Zagadnienia

5.1 Pola centralne
5.2 Ruch w polu centralnym w R2
5.3 Całkowanie równań ruchu w polu centralnym w R2

5. Symetria sferyczna w R3

5.1. Pola centralne

Definicja 5.1

Polem centralnym w R3 nazwiemy pole wektorowe F na Rn\0 o postaci

F⁢x=f⁢x⁢xx

(5.1)

gdzie f:R+→R jest funkcją ciągłą a |x|=<x,x>12. Pole (5.1) jest zawsze potencjalne z potencjałem V⁢x=g⁢x gdzie g jest funkcją pierwotną f. (Porównaj dowód Swierdzenia 4.3.).

Definicja 5.2

Grupą ortogonalną O⁢n,R nazwiemy grupę przekształceń liniowych, scharakteryzowanych warunkiem: A∈O⁢n,R wtedy i tylko wtedy, kiedy

A⁢x,A⁢y=x,y⁢⁢dla⁢⁢⁢x,y∈Rn

(5.2)

Warunek ten jest równoważny warunkowi podającemu opis macierzy przekształceń liniowych tworzących O(n,R): A∈O⁢n,R wtedy i tylko wtedy, kiedy macierz A tego przekształcenia względem dowolnej bazy ortonormalnej spełnia warunek

A-1=At

(5.3)

gdzie At oznacza macież transponowaną do A.

Stwierdzenie 5.1

Pole centralne (5.1) jest niezmiennicze dla naturalnego działania w Rn\0 grupy przekształceń ortogonalnych O⁢n,R. Oznacza to, że dla każdego
A∈O⁢n,R oraz dla każdego x∈Rn⁢⁢0 zachodzi

F⁢A⁢x=dx⁢A⁢F⁢x

(5.4)

Dla przekształcenia liniowego B jego różniczka w dowolnym punkcie jest równa B. Zatem z (5.1) dla A∈O⁢n,R oraz x∈Rn wynika

F(A(x)))=f(|A(x)|)A⁢xA⁢x=f⁢xxA(x)=A(F(x))=(dxA)(F(x))

Wykorzystaliśmy tu równość A⁢x=x wynikającą z (5.2).

∎

Stwierdzenie 5.2

Dla pola centralnego w R3 moment pędu M jest całką pierwszą.

Niech R∋t→x⁢t∈R3\0 będzie ruchem punktu o masie m pod działaniem centralnej siły F. Niech [⋅,⋅] oznacza iloczyn wektorowy w R3. Wtedy

dd⁢t⁢⁢M⁢t=dd⁢t⁢x⁢t,m⁢x˙⁢t=x˙⁢t,m⁢x˙⁢t+x⁢t,m⁢x¨⁢t=x⁢t,F⁢x⁢t=0

bo wektor F⁢x⁢t jest proporcjonalny do x⁢t.

∎

Wniosek 5.1

Ruch w polu centralnym w R3 jest płaski. Dokładniej:

(A) Jeżeli x⁢0,m⁢x˙⁢0=M⁢0≠0 to ruch odbywa się w płaszczyźnie.

N=y∈R3:y,M⁢0=0,

(5.5)

którą też można opisać jako płaszczyznę rozpinaną przez x⁢0 oraz x˙⁢0.

(B) Jeżeli M⁢0=0 to ruch odbywa się po prostej zawierającej 0 oraz x⁢0.

(A) Ze stałości M⁢t wynika, że x⁢t,m⁢x˙⁢t=M⁢0. Zatem x⁢t⟂M⁢0 dla każdego t. Ponadto x⁢0 i x˙⁢0 należą do N i nie są współliniowe.

(B) Jeżeli M⁢0=M⁢t=0 to x˙(t)||x(t) czyli

x˙⁢t=a⁢t⁢x⁢t,

(5.6)

gdzie funkcja a:R→R jest różniczkowalna ( bo t→x⁢t) jest dwukrotnie różniczkowalna). Niech b:R→R+ będzie funkcją różniczkowalną. Wtedy funkcja wektorowa y⁢t=b⁢t⁢x⁢0 spełnia warunek

y˙⁢t=b˙⁢tb⁢t⁢y⁢t=dd⁢t⁢l⁢n⁢b⁢t⋅y⁢t,

który dla b0⁢t=e∫1ta⁢s⁢d⁢s przechodzi na (5.6). Z twierdzenia o jednoznaczności mamy więc

x⁢t=b0⁢t⁢x⁢0.

∎

Wniosek 5.2

Niech F będzie polem centralnym w R3, a V podprzestrzenią w R3, rozpiętą przez dwie pierwsze osie współrzędnych. Każdą trajektorię ruchu w polu F można uzyskać jako obraz pewnej trajektorii tego pola, leżącej w V, za pomocą pewnego przekształcenia A∈O⁢3⁢R.

Niech

R∋t→γ⁢t∈R3

będzie krzywą ruchu dla pola F. Rozpatrzmy przypadek kiedy

M⁢0=γ⁢0,m⁢γ˙⁢0≠0.

Przypadek M⁢0=0 zostawimy jako zadanie czytelnikowi.
Niech A∈O⁢3,R będzie takim przekształceniem ortogonalnym , że

A⁢0,0,M⁢0=M⁢0.

Wtedy A⁢V=N (N jak w (5.5)). Niech

x0=A-1⁢γ⁢0⁢y0=A-1⁢γ˙⁢0

i niech δ⁢t będzie krzywą ruchu w polu F wyznaczoną przez warunki początkowe δ⁢0=x0 ,δ˙=y0. Wtedy δ⁢t∈V oraz γ⁢t=A⁢δ⁢t.

∎

Wniosek 5.3

Każdy ruch w polu centralnym R3 jest izometrycznie równoważny pewnemu ruchowi w polu centralnym w R2.

Każde pole centralne w R2 powstaje przez ograniczenie do przestrzeni V≃R2 pewnego pola centralnego w R3 - i odwrotnie - każde takie pole jest wyznaczone przez swoje ograniczenie do V.

∎

5.2. Ruch w polu centralnym w R2

Zaczniemy od sformułowania analogii Stwierdzenia 5.2 dla ruchu w centralnym polu w R2. Dla uproszczenia, w dalszej części tego punktu przyjmiemy, że m=1. Zanurzając R2 jako przestrzeń V w R3 rozważmy ruch x⁢t=x1⁢t,x2⁢t,0 w R3. Wtedy

x⁢t,x˙⁢t=0,0,x1⁢t⁢x˙2⁢t-x2⁢t⁢x˙1⁢t.

Zatem funkcja

M⁢t=x1⁢t⁢x˙2⁢t-x2⁢t⁢x˙1⁢t

(5.7)

jest (skalarną) całką pierwszą ruchu w polu centralnym w R2. Nadamy tej funkcji sens geometryczny, przechodząc do współrzędnych biegunowych r,φ. Wtedy

x1⁢t=r⁢t⁢cos⁡φ⁢t

x2⁢t=r⁢t⁢sin⁡φ⁢t

a zatem

x˙1⁢t=r˙⁢t⁢cos⁡φ⁢t-r⁢t⁢sin⁡φ⁢t⋅φ˙⁢t

x˙2⁢t=r˙⁢t⁢sin⁡φ⁢t+r⁢t⁢cos⁡φ⁢t⋅φ˙⁢t

i otrzymamy

M⁢t=r⁢t⁢cos⁡φ⁢t⁢r˙⁢t⁢sin⁡φ⁢t+r⁢t⁢cos⁡φ⁢t⋅φ˙⁢t-

-r⁢t⁢sin⁡φ⁢t⁢r˙⁢t⁢cos⁡φ⁢t-r⁢t⁢sin⁡φ⁢t⋅φ˙⁢t=r2⁢t⁢φ˙⁢t

Widzimy, że wyrażenie (5.7) przyjmie we współrzędnych biegunowych postać

M⁢t=M⁢r⁢t,φ⁢t=r2⁢t⋅φ˙⁢t.

(5.8)

Stwierdzenie 5.3

Dla ruchu w polu centralnym w R2 opisanym za pomocą współrzędnych biegunowych zachodzi

M⁢t=2⁢d⁢Pd⁢t⁢t

(5.9)

gdzie

P⁢t=12⁢∫t1tr2⁢t⁢φ˙⁢t⁢d⁢t

(5.10)

oznacza pole sektora ograniczonego promieniami φ⁢t1,φ⁢t oraz krzywą ruchu r⁢t=r⁢φ⁢t. Wielkość d⁢Pd⁢t⁢t nazywamy prędkością polową.

Ponieważ w przypadku koła o promieniu r pole wycinka kołowego opartego na łuku o kącie środkowym △⁢φ wynosi

△⁢P=π⁢r2⋅△⁢φ2⁢π=12⁢r2⁢△⁢φ

to pole sektora krzywoliniowego ograniczonego promieniami φ1 i φ oraz krzywą r⁢φ otrzymamy jako

P⁢φ=12⁢∫φ1φr2⁢φ⁢d⁢φ

(5.11)

Zakładamy, że funkcja φ→r⁢φ jest ciągła na przedziale φ1,φ. Jeżeli zarówno r jak φ są funkcjami t i przy tym φ jest monotoniczna, P⁢φ przechodzi na (5.10) i wtedy

r2⁢t⁢φ˙⁢t=2⁢d⁢P⁢td⁢t.

∎

Wniosek 5.4

Ruch w polu centralnym w R3 odbywa się w płaszczyźnie w taki sposób, że jego prędkość polowa względem centrum jest stała.

Reguła ta została doświadczalnie wykryta przez Keplera dla ruchu Marsa wokół Słońca.

5.3. Całkowanie równań ruchu w polu centralnym w R2

Ponieważ siła w polu centralnym w każdym punkcie jest skierowana radialnie, wygodnie będzie opisywać ruch, rozkładając w każdej chwili występujące wektory względem zmiennego układu ortogonalnego er,eφ w taki sposób ,że dla punktu o współrzędnych biegunowych r⁢t,φ⁢t stosowany w chwli t układ będzie miał postać:

er⁢t=cos⁡φ⁢t,sin⁡φ⁢t

eφ⁢t=-sin⁡φ⁢t,cos⁡φ⁢t

Ostrzeżenie Obserwowana poprzez liczenie pochodnych zmiana w czasie dotyczy układu nieruchomego i te pochodne dopiero po ich policzeniu rozkładamy względem zmieniającej się w czasie bazy.

Zaczniemy od obliczenia pochodnych funkcji t→er⁢t i t→eφ⁢t i przedstawieniu ich w układzie ruchomym. I tak

⁡e˙r⁢t=-sin⁡φ⁢t⁢φ˙⁢t⁢cos⁡φ⁢t⁢φ˙⁢t=φ˙⁢t⁢eφ⁢te˙φ⁢t=-cos⁡φt⁢φ˙⁢t,-sin⁡φ⁢t⁢φ˙⁢t=-φ˙⁢t⁢er⁢t⁢

(5.12)

(W dalszym ciągu dla większej przejrzystości długich wzorów zrezygnujemy z pisania explicite argumentu t. Zatem napiszemy φ zamiast φ⁢t, podobnie φ˙ zamiast φ˙⁢t i tak dalej.)

Pisząc x⁢t=r⁢t⁢er⁢t i stosując (5.12) otrzymamy

x˙=r˙⁢er+r⁢e˙r=r˙⁢er+r⁢φ˙⁢eφ

x¨=r¨⁢er+r˙⁢φ˙⁢eφ+r˙⁢φ˙⁢eφ+r⁢φ¨⁢eφ-r⁢φ˙2⁢er=r¨-r˙⁢φ˙2⁢er+2⁢r˙⁢φ˙+r⁢φ¨⁢eφ

Ponieważ F⁢x=f⁢r⁢er, otrzymamy stąd dwa równania

⁡r¨-r⁢φ˙2=f⁢r2⁢r˙⁢φ˙+r⁢φ¨=0⁢

(5.13)

Zauważmy, że zasada stałości prędkości polowej oznacza, że

dd⁢t⁢r2⁢φ˙=0

(5.14)

czyli

r⁢2⁢r˙⁢φ˙+r⁢φ˙=0

a zatem drugie z równań (5.13) jest równoważne warunkowi (5.14), który jest równoważny równości m⁢r2⁢φ˙=M. M jest stałą zależną od warunków początkowych, którą dla zwięzłości nazwiemy momentem pędu. Zatem

φ˙=Mm⁢r2

(5.15)

Wstawiając (5.15) do pierwszego z równań (5.13) sprowadzamy je do postaci zawierającej tylko funkcję r⁢t i jej pochodne:

m⁢r¨=f⁢r+M2m⁢r3

(5.16)

Podsumujemy nasze rozważania tak:

Stwierdzenie 5.4

Odległość od środka układu w ruchu centralnym w R2 z momentem pędu M i potencjałem V⁢x,y=g⁢r zmienia się jak odległość od zera w jednowymiarowym ruchu z potencjałem

U⁢r=g⁢r+M22⁢m⁢r2

(5.17)

Istotnie, możemy przepisać (5.16) w postaci

m⁢r¨=-dd⁢r⁢g⁢r+M2m⁢r3=-dd⁢r⁢g⁢r+M22⁢m⁢r2

(5.18)

∎

Stwierdzenie 5.5

Energia całkowita w ruchu dwuwymiarowym z ustalonym momentem pędu M jest taka sama, jak dla ruchu jednowymiarowego z potencjałem (5.17).

W ruchu z potencjałem (5.17) otrzymamy

E1=m⁢r˙22+g⁢r+M22⁢m⁢r2

(5.19)

natomiast w ruchu dwuwymiarowym, kiedy x=r⁢er, mamy x˙=r˙⁢er+r⁢φ˙⁢eφ a więc dla φ˙=Mm⁢r2 otrzymamy energię kinetyczną w postaci

T⁢x˙=12⁢m⁢x˙2=m⁢r˙2+r2⁢φ˙2=m2⁢r˙2+r2⁢M2m2⁢r4=m⁢r˙22+M22⁢m⁢r2.

Aby podać explicite rozwiązanie równań (5.13) posłużymy się jeszcze jedną całką prostą, jaką jest energia całkowita (5.19). Z (5.19) wynika, że przy ustalonych energii całkowitej E oraz momencie pędu M mamy

d⁢rd⁢t2=2m⁢E-g⁢r-M22⁢m⁢r2

skąd

t2-t1=±∫r1r2d⁢r2m⁢E-g⁢r-M22⁢m⁢r2

(5.20)

Chcąc znależć postać φ⁢t zauważmy, że ze związku φ˙⁢r2=M wynika, że φ˙ jest ustalonego znaku a więc φ jest monotoniczną funkcją t1 i ma funkcję odwrotną t⁢φ. Wobec tego r⁢φ=r⁢t⁢φ z zatem

d⁢rd⁢φ=r˙φ˙⁢albo⁢d⁢φd⁢r=φ˙r˙.

Podstawiając tu φ˙=Mr2 oraz r˙=±2m⁢E-U⁢r otrzymamy

d⁢φd⁢r=±Mr2⁢2m⁢E-U⁢r