Niech

Jeśli f jest funkcją jednej zmiennej, f:a,b→R, to wielomian

gdzie lj jest j-tym wielomianem Lagrange'a,

(przy czym l1≡1 dla r=1) jest stopnia co najwyżej r-1 i interpoluje f w punktach tj, tzn. przyjmuje w tych punktach te same wartości co f. W przypadku d≥2 możemy podobnie zdefiniować ,,wielowymiarowe” wielomiany Lagrange'a.

W tym celu zakładamy, że na każdej współrzędnej dany jest przedział, a w nim układ r punktów

Oznaczając przez ljk odpowiednie wielomiany Lagrange'a jednej zmiennej dla k-tego podziału, definiujemy wielomiany Lagrange'a d zmiennych jako

dla wszystkich 1≤jk≤r, 1≤k≤d. Dla skrócenia zapisu, będziemy dalej używać zapisu wektorowego j→=j1,…,jd, a 1≤j→≤d będzie oznaczać, że nierówności zachodzą dla każdej współrzędnej jk, 1≤k≤d. Podobnie, tj→=tj11,tj22,…,tjdd.

Wielomiany lj→ należą do przestrzeni Pdr wielomianów d zmiennych postaci

gdzie ai→ są dowolnymi wsoółczynnikami rzeczywistymi. Zauważmy, że p∈Pdr wtedy i tylko wtedy gdy p jest wielomianem stopnia co najwyżej r-1 ze względu na każdą zmienną xk.

Lemat 13.1 wykorzystamy do pokazania następującego twierdzenia.

Stąd już jeden krok do następującego wniosku podsumowującego nasze dotychczasowe rozważania. Niech

będzie d wymiarowym prostokątem.

Zastanówmy się teraz jaki jest błąd otrzymanej interpolacji. Dla uproszczenia będziemy od teraz zakładać, że D jest kostką d wymiarową, tzn. wszystkie krawędzie mają tą samą długość, którą oznaczymy przez H, a węzły na każdej współrzędnej

gdzie

jest pewną ustaloną siatką na odcinku jednostkowym.

W przypadku skalarnym, o ile funkcja f jest r-krotnie różniczkowalna w sposób ciągły, to

przy czym ξ∈a,b zależy od x. Stąd w szczególności mamy

gdzie fr∞=maxa≤t≤b⁡fr⁢t. Aby wyprowadzić formułę na bład interpolacji w przypadku wielowymiarowym, będziemy potrzebować pewnego prostego uogólnienia ostatniego wzoru.

Załóżmy, że zamiast dokładnych wartości f⁢ti mamy jedynie wartości przybliżone yi takie, że błąd

Niech dalej p~f będzie wielomianem stopnia co najwyżej r-1 interpolującym dane przybliżone yi w punktach ti. Ponieważ pf-p~f jest wielomianem interpolującym dane f⁢tj-yj, na podstawie wzoru (13.1) mamy

gdzie S1=1, a dla r≥2

Stąd i z formuły na błąd interpolacji dla dokładnych danych otrzymujemy

Wprowadzimy jeszcze klasę Fr⁢D funkcji f:D→R, które w całej swojej dziedzinie są r-krotnie różniczkowalne w sposób ciągły ze względu na każdą zmienną. Dla f∈Fr⁢D definiujemy

Jesteśmy już dobrze uzbrojeni w mechanizm interpolacyjny i możemy zdefiniować wielowymiarowe kwadratury interpolacyjne dla całkowania funkcji f:D→R zdefiniowanych na kostce

Kwadratury te dane są równością

gdzie pf∈Pdr jest wielomianem interpolującym f w punktach tj→, 1≤j→≤r.

Chociaż postać (13.6) kwadratury znakomicie nadaje się do rozważań teoretycznych, nie jest jednak praktyczna ze względu na obliczenia. Zauważmy, że

gdzie lj jest j-tym wielomianem Lagrange'a dla punktów u1,u2,…,ud. Stąd, wprowadzając oznaczenie

kwadraturę interpolacyjną można zapisać w postaci

Zauważmy, że ak są współczynnikami jednowymiarowej kwadratury interpolacyjnej Qr⁢f=∑k=1rak⁢f⁢tk opartej na punktach uk, przybliżającej całkę ∫01f⁢u⁢⁢d⁢u. Mówiąc inaczej, zdefiniowana przez nas wielowymiarowa kwadratura interpolacyjna jest d-produktem tensorowym wybranej kwadratury jednowymiarowej.

Na koniec tego podrozdziału podamy oszacowanie błędu kwadratury Qr,d. Ponieważ

z twierdzenia 13.2 natychmiast otrzymujemy następujący wniosek.

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, definiujemy kwadratury złożone dla funkcji wielu zmiennych. Dla uproszczenia zakładamy, że całkujemy po kostce jednostkowej 0,1d.

Dla danego n wprowadzamy podział kostki na nd podkostek

Następnie na każdej podkostce stosujemy prostą kwadraturę interpolacyjną opartą na siatce regularnej składającej się z rd punktów. Skonstruowaną w ten sposób kwadraturę złożoną oznaczymy przez Qr,dn.

Nasze rozważania wieńczy twierdzenie o błędzie kwadratury złożonej, które natychmiast wynika z wniosku 13.2 oraz sposobu konstrukcji kwadratury.