Jeżeli magnes wykonany z żelaza podgrzejemy powyżej 770 stopni Celsjusza, tak-zwanej temperatury Curie, to straci on zdolności magnetyczne. Wykres namagnesowania jako funkcja temperatury T jest podany na Rys. 2.1.

Zjawisko te stara się wyjaśnić teoria ciała stałego, dział fizyki zajmujący się własnościami ciał makroskopowych. W bardzo dużym uproszczeniu przyjmujemy, że namagnesowanie sztabki żelaza jest sumą wektorową małych magnesów związanych z poszczególnymi atomami żelaza. Z jednej strony, siły oddziaływań pomiędzy magnesikami prowadzą do ich ułożenia wzdłuż jednego kierunku. Z drugiej strony, ruchy cieplne atomów zaburzają ten idealny porządek. Wynikiem tej rywalizacji pomiędzy czynnikiem energetycznym a czynnikiem losowym rosnącym w miarę wzrostu temperatury ciała są jego własności makroskopowe. Działem fizyki zajmującym się wyprowadzaniem własności makroskopowych ciał z mikroskopowych oddziaływań pomiędzy ich elementarnymi składnikami, atomami lub cząsteczkami, jest fizyka statystyczna.

W modelu Isinga, oddziałujące obiekty - magnesiki - umieszczone są w węzłach kraty Zd⁢,d≥1, gdzie Z jest zbiorem liczb całkowitych. Kratę taką możemy uważać za regularny graf, w którym krawędzie łączą najbliższych sąsiadów, to znaczy każdy wierzchołek (węzeł) jest połączony z wierzchołkiem z góry, z dołu, z prawa i z lewa. W każdym węźle i∈Zd umieszczamy matematyczną reprezentację magnesiku, σi, zmienną mogącą przyjmować dwie wartości: +1 (magnesik skierowany do góry) i -1 (magnesik skierowany do dołu). Zmienną σi nazywamy spinem w wierzchołku i. Formalnie, zbiorem konfiguracji nieskończonego układu jest Ω=+1,-1Zd, czyli zbiór wszystkich funkcji przypisujących każdemu wierzchołkowi +1 albo -1. Dla danej konfiguracji X∈Ω, Xi=σi⁢X nazywamy konfiguracją w węźle i∈Zd. Niech Λ⊂Zd będzie skończonym podzbiorem węzłów naszej kraty. ΩΛ=+1,-1Λ jest zbiorem konfiguracji na Λ. Hamiltonian (funkcjonał energii) określa nam energię konfiguracji na Λ.

Przyjmujemy, że oddziałują ze sobą spiny, które są najbliższymi sąsiadami.

gdzie <i,j> jest parą najbliższych sąsiadów a h jest zewnętrznym polem magnetycznym.

Hamiltonian w mechanice klasycznej oddziałujących cząstek jest sumą energii kinetycznej poszczególnych cząstek i energii potencjalnej oddziaływań między nimi (patrz wykład Wojtyńskiego). W powyższym wyrażeniu nie uwzględniamy energii potencjalnej.

Nasz układ spinowy podlega nieustannym ruchom cieplnym i w związku z tym jest układem stochastycznym. Powinniśmy więc określić prawdopodobieństwa przebywania układu w każdym z mikroskopowych stanów czyli elementów zbioru ΩΛ. Ponieważ zbiór zdarzeń elementarnych jest skończony, zakładamy że wszystkie jego podzbiory są mierzalne i wobec tego do zadania miary prawdopodobieństwa wystarczy określić prawdopodobieństwo każdego elementu X∈ΩΛ. Miara prawdopodobieństwa na ΩΛ jest interpretowana jako stan równowagowy układu fizycznego oddziałujących spinów. Mówi ona nam z jakimi prawdopodobieństwami (w stanie równowagi) układ znajduje się w poszczególnych stanach mikroskopowych. Wszelkie makroskopowe wielkości fizyczne, takie jak energia (HΛ) czy namagnesowanie układu, są więc zmiennymi losowymi na przestrzeni ΩΛ. Interesować nas będą wartości oczekiwane tych zmiennych losowych. W szczególności definiujemy namagnesowanie układu,

Wprowadzamy następujący rozkład prawdopodobieństwa,

gdzie T jest temperaturą układu, miarą jego ruchów cieplnych a

jest czynnikiem normalizującym prawdopodobieństwo. W fizyce Q nazywane jest sumą statystyczną natomiast ρΛT,h wielkim rozkładem kanonicznym. Odłożymy do następnego podrozdziału uzasadnienie wprowadzenia takiego a nie innego rozkładu prawdopodobieństwa.

Niezwykle ważną wielkością w fizyce jest energia swobodna, zwana także potencjałem termodynamicznym,

Wartości oczekiwane zmiennych losowych możemy dostać różniczkując potencjał. W szczególności łatwo zobaczyć, że

W rozdziale tym uogólnimy klasyczny model Isinga na przypadek więcej niż dwóch możliwych stanów, w których może znajdować się każdy wierzchołek sieci, na oddziaływania o większym zasięgu i niekoniecznie dwucząstkowe. Nasze modele będziemy interpretować w języku gazów sieciowych. W modelu gazu sieciowego w każdym wierzchołku sieci Zd znajduje się jedna cząstka o określonym typie. Zakładamy skończona liczbę typów. Zbiorem konfiguracji nieskończonego układu oddziałujących cząstek jest więc

Przez potencjał Φ oddziaływania cząstek rozumiemy nieskończoną rodzinę funkcji indeksowaną skończonymi podzbiorami Λ⊂Zd.

Widzimy więc, że model Isinga zadany jest przez potencjał dwucząstkowy o zasięgu 1.

Podstawowym pojęciem w mechanice statystycznej oddziałujących cząstek jest stan podstawowy. Intuicyjnie są to konfiguracje o najmniejszej energii. Energia nieskończonej konfiguracji zazwyczaj bywa nieskończona. Tak więc intuicyjna definicja nie ma sensu. Zamiast energii rozważmy w takim razie gęstość energii

Chcielibyśmy zdefiniować konfiguracje stanu podstawowego jako te, które minimalizują gęstość energii. Uwolniliśmy się od nieskończonych energii ale mamy inny kłopot. Jeśli X byłoby konfiguracja stanu podstawowego w myśl powyższej definicji, to każde jej lokalne zaburzenie też miałoby minimalną gęstość energii, więc też byłoby konfiguracją stanu podstawowego, co jest oczywistym absurdem. Musimy być bardziej subtelni. Wprowadzimy pojęcie Hamiltonianu względnego.

Powyższa definicja ma charakter lokalny. Konfiguracja stanu podstawowego jest taką konfiguracją, której nie można lokalnie zaburzyć tak aby zmniejszyć wartość Hamiltonianu względnego. Zastanowimy się teraz w jakim sensie konfiguracje stanu podstawowego posiadają własność globalnego minimum energii.

Odwrotna implikacja nie jest oczywiście prawdziwa. Twierdzenie odwrotne zachodzi natomiast jeżeli będziemy rozważać tylko konfiguracje okresowe.

Mamy następującą postać twierdzenia odwrotnego.

Rozpoczniemy od fundamentalnego pytania: czy każdy skończenie zasięgowy translacyjnie niezmienniczy potencjał posiada co najmniej jedną okresową konfigurację stanu podstawowego?

Poniżej zamieszczamy krótki szkic rozumowania zamieszczonego w książce P.W. Andersona ….. i mającego odpowiadać twierdząco na powyższe pytanie.

W tym samym 1984 roku odkryto kwazikryształy, których atomy rozmieszczone są w przestrzeni w sposób nieokresowy []. Był to pierwszy eksperymentalny kontrprzykład do ogólnie przyjętej hipotezy, że ciało stałe przy odpowiednio niskich temperaturach zawsze powinno występować w formie krystalicznej czyli przestrzennie okresowej. Typowym przykładem są kryształki soli kamiennej NaCL, w których atomy sodu i chloru tworzą okresową strukturę przedstawioną na Rys. 2.5.

W rozdziale tym będziemy rozważać pokrycia płaszczyzny wielobokami nazywanymi przez nas kafelkami lub dachówkami. Wybieramy skończoną liczbę kafelków, nazywamy je prototypami. Mamy do dyspozycji nieskończoną liczbę kopii każdego prototypu. Staramy się pokryć nimi nieskończoną płaszczyznę tak aby każdy punkt płaszczyzny został pokryty i żeby kafelki nie miały części wspólnych (z wyjątkiem brzegów).

W 1900 roku David Hilbert zaprezentował 23 fundamentalne problemy matematyczne. Druga cześć 18-tego problemu zawiera w istocie następujące (nadal pozostawione bez odpowiedzi) pytanie: Czy istnieje wielobok pokrywający nieskończoną płaszczyznę tylko w sposób nieokresowy?

W 1974 roku, na długo przed odkryciem kwazikryształów, Roger Penrose, fizyk matematyczny z Oxfordu, skonstruował (albo odkrył jak kto woli) dwie dachówki, zwane latawcem i grotem, którymi można pokryć płaszczyznę tylko w sposób nieokresowy, Rys. 2.6 (patrz artykuł w delcie i Scientific American).

W dalszej części tego rozdziału będziemy zajmować się dachówkami kwadratowymi z wcięciami i wypustkami na bokach. Wcięcia i wypustki możemy reprezentować odpowiednimi kolorami boków. Dwa sąsiednie kwadraty pasują do siebie gdy wypustki jednego pasują do wcięć drugiego albo alternatywnie kolory odpowiednich boków są takie same. Dachówki takie nazywane są dominami albo dachówkami Wanga. Jeżeli można nimi pokryć płaszczyznę, to ich środki tworzą regularny graf Z2. Nieskończone pokrycie płaszczyzny dachówkami jest nazywane mozaiką albo po prostu pokryciem. Jest oczywiste, że kwadratowe kafelki bez żadnych kolorowań mogą pokryć płaszczyznę i to na wiele okresowych i nieokresowych sposobów; jedno z takich pokryć jest bardzo dobrze znane każdemu kafelkarzowi. Na Rys. 2.7 zaprezentowano dwa kafelki i jedyne pokrycie płaszczyzny.

W 1961 roku Hao Wang postawił hipotezę, że każdy skończony zestaw płytek domina pokrywający płaszczyznę może pokryć ją także w sposób okresowy. Hipoteza ta miała związek z problem rozstrzygalności - czy istnieje uniwersalny program komputerowy (maszyna Turinga), który w skończonej liczbie kroków dostarczyłby odpowiedzi na pytanie czy dany zestaw domin może pokryć płaszczyznę. Jeżeli powyższa hipoteza byłaby prawdziwa, to próbując stopniowo pokrywać coraz większe obszary płaszczyzny odkrylibyśmy w skończonej liczbie kroków układ domin, który moglibyśmy powtarzać i skonstruować w ten sposób pokrycie okresowe. Pierwszy kontrprzykład pojawił się w 1996 roku i jest autorstwa Roberta Bergera []. Zaprojektował on 20426 kafelków pokrywających płaszczyznę tylko w sposób nieokresowy. W 1971 roku Raphael Robinson obniżył liczbę dachówek o tej własności do 56 []. Na Rys. 2.8 zaprezentowanych jest 6 dachówek Robinsona, pozostałe można z nich otrzymać przy pomocy obrotów i odbić.

Na Rys. 2.9 pokazana jest struktura nieokresowej mozaiki Robinsona.

W 1977 Robert Ammann ustanowił nowy rekord świata minimalnej liczby kafelków pokrywających płaszczyznę tylko w sposób nieokresowy. Następnym rekordzistą został w 1996 roku Jarrko Kari z 14 kafelkami) []. Obecny rekord 13 kafelków, też z 1996 roku, należy do Karela Culika II [], Rys. 2.10.

Zapraszam do pobicia rekordu świata.

Zaprezentujemy teraz translacyjnie niezmienniczy skończenie zasięgowy potencjał gazu sieciowego nieposiadający żadnej okresowej konfiguracji stanu podstawowego. Nasza konstrukcja opiera się na nieokresowych mozaikach. Przykładowo użyjemy dachówek Ammanna. Każdą dachówkę na Rys. X traktujemy jako rodzaj cząstki. Zbiorem konfiguracji gazu sieciowego jest więc 1,…⁢16Z2. Energia oddziaływania dwóch sąsiednich cząstek jest równa 0 jeśli odpowiadające im dachówki pasują do siebie, w przeciwnym przypadku energia jest dodatnia, powiedzmy równa 1. Nieskończone mozaiki odpowiadają więc konfiguracjom stanu podstawowego o gęstości energii 0 - wszystkie dachówki pasują do siebie. Brak okresowych mozaik pociąga za sobą nieistnienie okresowych stanów podstawowych w naszym modelu.

Fundamentalnym pytaniem jest czy nieokresowa struktura obecna w konfiguracjach stanu podstawowego, czyli w zerowej temperaturze, przetrwa w dodatniej temperaturze. Innymi słowy czy struktura nieokresowa jest odporna na dowolnie małe cieplne fluktuacje.

Czy istnieje klasyczny model gazu sieciowego z translacyjnie niezmienniczym skończenie zasięgowym potencjałem bez okresowych konfiguracji stanów podstawowych i z nieokresowym stanem Gibbsa?

Rozważmy model gazu sieciowego odpowiadający dachówkom Ammanna. Niech Y będzie jedną z nieokresowych konfiguracji stanu podstawowego, ρΛ,TY stanem Gibbsa w skończonym obszarze Λ z warunkami brzegowymi Y poza Λ a ρTY=limΛ→Z2⁡ρΛ,TY stanem Gibbsa w granicy termodynamicznej.

Czy dla każdego ϵ, istnieje temperatura T′, taka że jeśli T<T′, to ρYT(X0=Y0>1-ϵ ?

Odpowiedź twierdząca na powyższe pytanie pociąga za sobą nieokresowość ρTY. Symulacje komputerowe przemawiające za taką sytuacją można zmaleźć w []. Jednocześnie należy wspomnieć o hipotezie mówiącej o nieistnieniu nieokresowych stanów Gibbsa w modelach dwuwymiarowych. Z każdego dwuwymiarowego modelu można stworzyć w łatwy sposób model trójwymiarowy. Do oddziaływań w Z2 dodajemy oddziaływania najbliższych sąsiadów wzdłuż kierunku prostopadłego do Z2 - energia oddziaływania dwóch takich samych cząstek będących najbliższymi sąsiadami jest równa zero, energia każdej pary składającej się z różnych cząstek jest dodatnia, powiedzmy 1. Widzimy, że dwuwymiarowe konfiguracje stanu podstawowego propagują się wzdłuż kierunku prostopadłego do Z2.

Modele gazów sieciowych odpowiadające dachówkom Robinsona badane były w [].