Zagadnienia

11. Miarowe, algebraiczne i strukturalne aspekty mechaniki Hamiltona.

11.1. Redukcja symplektyczna.

Symetryczna budowa równań Hamiltona umożliwia postępowanie redukujące liczbę równań i liczbę szukanych funkcji w sytuacji, kiedy jedna ze współrzędnych nie występuje explicite w funkcji Hamiltona (nazywamy ją wtedy współrzędną cykliczną). Niech qi będzie taką współrzędną. Wtedy i-te ”pędowe” równanie jest postaci:

p˙i=-Hqi=0

Zatem pęd pi pozostaje stały w czasie ruchu. Wstawiając jego stałą wartość pi0 do hamiltonianu, otrzymujemy układ równań z funkcją Hamiltona nie zawierająca qi ani pi a zatem układ 2n-2 równań (przy początkowej liczbie 2n równań). Po ich ewentualnym rozwiązaniu pozostaje jeszcze scałkować równanie:

q˙i=Hpiq1t,qnt,p1t,p˙i,pnt=ft
Wniosek 11.1

Układ o dwóch stopniach swobody (tj. dla n=2 ) i mający jedną współrzędną cykliczną, jest rozwiązalny w kwadraturach.

Niech q1 będzie współrzędną cykliczną. Zgodnie z opisanym powyżej postępowaniem, redukujemy sytuację do układu

q˙2=Hp2,p˙2=-Hq2 (11.1)

Układ ten ma całkę pierwszą Hp10,p2t,q2t=c, która wyrażona za pomocą położeń i prędkości ma postać:

mq˙222+Uq2=c,co dajeq˙2=±2c-Uq2m

a zatem zagadnienie rozwiązania naszego układu sprowadza się do wyznaczenia dwu całek.

11.2. Pochodna Liego

Niech X=(X1,..Xn) będzie polem wektorowym klasy C1 określonym na otwartym podzbiorze ΩRn. Rozważmy układ równań z warunkiem początkowym

y˙t=Xyty0=x (11.2)

Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla takiego układu wynika, że przy każdym warunku początkowym x istnieje ϵx>0 oraz krzywa -ϵx,ϵxtyxtRn, spełniająca (11.2). Ustalmy wartość t i zmieniajmy warunek początkowy x. Wtedy dla x takich, że t<ϵx jest dobrze określone odwzorowaniem φtx.

φtXx=yxt (11.3)

Z twierdzenia o gładkiej zależności rozwiązania (11.2) od warunków początkowych wynika, że odwzorowanie φt jest różniczkowalne a z jednoznaczności rozwiązania zagadnienia (11.2) wynika, że jeżeli wszystkie elementy następującej formuły (11.4) są dobrze określone, to zachodzi równość:

φt1+t2Xx=φt1Xφt2Xx. (11.4)

Zatem (na być może mniejszym zbiorze) odwzorowanie φtX jest dyfeomorfizmem, na obraz tego zbioru - ”lokalnym dyfeomorfizmem”. W sytuacji, kiedy dla tR dana jest rodzina przekształceń określonych dla każdego xΩ i o wartościach w Ω a przy tym spełnione są warunki (11.4) oraz φ0=idΩ, powiemy, że rodzina Rtφt jest jednoparametrową grupą odwzorowań Ω. Dla odwzorowań φtX definiowanych za pomocą (11.3) sytuacja jest bardziej złożona. Globalnie na Ω określone jest jedynie przekształcenie φ0X=idRn natomiast dla t0 każde przekształcenie φtX ma swoją dziedzinę. Dziedziny te rosną, kiedy t0 oraz dla każdego xRn istnieje ϵx, że dla t<ϵx x znajduje się w dziedzinie φtx. W tej sytuacji powiemy, że pole wektorowe X określa lokalną grupę 1- parametrowa lokalnych dyfeomorfizmów Ω. Za pomoca tej grupy zdefiniujemy pochodną Liego pola tensorowego na Ω.

Definicja 11.1

Niech X będzie polem wektorowym klasy C1 na otwartym podzbiorze ΩRn. Niech φtXtR będzie lokalną 1-parametrowa grupą lokalnych dyfeomorfizmów Ω określoną przez X. Niech W będzie polem tensorowym walencji r,s. Pochodną Liego pola W wyznaczoną przez pole X (oznaczaną LXW) nazwiemy pole tensorowe też o walencji r,s, którego wartość w punkcie p otrzymujemy według następującej recepty realizowanej w dwóch krokach:

Krok 1
Tworzymy tensor W~pt, będący formą r+s-liniową o argumentach ξiTpΩ i=1,..r oraz αjTp*Ω j=1,..s przechodząc od WφtXp do W~tp zgodnie z formułą:

W~tp(ξ1,..,ξr,α1,..,αs)=
=Wφtxp(dpφtx(ξ1),..,dpφtx(ξr),α1dptxpφtx,..,αsdptxpφtx).

Krok 2
Wyznaczamy granicę

limx 0W~pt-Wpt.

Czytelnika zainteresowanego poprawnością i zakresem stosowalności tej definicji odsyłamy do książek o geometrii różniczkowej. My poprzestaniemy na zacytowaniu kilku własności pochodnej Liego potrzebnych w dalszym tekście.

Stwierdzenie 11.1

Niech X będzie polem wektorowym klasy C1 na ΩRn. Dla k-formy różniczkowej ω określmy zwężenie Xω wzorem

(Xω)(ξ1,..,ξk-1)=ω(X,ξ1,..,ξk-1)

Wtedy

  1. LXω=Xdω+d(Xω)

  2. dLX=LXd

  3. LXf=Xfdla funkcji różniczkowalnej f

  4. LXY=X,Ydla pola wektorowegoY

  5. [X,Y]η=LX(Yη)

  6. LXiY=iYLXgdzieiY(ω)=Yω

11.3. Miary niezmiennicze dla potoków hamiltonowskich.

Niech X=(X1,..,Xn) będzie polem wektorowym klasy C1 określonym na otwartym podzbiorze ΩRn. Niech φtXtR będzie lokalną grupą lokalnych dyfeomorfizmów Ω określoną przez pole X. Powiemy, że lokalny dyfeomorfizm φtX zachowuje miarę μ jeżeli

μφtXA=μA

dla każdego otwartego AΩ, dla którego φtX jest określony.

Diwergencją pola nazwiemy funkcję

divXx=i=1nXixix
Stwierdzenie 11.2

(Liouville) Jeżeli divX=0 to lokalne difeomorfizmy φtX związane z polem X zachowują miarę Lebesque'a na Ω.

Ponieważ y˙t=Xyt, korzystając z wzoru Taylora, dostaniemy

φtXy=y+Xyt+0t2.

Niech D będzie otwartym zbiorem ograniczonym, takim że φtX jest określone dla xD. Oznaczając przez volA miarę Lebesque'a zbioru A, rozważmy funkcję vt=volφtXD. Wtedy

vt+t-vtt=1tvolφtXφtXD-volφtXD=
=1tφtXDJφtXy-1dy,

gdzie JφtXy jest jakobianem przekształcenia φtX w punkcie yφtXD. Ponieważ chcemy obliczyć granicę przy t0, zobaczymy jak zależy od t wyrażenie JφtXy. Ponieważ

φtXy=y+Xyt+0t2

macierz różniczki dyφtX ma wyrazy

aij=δji+Xiyjyt+0t2

a więc

JφtXy=detdyφtX=1+i=1nXiyjyt+0t2

Z założenia, że divX=0 wynika więc, że dvdt=0, zatem volφtXD=volD, dla każdego t.

Wniosek 11.2

Niech M będzie rozmaitością symplektyczną wymiaru 2n i niech U,φ będzie mapą symplektyczna na M. Wtedy lokalne dyfeomorfizmy związane z polami hamiltonowskimi gradωF zachowują miarę Lebesque'a na φU.

Ponieważ zgodnie z (10.16)

gradωF=FXn+1,,FX2m,-Fx1,,Fxn

mamy divgradωF=0.

11.4. Algebraiczne tło mechaniki hamiltonowskiej.

Związek równań (10.19) z fizyką polega na dwóch założeniach.

- Po pierwsze - w przypadku ewolucji układu fizycznego, rozmaitość M powinna być wiązką kostyczną do przestrzeni konfiguracyjnej naszego układu
- Po drugie - prawe strony rozważanych równań powinny być współrzędnymi gradientu symplektycznego funkcji H równej całkowitej energii naszego układu, wyrażonej za pomocą pędów i położeń.
Abstrahując od takich fizycznych ograniczeń możemy rozważać układ o postaci:

x˙t=gradωFx (11.5)

dla dowolnej rozmaitości symplektycznej M,ω. (Zgodnie z Definicją 10.4 i wzorem (10.17) prawa strona w (11.5) jest zdefiniowana niezależnie od współrzędnych lokalnych na M). Następujące dalej obserwacje pokazują algebraiczne tło ewolucji opisywanej układem (11.5). Obecność tej struktury w tle mechaniki klasycznej była jedną ze wskazówek przy budowaniu formalizmu mechaniki kwantowej.

Definicja 11.2

Niech M będzie 2m wymiarową rozmaitością symplektyczną z formą ω. Niech CM będzie algebrą funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych o wartościach w R (lub w C) na M. Określmy operację

CMCMf,gf,gCM

(zwaną nawiasem Poissona ) za pomocą formuły

f,g=gradωfg (11.6)
Stwierdzenie 11.3

(a) Nawias Poissona jest operacją dwuliniową i antysymetryczną.
(b) Dla f,g,h,C(M) spełniona jest tożsamość Jacobiego.

f,g,h+gh,f+h,f,g=0 (11.7)

(Szkic) (a) Z formuły (10.18) widać, że (11.6) zależy liniowo od f. Wynika z niej również opis lokalny nawiasu f,g w mapie symplektycznej:

f,g=i=1nfxm+1gxi-fx1gxm+i (11.8)

Zatem gradωfg=-gradωgf a więc nawias Poissona jest formą antysymetryczną.
(b) Wykorzystując antysymetrię nawiasu Poissona, przekształćmy (11.7) otrzymując:

f,g,h-gf,h=f,g,h.

Równość tę można odczytać jako równość

gradωfgradωgh-gradωggradωfh=gradωf,gh

Ponieważ zachodzi ona przy dowolnym h, traktując pola wektorowe jako operacje liniowe, możemy napisać

gradωfgradωg-gradωggradωf=gradωf,g (11.9)

i oznaczając komutator tych operacji jako nawias Liego odpowiednich pól możemy (11.9) zapisać w postaci

gradωf,gradωg=gradωf,g (11.10)

Przedstawione przejścia można też przeprowadzić w przeciwnym kierunku, co dowodzi, że równości (LABEL:10.4.3) i (11.10) są równoważne. Wykażemy, że zachodzi równość (11.10). W tym celu zastąpimy ją równoważną (ze względu na nieosobliwość ω) równością

[gradωf,gradωg]ω=(gradω{f,g})ω. (11.11)

Na mocy Stwierdzenia 11.1 punkty 5, 2, i 3 oraz równości (10.17) zapisanej w formie (gradωf)ω=df możemy lewą stronę (11.11) przedstawić w postaci

Lgradωf(dg)-Lgradωg(df)=d((gradωf))g)=d{f,g}

Natomiast strona prawa przyjmuje postać gradω{f,g}ω=d{f,g}.

Uwaga 11.1

Punkty a i b Stwierdzenia 11.3 można podsumować mówiąc, że przestrzeń liniowa CM wyposażona w dwuliniową operację

CMCMf,gf,gCM

jest algebrą Liego.Również przestrzeń liniowa ΓM wszystkich pól wektorowych klasy C na M, wyposażona w nawias Liego jest algebrą Liego. Zauważmy, że z (11.10) wynika, że odwzorowanie

gradω:(C(M),{,})fgradωf(Γ(M),[,])

jest homomorfizmem tych algebr. Jako obraz tego homomorfizmu otrzymujemy zbiór wszystkich pól hamiltonowskich, który stanowi zatem algebrę Liego. Jądrem homomorfizmu gradω są funkcje stałe. Powyższa struktura algebry Liego jest związana z konkretnym układem mechanicznym uwzględniając jedynie jego przestrzeń konfiguracyjną.

Stwierdzenie 11.4

(Poisson)

Niech M będzie rozmaitością symplektyczną z formą ω. Niech HCM. Rozpatrzmy ewolucję RtxtM opisaną układem równań Hamiltona

x˙t=gradωHxt (11.12)

Wtedy
(a) jeżeli f,H=0 to f jest całką pierwszą układu (11.12)
(b) jeżeli f1 i f2 są całkami pierwszymi tej ewolucji, to także f1,f2 jest całką pierwszą.

(a) Mamy

ddtfxt=gradωHxtf=H,fxt

Zatem f jest całką pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy f,H=0.
(b) Z tożsamości Jacobiego (LABEL:0.3.3) wynika, że

{H,{f1,f2}}={f1{f2,H}-{f2{H,f1}},

ale f2,H=H,f1=0. Zatem Hf1,f2=0, co należało pokazać.

Uzupełnieniem poprzedniego stwierdzenia jest pochodzące od Emmy Noether.

Stwierdzenie 11.5

Niech będą dane dwa układy o postaci (11.5) i o prawych stronach równych gradωFi,i=1,2. Jeżeli 1-parametrowa grupa lokalna txt1 związana z polem gradωF1 zachowuje F2, to F1 jest całką pierwszą układu x˙=gradωF2.

Niech xM i rozważmy krzywą całkową xt1x, gdzie x01=x wtedy

F2xt1x=F2x=const

a zatem

gradωF1F2x=ddtt=0F2xt1=0

czyli

F2,F1x=0

i ze Stwierdzenia 11.4 (a) wynika teza.

11.5. Relacje komutacyjne.

Przy powstawaniu formalzmu mechaniki kwantowej ważną wskazówką były wartości nawiasu Poissona dla kilku podstawowych funkcji, jakimi są położenia q1,,qn i pędy p1,,p2, będące współrzędnymi w wiązce kostycznej do przestrzeni konfiguracyjnej naszego układu. Dla mapy symplektycznej, w której nawias Poissona zadany jest formułą (11.12) otrzymamy

{pi,pj}=0i,j,=1,n (11.13)

Aby uzyskać (11.13) wystarczy w formule (11.12) przyjąć

f=pi,g=pj,oraz(x1,xn)=(q1,qn)i(xn+1,x2n)=(p1,pn)).

W analogiczny sposób otrzymamy

qi,qj=0i,j=1,n (11.14)
pi,qj=-δji1i,j=1,. (11.15)

gdzie 1 oznacza funkcję stałą, przyjmującą wartość 1.

11.6. Strukturalne spojrzenie na formalizm Hamiltona.

Teoria zajmująca się opisem zmian w czasie układu fizycznego składa się na ogół z trzech części. Po pierwsze podaje matematyczny model rzeczywistości podlegającej ewolucji. Opis tej rzeczywistości w ustalonej chwili nazwiemy stanem układu w tej chwili.

Drugą częścią teorii - najważniejszą fizycznie - jest matematyczne sformułowanie prawa ewolucji. Najczęściej prawo takie jest opisane równaniem różniczkowym. Trzecim składnikiem teorii jest wyróżnienie elementów dających informację o stanach układu, które z jednej strony powinny taki stan wyznaczać, a z drugiej strony mogłyby być wyznaczane za pomocą obserwacji i doświadczeń.
Elementy takie nazwiemy obserwablami.

W hamiltonowskim ujęciu mechaniki, opisem rzeczywistości jest przestrzeń fazowa F układu. W najprostszym przypadku, układu n-punktów poruszających się swobodnie w R3,F jest wiązką kostyczną do R3n. Stanami naszego układu będą punkty F. Prawem opisującym ewolucję układu są równania Hamiltona, określone przez naturalną strukturę symplektyczną na F oraz przez funkcję Hamiltona H=T+V, gdzie T jest energia kinetyczną a V potencjałem. We współrzędnych kartezjańskich równania te mają postać

q˙i=Hpi=pimip˙i=-Hqi=-Vqi=Fiq (11.16)

a ewolucja to przejście od stanu początkowego wyznaczającego warunki początkowe qt0=q0pt0=p0 do stanu w chwili T wyznaczonego w wyniku rozwiązania układu (11.16). Obserwablami dla naszego układu będą funkcje na F, takie, jak współrzędne, pędy, momenty pędu energia etc. Na równi z ewolucją obserwabli q1,..qn,p1,..pn daną równaniami (11.16) moglibyśmy badać bezpośrednio ewolucję innych obserwabli. I tak ewolucję obserwabli Bq,p,t możemy bezpośrednio opisać równaniem

Bq,p,tt=DHBq,p,t (11.17)

gdzie DH jest polem wektorowym na F o postaci

DH=i=1npimiqi+Fiqpi

Równanie to możemy interpretować jako równanie zwyczajne w przestrzeni funkcji na F. Istotnie pisząc Btq,p uzyskamy równanie opisujące krzywą
RtBt w postaci

dBtdt=DHBt

gdzie DH jest operatorem liniowym DHBt=DHBt.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.