Bank w którym mam swój ROR, kapitalizuje moje saldo (tzn. dopisuje odsetki) co miesiąc, nominalna stopa oprocentowania wynosi 13.5⁢%. Co to znaczy w praktyce? Oznacza to , że po miesiącu stan mojego konta wyniesie

a po l miesiącach

(zakładamy , że w międzyczasie nic nie wpłacam i nic nie podejmuję); na przykład po roku mam na koncie

Powyższe rozważania streszczamy krótko:

Nominalnej stopiei12=13.5⁢%odpowiada efektywna stopa (roczna)i≈14.4⁢%.

Ogólnie, jeśli dopisywanie odsetek odbywa się m razy w ciągu roku (oczywiście m jest całkowite!), to nominalna stopa im jest powiązana z równoważną jej stopą efektywną i zależnością

Po roku musi przyrosnąć taka sam kwota po obu stronach w zależności (2.8), chociaż po lewej przyrasta m razy, a po prawej tylko raz. Rozumowanie takie można powtórzyć dla nominalnych stóp dyskontowych; otrzymuje się wówczas zależność

W tym kontekście ciekawe uzasadnienie można podać dla kapitalizacji ciągłej.

Załóżmy, że w naszym mieście jest nieskończenie wiele banków . Każdy z nich oferuje taką samą nominalną stopę oprocentowania δ rachunków ROR, z tym że w banku nr m odsetki są kapitalizowane m razy w ciągu roku – np. bank nr 365 dopisuje odsetki codziennie. Niech teraz im oznacza efektywną roczną stopę oprocentowania, którą uzyskamy w banku nr m. Mamy więc

Ponieważ liczby te wzrastają wraz z m, więc im większy jest numer banku, tym korzystniejsza jest jego oferta. Czy można przebić tę nieskończoną mnogość coraz lepszych ofert? Okazuje się , że tak! Ponieważ

więc wystarczy założyć bank (nazwijmy go umownie bankiem granicznym) i zaproponować efektywną roczną stopę oprocentowania w wysokości

Odsetki wypłaca się raz do roku w powyższej wysokości.

Co to ma wspólnego z kapitalizacją ciągłą? Załóżmy, że chcemy wycofać pieniądze w chwili t, gdzie o t nic się nie zakłada. Dla większości banków t nie będzie całkowitą wielokrotnością ich okresu odsetkowego (1/m roku), ale załóżmy, że taki bank zaliczy nam łaskawie ostatnią cząstkę okresu odsetkowego jako cały. Nasz początkowy kapitał k0 wzrośnie więc po czasie t w banku nr m do

(y oznacza część całkowitą liczby y). Otrzymujemy stąd

Skorzystaliśmy z (2.10) i (2.11). Wobec tego nasz bank graniczny w chwili t powinien wypłacić

tzn. powinien kapitalizować odsetki w sposób ciągły. Liczbę

nazywamy intensywnością oprocentowania. łatwo pokazać, że

gdzie im, dm są stopami nominalnymi równoważnymi zadanej efektywnej stopie rocznej i.

Rent używa się w finansach i ubezpieczeniach przede wszystkim do ratalnej spłaty długów, do płacenia składek i do wypłaty emerytur.

Oto przykład wprowadzający. Od 1 stycznia 2000 r. przez następne dziesięć lat będę otrzymywać 1 zł na początku każdego roku. Jaka jest wartość tego ciągu wypłat na 1 stycznia 2000 r.? Każdą z 10 płatności trzeba zdyskontować na dziś, tak więc

gdzie v jest czynnikiem dyskontującym. Skrót PV oznacza po angielsku present value, czyli wartość obecną tego strumienia wypłat. Nie jest to w zasadzie pojęcie dla nas nowe. Wzór (2.3) przedstawia, na przykład, wartość obecną pojedynczej wypłaty k1, dokonywanej za rok. Ponieważ tego typu wielkości będą się pojawiać regularnie, wprowadzamy oznaczenie a¨n¯∣ na wartość obecną n złotówek otrzymywanych co rok, od dziś włącznie (tak więc ostatnia n–ta wpłata wpłynie po n-1 latach). Podobnie jak wyżej

Sytuację tę zilustrowano na rys.2. Ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego i ze wzoru (2.6) otrzymujemy

Po przekształceniu uzyskujemy wzór

który ma piękną interpretację.

Prawa strona wzoru: pożyczamy komuś 1 zł (dziś). Strona lewa: nasz dłużnik spłaca nam na bieżąco odsetki – na początku każdego roku przez n lat, w ten sposób dług zasadniczy nie zwiększa się. Po n okresach zwraca nam pożyczone 1 zł, które zdyskontowane na dziś wynosi vn.

Ponieważ płatności rat renty są na ogół częstsze niż raz do roku (np. miesięczne), potrzebne są dodatkowe oznaczenia. Załóżmy, że płatności będą dokonywane przez n lat m razy w ciągu roku, każda w wysokości 1m zł. Wartość obecną renty oznaczamy symbolem

(n⁢m to liczba wszystkich rat). Na podstawie (2.9) i (2.6) mamy

tak więc ostatecznie

Wzór ten równie łatwo zapamiętać jak (2.13).

Użyte powyżej symbole a¨n¯∣, a¨n¯∣m dotyczą rent płatnych z góry (pierwsza rata od razu) – dwie kropki na górze oznaczają taką sytuację. Odpowiednie symbole bez kropek oznaczają wartości obecne strumieni płatności przesuniętych o 1 rok w przyszłość (płatnych z dołu). Otrzymujemy wzory

Na zakończenie rozważmy możliwość (przynajmniej teoretyczną) ciągłego napływu gotówki na nasz rachunek bankowy. Załóżmy, że w ciągu roku wpływa nań 1 zł. Tak więc między 3 a 10 marca wpływa 7/365 zł. Gotówka, która wpływa w krótkim przedziale czasu między t a t+Δ⁢t, jest w przybliżeniu dyskontowana stałym czynnikiem vt (vt≈vt+Δ⁢t). Sumowanie wartości obecnych poszczególnych wpłat zastąpimy tu oczywiście całkowaniem

(skorzystaliśmy z (2.12)).