1. Rozważamy polisę emerytalną dla (x). Polega ona na tym, że przez następne m lat będzie on płacił co rok składkę netto P. Po dożyciu wieku x+m zacznie otrzymywać emeryturę w postaci renty dożywotniej w stałej wysokości 1 zł (na początku każdego roku). Gdy umrze przed osiągnięciem wieku x+m nic nie będzie wypłacone. Niech L oznacza stratę ubezpieczyciela netto na moment wystawienia polisy. Wykazać, że zdarzenie L<0 opisuje wzór

Rozwiązanie. Strata L wyraża się wzorem

Jeśli K<m to zawsze L<0. Jeśli natomiast K≥m to L<0 oznacza, że

a to jest równoważne wzorowi z treści zadania.

2. Niech A¯x:m¯∣1⁢δ oznacza składkę A¯x:m¯∣1 obliczoną z użyciem technicznej intensywności oprocentowania δ>0. Obliczyć Δ⁢δ które spełnia równanie

jeżeli dane są wartości:

(obliczone przy podanej wartości δ).

Rozwiązanie. Zastępując przyrost funkcji różniczką otrzymujemy następujące równanie na Δ⁢δ

Obliczymy najpierw potrzebne pochodne cząstkowe.

Zatem Δ⁢δ spełnia równanie

skąd otrzymujemy ostatecznie Δ⁢δ=?⁢?⁢?.

3. Niech Px oznacza tradycyjnie regularną coroczną składkę płatną aż do śmierci za ubezpieczenie osoby w wieku x, które wypłaci 1 zł na koniec roku śmierci. Załóżmy, że x jest liczbą całkowitą a u∈0,1. Udowodnić, że przy założeniu UDD składka Px+u wyraża się przez składki Px oraz Px+1 następującym wzorem:

gdzie wx+1=1-wx oraz

4. Rozważamy ubezpieczenie na życie ciągłe dla (35). Wypłaci ono 1 zł w chwili śmierci. Natomiast składka netto będzie płacona w postaci renty dożywotniej ciągłej z odpowiednio dobraną intensywnością. Obliczyć πs⁢10 tzn. intensywność oszczędnościowej części składki po 10 latach. Dane są:

Uwaga! Należy skorzystać z założenia UDD.

Rozwiązanie. Skorzystamy ze wzoru

Mamy

Na mocy założenia UDD mamy następujące wzory przybliżone

Zatem V⁢10=?, V′⁢10=? i stąd πs⁢10=?.

5. Rozważamy rodzinę polis emerytalnych dla (x) parametryzowaną długością okresu płacenia składek m>0. Dokładniej: polisa Pol(m) polega na tym, że przez najbliższe m lat ubezpieczony (x) będzie płacił składkę netto w postaci renty życiowej m-letniej ciągłej z odpowiednio dobraną stałą intensywnością netto; po dożyciu wieku x+m zacznie otrzymywać emeryturę w postaci renty dożywotniej ciągłej z roczną intensywnością 1. Niech 0<t<m oraz niech V⁢t oznacza rezerwę składek netto po t latach. Wykazać, że ∂⁡V⁢t∂⁡m wyraża się wzorem:

Rozwiązanie. Z definicji rezerwy otrzymujemy jawny wzór na V⁢t,

gdzie

Obliczamy odpowiednie pochodne

Dalej

6. Rozważmy grupę 100 osób w wieku (50). Każda z tych osób ubezpieczyła się kilka lub kilkanaście lat temu na życie i płaci regularne coroczne składki netto aż do śmierci (bieżący staż każdej z tych osób w ubezpieczeniu jest liczbą całkowitą). Obliczyć przeciętną liczbę polis, które nie przyniosą ubezpieczycielowi straty netto. Zakładamy, że wszystkie te osoby należą do tej samej populacji i że ich życia są niezależne. Można skorzystać z następujących danych:

Rozwiązanie. Rozważmy jedną z osób z tej grupy ubezpieczonych. Jeśli ubezpieczyła się ona w wieku x i k lat temu to oczywiście x+k=50. Strata ubezpieczyciela związana z tą polisą ma postać

Zdarzenie, że ta polisa nie przyniesie straty można zapisać nierównością

która jest równoważna następującej

i dalej

Przeciętna liczba polis, które nie przyniosą straty wynosi więc ??.

7. Żona (20) jest wybrana z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym 100; natomiast mąż (25) jest wybrany z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym 90. Rozpatrujemy następującą polisę emerytalną dla tej pary. Przez najbliższe 40 lat będą płacić składki w postaci renty życiowej ciągłej, przy czym płacenie składek ustaje po pierwszej śmierci (jeśli ktoś umrze w ciągu najbliższych 40 lat). Po 40 latach zaczyna się wypłata emerytury w postaci renty życiowej ciągłej płacącej do drugiej śmierci z roczną intensywnością 1. Obliczyć intensywność P¯ renty składek przyjmując techniczną intensywność oprocentowania na poziomie δ=0,02.

8. On (y) jest wylosowany z populacji Gompertza a ona (x) z populacji Weibulla. Dane są:

Obliczyć przybliżoną wartość

Rozwiązanie.Mamy

Ale

więc ostatecznie

9. Rozważamy ubezpieczenie 30-letnie malejące dla (20) wybranego z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym 100. Suma ubezpieczenia c⁢t wypłacana jest w chwili śmierci i wynosi:

gdzie f∈0,1 jest parametrem. Składka opłacana jest w postaci renty życiowej ciągłej 30-letniej z odpowiednio dobraną intensywnością netto. Znaleźć najmniejsze f, które spełnia warunek: dla każdego t∈0,30 zachodzi nierówność V⁢t≥0. Symbol V⁢t oznacza rezerwę składek netto po t latach.

10. Rozważamy dwie populacje. Niech gj⁢x oznacza gęstość rozkładu trwania życia noworodka wylosowanego z populacji j (j=1,2.) Między funkcjami g1⁢x oraz g2⁢x zachodzi związek:

Niech dalej zmienna losowa Xj oznacza długość życia noworodka wylosowanego z populacji j. Udowodnić, że zachodzi wzór:

11. Rozważamy dwie polisy bezterminowe na życie dla (x). Każda z nich wypłaca jako świadczenie 1 zł na koniec roku śmierci. Polisa 1. opłacona jest za pomocą jednorazowej składki netto w momencie zawarcia umowy. Niech L1 oznacza stratę ubezpieczyciela na moment wystawienia tej polisy. Natomiast w przypadku polisy 2. składki regularne netto będą płacone w postaci renty życiowej na początku każdego roku aż do śmierci. Niech L2 oznacza stratę ubezpieczyciela na moment wystawienia tej polisy. Wiadomo, że

Obliczyć Ax.

Rozwiązanie. Jak wiadomo

Obliczamy stąd Ax=0,26.

12. Rozważamy ubezpieczenie n-letnie na życie i dożycie ciągłe dla (x). Jeśli umrze on w ciągu najbliższych n lat to zostanie wypłacone świadczenie 1 zł w chwili śmierci, a jeżeli dożyje wieku x+n to 1 zł zostanie wypłacone właśnie w tym momencie. Składki netto będzie płacił w formie renty życiowej ciągłej h-letniej, gdzie 0<h<n. Odpowiednią intensywność składki netto oznaczamy tradycyjnie symbolem h⁢P¯⁢A¯x:n¯∣ . Załóżmy, że zwiększymy n o jeden miesiąc. O ile należy zmniejszyć h aby nie zmieniła się roczna intensywność składki netto. Dane są

13. Rozważamy ubezpieczenie ciągłe dla (x), które wypłaci t w chwili śmierci, jeśli ubezpieczony umrze w wieku (x+t). Niech Z oznacza wartość obecną świadczenia na moment wystawienia polisy. Załóżmy, że ubezpieczony został wylosowany z populacji wykładniczej o średniej trwania życia 80. Techniczną intensywność oprocentowania δ wybrano na poziomie, który minimalizuje wartość współczynnika zmienności:

Obliczyć ten poziom δ.

14. Rozważamy polisę emerytalną, która polega na tym, że (x) płaci składki przez najbliższe m lat w postaci renty życiowej ciągłej, a po dożyciu wieku x+m zaczyna pobierać emeryturę z intensywnością 1 na rok. W przypadku śmierci przed osiągnięciem wieku x+m uposażeni otrzymują jednorazowe świadczenie w wysokości α razy suma wpłaconych dotychczas składek (w chwili śmierci). Niech P¯⁢α oznacza odpowiednią intensywność roczną składek netto. Wykazać, że zachodzi wzór:

Rozwiązanie. Intensywność składki obliczamy z równania

W systuacji z zadania równanie to ma postać

Mamy stąd

Otrzymujemy stąd natychmiast wzór na d⁢P¯⁢αd⁢α.