15. Rozważamy ubezpieczenie pary osób (x), (y), które wypłaca T(x:y) zł w chwili pierwszej śmierci oraz 4⁢T⁢x:y¯ zł w momencie drugiej śmierci. Zakładamy, że (x) jest wylosowany z populacji wykładniczej o średniej 100, natomiast (y) jest wylosowany z populacji wykładniczej o średniej 80. Obliczyć składkę jednorazową netto S⁢J⁢N za to ubezpieczenie przyjmując techniczną intensywność oprocentowania na poziomie δ=0,02. Zakładamy, że zmienne losowe T⁢x oraz T⁢y są niezależne.

Rozwiązanie. Szukana składka S⁢J⁢N wynosi

Ponieważ

więc

Obliczamy potrzebne symbole

Ostatecznie otrzymujemy S⁢J⁢N=54,4115.

16. Rozpatrujemy model szkodowości dwojakiej:

Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że (x) ulegnie jako pierwszej szkodzie tej, która w danej chwili mniej mu zagrażała niż druga ”współzawodnicząca”.

Rozwiązanie. Rozwiązujemy najpierw równanie

i otrzymujemy t=80. Zatem dla t<80 bardziej zagraża mu szkoda druga (J=2) a dla t>80 szkoda pierwsza (J=1.) Szukane prawdopodobieństwo wynosi więc

17. Rozważamy grupę 10 osób w wiekach 21,22,23,24,25,26,27,28,29,30. Zakładamy, że ich życia są niezależne oraz, że wszystkie te osoby pochodzą z populacji Gompertza z funkcją natężenia śmiertelności daną wzorem:

gdzie B>0. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że jako pierwszy umrze parzystolatek?

Rozwiązanie. Niech n=21:23:…:29 oraz p=22:24:…:30. Mamy obliczyć prawdopodobieństwo, że T⁢p<T⁢n. Niech dalej c=1,23. Mamy

gdzie wn spełnia równanie

Podobnie

gdzie wp spełnia równanie

Zatem

i dalej

18. Rozważamy ubezpieczenie n-letnie na życie dla (x), ciągłe, które wypłaci 1 zł w chwili śmierci, jeżeli ubezpieczony umrze w ciągu n lat. Składki są płacone w postaci renty życiowej ciągłej n-letniej z odpowiednio dobraną stałą intensywnością netto P¯. Niech W⁢t=e-δ⁢t⁢V¯⁢t oznacza wartość obecną rezerwy po t latach, obliczoną na moment wystawienia polisy. Załóżmy, że funkcja W⁢t osiąga maksimum w pewnym punkcie t∗∈0,n. Obliczyć P¯, jeśli wiadomo, że

Rozwiązanie. Ponieważ

więc t∗ spełnia równanie

Uwzględniając równanie Thielego otrzymujemy stąd

19. Rozważamy ubezpieczenie emerytalne dla (x), wybranego z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym ω>x. Polega ono na tym, że przez najbliższe m lat (m<ω-x), będzie on płacił składkę w postaci renty życiowej ciągłej z intensywnością netto 1. Po dożyciu wieku x+m zacznie otrzymywać emeryturę dożywotnią z intensywnością E. Do rachunków netto użyto technicznej intensywności oprocentowania δ=0. Intensywność emerytury E jest więc funkcją x,m oraz ω. Udowodnić, że elastyczność E względem wieku granicznego ω wyraża się wzorem:

20. Niech e∘x=E(T(x))=100-x⁢175-x3⁢150-x (dla 0≤x<100) oznacza przeciętne dalsze trwanie życia (x) wylosowanego z populacji z wiekiem nieprzekraczalnym 100. Obliczyć

Rozwiązanie. Łatwo sprawdzić, że funkcja e∘x spełnia równanie różniczkowe

(porównaj z równaniem różniczkowym na a¯x!) więc

Otrzymujemy stąd, że

i uwzględniając warunek początkowy s⁢0=1 dostajemy

W szczególności

21. Rozważamy wyjściowy symbol Ax:m¯∣   1 oznaczający składkę jednorazową netto za m-letnie ubezpieczenie na dożycie dla (x). Załóżmy, że małe liczby Δ⁢x oraz Δ⁢m zostały tak dobrane, że

Obliczyć wartość przybliżoną Δ⁢m/Δ⁢x.

Dane są:

22. Rozważamy populację wykładniczą z natężeniem umierania:

Wybrany z niej (x) kupuje ubezpieczenie ciągłe na życie odroczone o m>0 lat. Płaci do końca życia ciągłą rentę życiową składek netto z odpowiednio dobraną stałą intensywnością P¯. Jeśli umrze w ciągu najbliższych m lat to żadne świadczenie nie będzie wypłacone. Natomiast, gdy umrze później to zostanie wypłacone 1 zł w chwili jego śmierci. Niech δ>0 oznacza poziom technicznej intensywności oprocentowania użytej do obliczenia składek i rezerw. Wykazać, że intensywność składki oszczędnościowej po 2⁢m latach πs⁢2⁢m wyraża się wzorem:

Rozwiązanie. Ponieważ

oraz

więc

Dla t>m mamy

W szczególności

czego należało dowieść.

23. Rozważamy ubezpieczenie ciągłe ogólnego typu, które ma tę własność, że dla każdego t>0 zachodzi równość

Po lewej stronie mamy intensywność składki oszczędnościowej a po prawej stronie mamy intensywność składki na ryzyko. Wykazać, że bieżące poziomy: rezerwy V⁢t, świadczenia śmiertelnego c⁢t oraz intensywności składki netto π⁢t powiązane są zależnością:

Rozwiązanie. Z treści zadania mamy

Równanie Thielego głosi natomiast, że

Jeśli z powyższych równań wyrugujemy V′⁢t i otrzymane równanie rozwiążemy ze względu na V⁢t to dostaniemy pożądany wzór.

24. Rozważamy ubezpieczenie bezterminowe na życie ciągłe dla (30), wybranego z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym ω=110. Wypłaci ono 1 zł w chwili jego śmierci. Składka jednorazowa S⁢J, którą zapłaci ubezpieczony w momencie zawarcia umowy ubezpieczeniowej, została skalkulowana jako wartość oczekiwana wartości obecnej wypłaty pod warunkiem, że ubezpieczony umrze wcześniej niż przeciętnie. Obliczyć prawdopodobieństwo:

W powyższym wzorze v oznacza techniczny roczny czynnik dyskontujący, odpowiadający technicznej intensywności oprocentowania δ=0,02.

25. Rozważamy ubezpieczenie bezterminowe dla (x), które wypłaci 1 zł na koniec roku śmierci. Składki opłacane są za pomocą renty życiowej składek corocznych w stałej wysokości netto Px. Wiadomo, że dla pewnego całkowitego k>0 zachodzi:

Obliczyć Px .

26. Mąż (30) należy do populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym ωm=100 , natomiast żona (25) należy do populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym ωk=120. Rozpatrujemy ubezpieczenie bezterminowe ciągłe dla tej pary, które wypłaci 1 zł w chwili pierwszej śmierci. Składka za to ubezpieczenie będzie płacona aż do pierwszej śmierci za pomocą renty życiowej ciągłej z odpowiednio dobraną intensywnością netto P¯. Obliczyć rezerwę składek netto V⁢50 po 50 latach od momentu wystawienia polisy. Techniczna intensywność oprocentowania wynosi δ=0,05. Zakładamy ponadto, że T⁢30 oraz T⁢25 są niezależne.

Rozwiązanie. Intensywność P¯ składki netto spełnia bilans aktuarialny

Obliczamy potrzebny symbol rentowy

Otrzymujemy więc P¯=0,0302958. Dalej

27. (x) wybrano z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym ω>0. Natomiast (y) wybrano niezależnie z populacji wykładniczej z funkcją natężenia wymierania μy+t=c⁢o⁢n⁢s⁢t=μ>0. Wybrane osoby mają przed sobą przeciętnie tyle samo życia. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że

Zakładamy, że T⁢x oraz T⁢y są niezależne.

Rozwiązanie. Mamy

oraz

Z treści zadania mamy

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo

Uwzględniając powyższą zależność pomiędzy ω,x oraz μ otrzymujemy ostatecznie

28. Rozważamy model dwuopcyjny (multiple decrement model), przy czym

przy czym zakładamy, że ω1<ω2. Obliczyć stosunek ω1/ω2 dla którego największe jest prawdopodobieństwo

29. Rozważamy ubezpieczenie emerytalne dla (25). Polega ono na tym, że w ciągu najbliższych 35 lat będzie on płacił regularną coroczną składkę netto w wysokości P. Po dożyciu wieku 60 lat zacznie on otrzymywać emeryturę dożywotnią w wysokości 1 zł na początku każdego roku. Niech L oznacza wartość obecną straty ubezpieczyciela na moment wystawienia polisy. Obliczyć V⁢a⁢r⁢L. Dane są:

30. Niech m⁢x oznacza medianę dalszego trwania życia (x) tzn. medianę zmiennej losowej T⁢x. Dana jest funkcja natężenia umierania :

Obliczyć m⁢33.

31. Rozważamy grupę 100 noworodków wybranych z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym ω=100 . Obliczyć wariancję czasu oczekiwania do pierwszej śmierci w grupie. Zakładamy, że ich życia są niezależne.

Rozwiązanie. Mamy obliczyć wariancję zmiennej losowej T⁢u gdzie u=x1:x2:…:x100 oraz x1=x2=…=x100=0. Ponieważ T⁢u=minj⁡T⁢xj więc

Mamy teraz

Ostatecznie V⁢a⁢r⁢T⁢u=0,961075

32. Rozważamy zmianę śmiertelności w wyjściowej populacji zadaną wzorem:

dla wszystkich x,t≥0. Zakładamy, że nieznany współczynnik przesunięcia M ma rozkład jednostajny na odcinku 0,01;0,02. Wiadomo, że dla wyjściowej populacji

Obliczyć wartość oczekiwaną składki Ax:35¯∣   1 względem rozkładu zmiennej M.