W ogólności, uwarunkowanie naszego zadania może być niestety dowolnie duże.

Oczywiście, otrzymane oszacowanie nie oznacza, że w powyższym przykładzie w ogóle nie potrafimy aproksymować wartości własnej. Tracimy jednak na liczbie poprawnie obliczonych cyfr znaczących wyniku. Niech n=2. Wtedy przy dokładności arytmetyki 10-8 możemy spodziewać się jedynie wyniku z dokładnością do czterech cyfr znaczących, a przy dokładności 10-16 z dokładnością do ośmiu cyfr znaczących. Co więcej, im większy format n klatki Jordana tym gorzej.

Powyższy przykład pokazuje również, że praktycznie niemożliwe jest numeryczne wyznaczenie struktury macierzy. Nawet drobne zaburzenie macierzy powoduje bowiem, że pojedyncza klatka Jordana staje się macierzą diagonalizowalną.

Dalej będziemy już zakładać, że macierz A jest diagonalizowalna, czyli że jej postać Jordana jest macierzą diagonalną. Wtedy mamy następujące oszacowanie Bauera-Fike'a.

Dla macierzy diagonalizowalnych zaburzenia wartości własnych są więc lipschitzowską funkcją zaburzeń macierzy, przy czym stała Lipschitza wynosi cond⁢V.

Podane oszacowanie jest globalne dla wszystkich wartości własnych. Zaburzenia macierzy A mogą jednak w różny sposób przenosić się na zaburzenia różnych wartości własnych. Od czego to zależy? Tak jak w dowodzie twierdzenia Bauera-Fike'a, niech

A+E⁢⁢x→⁢=⁢μ⁢⁢x→,⁢x→22=x→⁢H⁢⁢x→=1.

Biorąc jedynie i-tą współrzędną po obu stronach równania (1.2) dostajemy

λi-μ⁢⁢z→i⁢H⁢⁢x→⁢=-z→i⁢H⁢⁢E⁢⁢x→,

(1.3)

gdzie z→i jest znormalizowaną i-tą kolumną macierzy

V-1H⁢=⁢w→1,w→2,…,w→n,

tzn. z→i=w→i/w→i2. W szczególności, z→i2=1 oraz

z→i⁢⟂⁢span⁢v→1,…,v→i-1,v→i+1,…,v→n

(ortogonalność ze względu na zwykły iloczyn skalarny). Stąd, jeśli z→i i x→ nie są ortogonalne to

λi-μ⁢≤⁢Ez→i⁢H⁢⁢x→.

Dla ustalenia uwagi załóżmy teraz, że minimum w twierdzeniu 1.2 jest osiągane dla k=1, a podprzestrzenią własną wartości własnej λ1 jest

V⁢=⁢span⁢v→1,v→2,…,v→s,

gdzie wektory własne v→1,…,v→s tworzą bazę ortonormalną w V. Jeśli wektor x→ jest `dostatecznie blisko' podprzestrzeni własnej V (co, jak pokażemy w następnym podrozdziale, jest prawdą dla dostatecznie małego zaburzenia E) to λ1-μ można w przybliżeniu oszacować z góry przez maksymalną wartość wyrażenia

Emax1≤i≤s⁡z→i⁢H⁢⁢y→

po wszystkich y→∈V takich, że y→2=1. Niech więc y→=∑i=1sai⁢⁢v→i∈V, przy czym ∑i=1sai2=1. Wobec tego, że dla każdego i mamy

z→i⁢H⁢⁢y→⁢=⁢ai⁢⁢z→i⁢H⁢⁢v→i⁢=⁢ai/wi2,

interesujące nas `max' jest najmniejsze gdy ai=wi2⁢∑j=1swj2-1/2. Stąd dostajemy

λ1-μ⁢⪅⁢∑i=1swi221/2⋅E⁢⁢E→0+.

Ponieważ wi=1/z→i⁢H⁢⁢v→i oraz z→i jest ortogonalny do span⁢v→j:⁢j≠i, otrzymana nierówność sugeruje, że wartość własna λ1 może być bardzo wrażliwa na zaburzenia macierzy gdy odpowiadająca jej podprzestrzeń własna span⁢v→1,…,v→s jest `prawie ortogonalna' do span⁢v→s+1,…,v→n⟂. Dobrze ilustruje to następujący przykład.

Przez zaburzenie wektora własnego będziemy rozumieć odległość wektora x→ od podprzestrzeni własnej V, tzn.

dist⁢x→,V⁢:=⁢min⁡⁢⁢x→-v→2:⁢⁢v→∈V⁢,

albo, równoważnie, długość rzutu ortogonalnego P⁢x→ wektora x→ na podprzestrzeń

V⟂⁢=⁢span⁢z→s+1,…,z→n.

Pokażemy, że podobnie jak przypadku wartości własnych, zaburzenie wektorów własnych jest lipszitzowską funkcją E. W tym celu, wybierzmy w V⟂ dowolną bazę ortonormalną

Y⁢=⁢y→s+1,…,y→n∈Cn,n-s.

Niech BH∈Cn-s,n-s będzie macierzą przejścia z bazy Z=z→s+1,…,z→n do Y,

Y⁢=⁢Z⁢⁢BH.

Wtedy

P⁢x→2⁢=⁢YH⁢⁢P⁢x→2⁢=⁢B⁢⁢ZH⁢⁢P⁢x→2.

Wobec równości (1.3) mamy

ZH⁢⁢P⁢x→⁢=-diag⁢λs+1-μ-1,…,λn-μ-1⁢⁢B-1⁢⁢YH⁢⁢E⁢⁢x→.

Ponieważ na podstawie twierdzenia Bauera-Fike'a mamy

λ1-μ⁢≥⁢λi-λ1-λ1-μ⁢≥⁢λi-λ1-cond⁢V⋅E,

otrzymujemy następującą przybliżoną nierówność

dist⁢x→,V⁢=⁢P⁢x→2⁢⪅⁢B2⁢B-12mins+1≤i≤n⁡λi-λ1⁢⁢E⁢⁢E→0+.

(1.4)

Uwaga. W przykładzie 1.2 istotnemu zaburzeniu uległy wartości własne, natomiast wektory własne nie. Jest to zrozumiałe w świetle ostatniego wyniku. W przypadku macierzy 2×2 mamy bowiem B=1∈C1,1 i w konsekwencji wrażliwość wektorów własnych zależy tylko od różnicy λ1-λ2.

Poniższy przykład dla macierzy symetrycznej (!) pokazuje jak ważne dla wrażliwości wektorów własnych jest odseparowanie różnych wartości własnych.

Przypomnijmy twierdzenie 1.1, które mówi, że dla macierzy symetrycznej istnieje baza ortonormalna Q jej wektorów własnych. Ponieważ dla macierzy ortogonanych mamy Q2=1,

cond2⁢Q⁢=⁢Q2⁢QT2⁢= 1.

To zaś, razem z twierdzeniem 1.2 implikuje, że każda watość własna μ macierzy sąsiedniej A+E spełnia nierówność

min1≤i≤n⁡λi-μ⁢≤⁢E2.

Możemy jednak pokazać dużo więcej. Zachodzi bowiem następujące twierdzenie Weyla.

Dowód twierdzenia opiera się na następującej pożytecznej nierówności.

Dla dowodu twierdzenia 1.3 zastosujemy lemat 1.5 najpierw do macierzy A+E, a potem do macierzy A=A+E-E. Otrzymujemy odpowiednio

	μk	=	mindim⁢W=n-k+1⁡⁢max0→≠y→∈W⁡x→⁢T⁢⁢A+E⁢⁢x→x→⁢T⁢⁢x→
		≤	mindim⁢W=n-k+1⁡⁢max0→≠y→∈W⁡x→⁢T⁢⁢A⁢⁢x→x→⁢T⁢⁢x→⁢+E2
		=	λk⁢+⁢E2,

oraz podobnie nierówność odwrotną λk⁢≤⁢μk+E2, czyli ostatecznie

λk-μk⁢≤⁢E2.

Zanotujmy jeszcze, że wielkość

x→⁢T⁢⁢A⁢⁢x→x→⁢T⁢⁢x→

znana jest pod nazwą ilorazu Rayleigh'a.

Niech Vk⊂Rn będzie podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej λk macierzy A, a x→k wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej μk macierzy sąsiedniej A+E. Niech dalej θk będzie kątem pomiędzy x→k i podprzestrzenią Vk. Wtedy

sin⁡θk⁢⪅⁢E2minλj≠λk⁡λk-λj⁢⁢E2→0+.

Rzeczywiście, to wynika bezpośrednio z twierdzenia 1.3, nierówności (1.4) oraz faktu, że macierz B w (1.4) jest identycznością. Pokażemy teraz nierówność dokładną.

Pokazaliśmy, że wektory własne są mało wrażliwe na zaburzenia macierzy o ile wartości własne są odseparowane od siebie na poziomie dużo większym niż E2. W szczególności, jeśli dodatkowo λi≠λj, i≠j, to mamy jednolite oszacowanie

12⁢⁢sin⁡2⁢θk⁢≤⁢E2mini≠j⁡λi-λj.

Przypomnijmy jeszcze przykład 1.3 pokazujący, że warunek odseparowania wartości własnych jest konieczny.