2ddt(∑i=1nm1x˙it,x˙it2)dt= |
|
|
=∑i=1n∫t1t2〈m1x¨i(t),x˙i(t)〉dt=∑i=1n∫t1t2〈Fi((x1(t),…xn(t)),x˙i(t)〉dt. |
|
∎
Wniosek 4.2
Jeżeli siła F jest potencjalna, to energia całkowita układu
|
Ex1,…xn,v1,…vn=Tv1,…vn+Ux1,…xn |
|
jest całką pierwszą ruchu.
Zauważmy, że w przypadku siły potencjalnej mamy
|
∑i=1n〈Fi(x1(t),…xn(t)),x˙i(t)〉=∑i=1n∂U∂xi(x1(t),…xn(t))⋅x˙i(t)=ddtU(x1(t),…xn)(t)) |
|
zatem (porównaj dowód Stwierdzenia (4.3)).
|
Tγ˙t1-Tγ˙t2=∫t1t2ddtUγ˙ttdt=Uγ˙t2-Uγ˙t1 |
|
skąd wynika, że
|
Tγ˙t1+Uγ˙t1=Tγ˙t2+Uγ˙t2 |
|
∎
Stwierdzenie 4.3
Niech M będzie układem izolowanym z macierzą działających sił o postaci (4.4). Jeżeli siła Fij zależy tylko od odległości oddziaływujących punktów, t.j.
|
Fijx1,…xn=fijxi-xjxi-xjxi-xj |
| (4.12) |
gdzie fij:R→R jest ciągła oraz fij=fji, to układ M jest potencjalny.
Niech gijt=∫1tfijsds będzie funkcją pierwotną funkcji fij i niech Gijx1,…xn=gijxi-xj gdzie dla
w=w1,w2,w3∋R3. przyjmiemy
Ponieważ dla w=(w1,w2,w3),v=((v1,v2,v3) zachodzi
|
∂∂wiw-v=wi-viw-v;∂∂vi=vi-wiw-v |
| (4.13) |
to
|
∂∂xkGijx1,…xn=0jeżelik≠iorazk≠jfijxi-xj⋅xi-xjxi-xjjeżelik=ifijxi-xj⋅xj-xixi-xjjeżelik=j |
|
a zatem
|
Ux1,…xn=∑j.iGijx1,…xn |
|
jest potencjałem naszego układu.
∎
4.4. Zagadnienie dwóch ciał.
Przez zagadnienie n-ciał będziemy rozumieli problem rozwiązania równań opisujących ewolucję izolowanego i potencjalnego układu n-punktów materialnych. Zagadnienie to odegrało dużą rolę w rozwoju mechaniki. Pokazano, że dla n≥3 nie istnieje możliwość ”rozplątania” układu równań opisujących ruch i podania rozwiązania 'explicite'(rozwiązanie w kwadraturach).
Dla dwóch punktów rozwiązanie takie istnieje. Istotnie, dla układu dwóch ciał o masach mi m2 układ równań opisujący jego ewolucję ma zgodnie z Stwierdzeniem (4.3) postać
|
m1x¨1t=-∂∂x1g1.2x1t-x2tm2x¨2t=-∂∂x2g1.2x1t-x2t |
| (4.14) |
gdzie g:R→R jest różniczkowalna.
Twierdzenie 4.2
Zmiana x1-x2 przy zagadnieniu dwóch ciał z potencjałem U1,2 odbywa się tak, jak zmiana położenia ruchu pojedynczego punktu o masie m1m2m1+m2 w R3 pod wpływem potencjału Vx=g1,2x.
Mnożąc pierwsze z równań (4.4.1) przez m2 a drugie przez m1 i odejmując stronami otrzymamy (porównaj (4.13))
|
m1m2x1-¨x2=m2∂∂x1g1,2x1-x2-m1∂∂x2g1,2x1-x2= |
|
|
=m2dg1,2dt(|x1-x2|)⋅x1-x2x1-x2+m1dg1dt(|x1-x2|)⋅x1-x2x1-x2= |
|
|
=-m1+m2dg1,2dtx1-x2⋅x1-x2x1-x2 |
|
A zatem dla x=x1-x2 otrzymamy
|
m1⋅m2m1+m2x¨=-dg1,2dtxxx=-∂∂xg1,2x. |
|
Niech x0=m1x1+m2x2m1+m2 będzie środkiem masy naszego układu oraz niech x=x1-x2. Wtedy
a zatem, zgodnie z wnioskiem 4.2.4 otrzymamy x0t+x0+v0t i dla wyznaczenia x1 oraz x2 wystarczy znależć xt , tj podać opis ruchu punktu w R3 pod wpływem danego potencjału o postaci Ux=fx. Zagadnienie to posiada rozwiązanie, które podamy w następnym wykładzie.
∎
Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.
