Ponieważ wartości własne macierzy A są zerami jej wielomianu charakterystycznego, narzucająca się metoda poszukiwania wartości własnych polegałaby na wyliczeniu współczynników tego wielomianu, na przykład w bazie potęgowej, a następnie na zastosowaniu jednej ze znanych metod znajdowania zer wielomianu. Dla wielomianów o współczynnikach rzeczywistych mogłaby to być np. metoda bisekcji, metoda Newtona (siecznych), albo pewna kombinacja obu method. Należy jednak przestrzec przed dokładnie takim postępowaniem. Rzecz w tym, że zera wielomianu mogą być bardzo wrażliwe na zaburzenia jego współczynnikówi. Dobrze ilustruje to następujący przykład.

Nie znaczy to oczywiście, że metody bazujące na obliczaniu wielomianu charakterystycznego, czy jego pochodnych trzeba z gruntu odrzucić. Trzeba tylko pamiętać, aby przy obliczeniach korzystać bezpośrednio ze współczynników ai,j macierzy A, ponieważ, jak wiemy z poprzedniego rozdziału, zadanie jest ze względu na te współczynniki dobrze uwarunkowane.

Z drugiej strony zauważmy, że policzenie wyznacznika macierzy pełnej wprost z definicji jest raczej kosztowne. Dlatego w praktyce metody wyznacznikowe są zwykle poprzedzone prekomputingiem polegającym na sprowadzeniu macierzy przez podobieństwa ortogonalne do prostszej postaci, z której wyznacznik można już obliczyć dużo tańszym kosztem niż dla macierzy pełnej. Tego typu precomputing ma również zastosowanie w innych metodach, w którym np. trzeba wykonywać mnożenie macierzy przez wektor.

Jedną z takich wygodnych postaci macierzy jest postać Hessenberga, a dla macierzy hermitowskich postać trójdiagonalna.

Przy pomocy metody Hymana możemy w zręczny sposób obliczyć wartości i pochodne wielomianu charakterystycznego det⁡A-λ⁢⁢I dla macierzy Hessenberga A=ai,j∈Cn,n. Bez zmniejszenia ogólności będziemy zakładać, że wszystkie elementy ai+1,i≠0. W przeciwnym przypadku wyznacznik można obliczyć jako iloczyn wyznaczników macierzy Hessenberga niższych rzędów.

Metoda Hymana polega na dodaniu do pierwszego wiersza macierzy A-λ⁢⁢I wiersza i-tego pomnożonego przez pewien współczynnik qi=qi⁢λ, dla i=2,3,…,n tak, aby wyzerować elementy 1,i dla i=1,2,…,n-1. Ponieważ

mamy następujące równania na qi:

dla i=2,3,…,n-1. Stąd, definiując dodatkowo q1=1, dostajemy następujące równania rekurencyjne:

Po opisanym przekształceniu macierzy A-λ⁢⁢I zmieni się jedynie jej pierwszy wiersz; wyrazy a1,i, 1≤i≤n-1, zostaną wyzerowane, a a1,n zostanie przekształcony do

Rozwijając wyznacznik względem (przekształconego) pierwszego wiersza otrzymujemy

a stąd zera wielomianu charakterystycznego są równe zerom wielomianu

Oczywiście, wartości qn+1⁢λ można obliczać stosując wzory rekurencyjne (2.2) przedłużając je o i=n, przy dodatkowym formalnym podstawieniu an+1,n=1.

Aby móc zastowoać netodę Newtona (stycznych) do znalezienia zer wielomianu qn+1 potrzebujemy również wiedzieć jak obliczać jego pochodne. To też nie jest problem, bo rekurencyjne wzory na pochodne można uzyskać po prostu różniczkując wzory (2.2). Dodajmy, że koszt obliczenia wartości qn+1⁢λ i qn+1′⁢λ jest proporjonalny do n2, co jest istotnym zyskiem w porównaniu z kosztem n3 obliczania wyznacznika pełnej macierzy za pomocą faktoryzacji metodą eliminacji Gaussa.

Formuły na obliczanie wyznacznika det⁡A-λ⁢⁢I i jego pochodnych uproszczają się jeszcze bardziej gdy macierz A jest dodatkowo hermitowska, czyli jest macierzą trójdiagonalną postaci (2.1). Wtedy, stosując zwykłe rozumowanie rekurencyjne, łatwo się przekonać, że kolejne minory główne (czyli wyznaczniki macierzy kątowych) spełniają zależności

Różniczkując otrzymane wzory otrzymujemy formuły na pochodne kolejnych minorów po λ. Wartości wielomianu det⁡A-λ⁢⁢I=pn⁢λ oraz jego pochodnych można więc obliczać kosztem liniowym w n.

Sprawę konkretnej implementacji metod iteracyjnych bisekcji i/lub Newtona do wyznaczenia zer wielomianu det⁡A-λ⁢⁢I tutaj pomijamy. Ograniczymy się jedynie do stwierdzenia, że nie jest to rzecz całkiem trywialna.

Odwrotna metoda potęgowa albo metoda Wielandta, polega na zastosowaniu (prostej) metody potęgowej do macierzy A-σ⁢⁢I-1. Dokładniej, startując z przybliżenia początkowego x→0 o jednostkowej normie drugiej obliczamy kolejno dla k=0,1,2,…

oraz ηk:=x→k⁢H⁢⁢A⁢⁢x→k.

Od razu nasuwają się dwie uwagi. Po pierwsze, iteracja odwrotna ma sens tylko wtedy gdy parametr σ jest tak dobrany, że macierz A-σ⁢⁢I jest nieosobliwa, co jest równoważne warunkowi σ≠μi dla wszystkich i. Po drugie, w realizacji numerycznej, dla znalezienia wektora y→k nie odwracamy macierzy A-σ⁢⁢I, ale rozwiązujemy układ równań A-σ⁢⁢I⁢⁢y→=x→k, co czyni metodę tak samo kosztowną co iteracja prosta.

Analiza iteracji odwrotnych przebiega podobnie do analizy iteracji prostych dla macierzy A-σ⁢⁢I-1. Nietrudno zauważyć, że macierz ta ma te same wektory własne co A, a jej wartości własne wynoszą

(To wynika bezpośrednio z równości A+σ⁢⁢I⁢⁢v→i=μi+σ⁢⁢v→i.) Dlatego iteracje odwrotne zbiegają do wektora własnego odpowiadającego wartości własnej μi* takiej, że

przy czym szybkość zbieżności zależy teraz od wielkości

(a nie od ρj=μj+1/μ1, jak w iteracji prostej).

Niewątpliwą zalety odwrotnej metody potęgowej jest to, że zbiega do wartości własnej najbliższej σ, przy czym im σ bliższe μi* tym lepiej. Metoda jest więc szczególnie efektywna w przypadku gdy znamy dobre przybliżenia wartości własnych macierzy A. Niestety, taka informacja nie zawsze jest dana wprost.

Pamiętając, że kolejne przybliżenia wartości własnej w metodzie potęgowej są obliczane przy pomocy ilorazów Rayleigha, dobrym pomysłem na przesunięcie wydaje się być wzięcie w k-tym kroku iteracji odwrotnej

Rzeczywiście. Niech γk będzie kątem pomiędzy x→k a podprzestrzenią własną Vi*. Zakładając, że ηk jest dostatecznie blisko μi* oraz przyjmując δ=mini≠i*⁡μi*-μi, na podstawie twierdzenia 2.1 mamy

Zamiast zbieżności kwadratowej, jak w prostej metodzie potęgowej, dostaliśmy (asymptotycznie!) zbieżność sześcienną.

Metoda potęgowa, prosta lub odwrotna, pozwala wyznaczyć tylko jedną wartość własną, powiedzmy μ1, oraz odpowiadający jej wektor własny. Naturalne jest teraz pytanie o to jak postępować, aby znaleźć inne pary własne. Jednym ze sposobów jest zastosowanie deflacji.

Jeśli macierz jest hermitowska, A=AH, oraz znaleźliśmy wektor własny v→1 odpowiadający wartości własnej μ1, to możemy ponowić proces metody potęgowej ograniczając go do podprzestrzeni prostopadłej do v→1 wymiaru n-1. Osiągamy to startując z wektora x→0 prostopadłego do v→1, tzn.

gdzie w→≠0→ jest wybrany losowo. Przy idealnej realizacji procesu konstruowany ciąg x→k należałby do podprzestrzeni prostopadłej do v→1. W obecności błędów zaokrągleń należałoby to wymusić poprzez reortogonalizację,

wykonywaną np. co kilka kroków. Po znalezieniu drugiej pary własnej, proces deflacji możemy kontynuować, ograniczając się do odpowiedniej podprzestrzeni własnej wymiaru n-2.