Przedmiotem rachunku wariacyjnego są warunki ekstremalności funkcji (tradycyjnie nazywanych funkcjonałami), których dziedziną są rodziny obiektów geometrycznych (np. krzywe, powierzchnie) a wartości należą do Rk. Styk prezentowanej w tym wykładzie tematyki z rachunkiem wariacyjnym jest ograniczony do specjalnej sytuacji, którą charakteryzują poniższe założenia:

(A) Dziedziną badanego funkcjonału F jest rodzina W krzywych o wartościach w Rn, określonych na wspólnym przedziale t1,t2⊂R i mających wspólny początek i wspólny koniec. Wszystkie krzywe z W są ustalonej klasy gładkości.
(B) Rozważane funkcjonały mają postać

gdzie γ∈W a L:Rn×Rn×R⟶Rk jest klasy C2.

(C) Rozważanym problemem jest charakteryzacja punktów stacjonarnych funkcjonału F, tj. takich γ0∈W, że

(zob. Uwaga 7.1).

Użycie określenia funkcjonał dla funkcji F miało zapewne na celu ułatwienie wysłowień, bo argumentami F są także funkcje. Konwencję tę podjęła też powstała później analiza funkcjonalna.

Część rachunku wariacyjnego dotycząca założeń A,B,C przypomina więc fragment klasycznej analizy, dotyczący warunku koniecznego istnienia ekstremum. Sytuacja w rachunku wariacyjnym różni się tym, że dziedzina badanej funkcji jest nieskończenie wymiarowa. Za to same funkcje - ”funkcjonały” - są bardzo specjalnej postaci. Schemat uwarunkowany założeniami A,B,C jest krokiem wstępnym, poza który w zasadzie nie wyjdziemy. Jedynym wyjątkiem jest uogólnienie warunku A do takiego, w którym W jest zbiorem krzywych przyjmujących swoje wartości w podrozmaitościach M⊂R3. Ta sytuacja pojawia się przy badaniu układów z więzami.

Niech W będzie rodziną krzywych klasy C1 określonych na [0,1] i przyjmujących wartości w R2. Załóżmy, że wszystkie nasze krzywe zaczynają się w punkcie (0, 1) a kończą w (1,0). Rozpatrzmy na R2 stałe pole wektorowe

Dyskusja wstępna.

Zauważmy, że siła (7.3) spełnia warunek F⁢x,y=-g⁢r⁢a⁢d⁢⁢U⁢x,y przy
U⁢x,y=y. Zaczniemy od wyprowadzenia wzoru na czas potrzebny do przebycia ustalonej krzywej. Bez założenia, że f jest malejąca, formuła ta mogłaby dać nieskończony czas na przejście, co skomplikowałoby formalnie nasze wywody. Zgodnie z Ćwiczeniem 3.1, w ruchu bez tarcia po zadanej krzywej pod wpływem pola potencjalnego, jest zachowywana energia całkowita E=T+U, gdzie T jest energią kinetyczną o postaci

(przyjmujemy, że masa poruszającego się punktu wynosi 1). Ponieważ dla krzywej (7.4) zachodzi

otrzymamy:

Z uwagi na to, że x˙⁢0=0, musi być E⁢t=E⁢0=f⁢1=1 zatem

a ponieważ x˙⁢t≥0 otrzymamy

Ponieważ chcemy znależć czas przebycia krzywej, napiszmy dla x≠0

skąd F⁢γ=t⁢1 otrzymamy w formie

Tak więc otrzymaliśmy funkcjonał (7.1) z funkcją L:R×R→R o postaci

gdzie rolę zmiennej t pełni zmienna x przebiegająca przedział [0,1]. Drugie zadanie ”zagadnienie krzywej łańcuchowej” ma charakter statyczny. Przyjmijmy, że w R2 jest dane pole wektorowe we F⁢x,y=0,-1 i że w każdym interesującym nas punkcie siła działająca na masę m wynosi m⋅F⁢x,y. Wtedy energia potencjalna punktu o masie m jest U⁢x,y=m⁢y. W polu tym zawieszamy idealnie giętką linę (łańcuch) o stałej liniowej gęstości masy 1 i długości l≥2. Punktami zawieszenia liny będą -1,0 i 1,0.

Założenie

Przyjmiemy jako założenie, że zwisająca lina przyjmuje kształt, przy którym suma (całka) energii potencjalnych wszystkich jej punktów zwana dalej ”potencjałem sumarycznym” jest możliwie najmniejsza.

Dyskusja wstępna.

Podobnie, jak poprzednio (por. Uwaga 7.2), przyjmiemy, że krzywa zwisu liny opisana jest jako wykres funkcji g należacej do zbioru W funkcji różniczkowalnych o ciągłej pochodnej na przedziale [-1,1] i przyjmujących wartość 0 na końcach przedziału.

Z przedstawionych powyżej założeń wynika, że odcinek d⁢s liny znajdujący się na wysokości g⁢x ma energię potencjalną równą g⁢x⋅d⁢s, gdzie

Zatem, ”potencjał sumaryczny” ma postać:

Tego typu funkcja V nie byłaby oczywiście ograniczona z dołu na W gdyby nie dodatkowy warunek, że długość liny wynosi l. Warunek ten ma postać Φ⁢g=l, gdzie

Naszym zadaniem jest więc znalezienie punktów krytycznych funkcjonału V na poziomicy

Podobnie, jak przy badaniu ekstremów warunkowych w analizie, rozwiążemy ten problem metodą mnożników Lagrange'a.

Polega ona na rozpatrzeniu rodziny funkcjonałów Fλ, o postaci

gdzie parametr λ∈R Dla każdego z tych funkcjonałów szukamy punktów krytycznych leżących na N. Wyjaśnienie tego jest następujące:

Jeżeli dg0⁢Fλ=0 dla g0∈N, to z uwagi na fakt, że różniczka dg0⁢Φ, ograniczona do przestrzeni stycznej w g0 do N jest zerowa, warunek dg0⁢Fλ=0 pociąga, że dg0⁢V=0 na tejże przestrzeni stycznej. Jednocześnie właściwy dobór λ umożliwia uzyskanie warunku dg0⁢Fλ=0 także na przestrzeni prostopadłej do N w punkcie g0.

Podsumowując: pierwszym krokiem do rozwiązania Problemu 7.2 jest znalezienie należących do N punktów krytycznych funkcjonałów

Widzimy, więc że funkcjonały Fλ mają postać (7.1), gdzie Lλ:R×R ma postać

Będziemy poszukiwać warunków, przy których krzywa γ0 jest punktem krytycznym funkcjonału

Pisząc γ=γ0+δ, redukujemy nasz problem do pytania czy funkcjonał

ma w punkcie δ0=0∈Y punkt krytyczny. ( Y jest tutaj przestrzenią liniową wariacji - zob. Uwagę 7.1.)

Wyposażmy Y w w strukturę przestrzeni Banacha, wprowadzając C1 normę:

gdzie |⋅|2 oznacza normę euklidesową w Rn. Zamierzamy zapisać Φ⁢δ w postaci

gdzie d0⁢Φ⁢δ jest ciągłą w normie (7.14) operacją liniową, natomiast R spełnia warunek:

Nietrudne rozumowanie pokazuje, że j-ty warunek (7.22) jest równoważny j-temu równaniu Eulera. Odwrotnie: spełnienie równań Eulera daje równania (7.22) a te przez wysumowanie warunek (7.21), z którego wynika z kolei, że d0⁢Φ=0.

Na zakończenie napiszemy równania Eulera dla zagadnienia brachistochrony i zagadnienia krzywej łańcuchowej.

Mamy znaleźć funkcję f argumentu x , który pełni rolę zmiennej t w równianiach Eulera (zobacz sformułowanie Twierdzenia 7.1). Będziemy pisać f zamiast γ oraz f˙ zamiast γ˙. Nasza funkcja Lagrange'a ma zatem postać:

Wtedy

oraz

Równanie Eulera

przyjmie więc postać

Podobnie, jak poprzednio, rolę t w równaniach Eulera pełni zmienna x, natomiast zamiast x1 napiszemy γ a zamiast v1 napiszemy d⁢gd⁢x=g˙. Funkcja Lagrange'a z mnożnikiem λ ma postać:

Wtedy

Zatem równania Eulera mają postać :