33. Za składkę jednorazową netto (x) kupuje rentę życiową ciągłą, która przez najbliższe n lat będzie mu wypłacać z intensywnością a na rok, a po dożyciu wieku (x+n) z intensywnością b na rok, aż do śmierci. Niech Y oznacza wartość obecną tych świadczeń emerytalnych na moment wystawienia polisy. Dane są:

Wykazać, że:

34. Niech P⁢I⁢Ax oznacza regularną składkę netto, którą będzie płacić ubezpieczony (x) na początku każdego roku aż do śmierci za ubezpieczenie rosnące, które wypłaci uposażonym k+1, jeżeli umrze on w k+1. roku ważności polisy. Udowodnić wzór:

Rozwiązanie. Z wzoru

łatwo uzyskujemy zależność rekurencyjną

Mamy zatem

skąd wynika teza.

35. Rozważamy kontrakt ubezpieczeniowy ciągły ogólnego typu dla osoby w wieku (x). Wiadomo, że dla każdego t≥0 mamy zależność:

gdzie s jest stałą dodatnią. Techniczna intensywność oprocentowania wynosi δ=0. Wykazać, że rezerwa składek netto V⁢t po t latach wynosi:

36. Ubezpieczenie emerytalne dla (x), wziętego z populacji o wykładniczym rozkładzie trwania życia:

polega na tym, że przez najbliższe m lat będzie płacił coroczną regularną składkę w odpowiednio dobranej wysokości netto P a po dożyciu wieku x+m zacznie otrzymywać emeryturę dożywotnią w wysokości 1 na początku roku. Obliczyć πm+7s . Techniczna stopa oprocentowania użyta do obliczenia składki i rezerw wynosi i=4⁢% . (zakładamy, że obie liczby x oraz m są całkowite dodatnie).

37. Mąż (30) należy do populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym ωm=100 , natomiast żona (25) należy do populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym ωk=110. Obliczyć średni czas przebywania we wdowieństwie owdowiałej osoby. Zakładamy, że T⁢30 oraz T⁢25 są niezależne oraz, że owdowiała osoba nie wstępuje w związek małżeński.

38. Rozpatrujemy rentę wdowią dla niej (x) i dla niego (y):

1. (a) w przypadku, gdy ona umrze jako pierwsza on zacznie otrzymywać rentę dożywotnią ciągłą z intensywnością 2 na rok (począwszy od jej śmierci);

2. (b) natomiast, gdy on umrze jako pierwszy ona zacznie otrzymywać rentę dożywotnią ciągłą z intensywnością 1 na rok (począwszy od jego śmierci).

Niech Y oznacza wartość obecną świadczeń z tej polisy na moment jej wystawienia. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że ona umrze jako pierwsza pod warunkiem, że Y≤10. Wiadomo, że:

Zakładamy, że T⁢x oraz T⁢y są niezależne.

39. Rozważamy polisę ciągłą ogólnego typu wystawioną osobie w wieku x=ω-n wybranej z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym ω, gdzie ω>n>0. Gdy ubezpieczony umrze w wieku x+t będzie wypłacone świadczenie w wysokości c⁢t=n-t. Wiadomo ponadto, że rezerwy składek netto po czasie t∈0,n wynoszą:

Obliczyć

Zakładamy, że techniczna intensywność oprocentowania δ spełnia warunek 0<n⁢δ<3. Wybrać odpowiedź najbliższą.

40. Osoba w wieku (30) zaczyna płacić składki regularne w wysokości netto P30 na początku każdego roku, aż do śmierci. Na koniec roku śmierci uposażeni otrzymają sumę ubezpieczenia równą 1. Załóżmy, że po k>0 latach ubezpieczony żyje i niech k⁢L oznacza stratę ubezpieczyciela na ten moment. Obliczyć

Dane są:

41. Niech x będzie liczbą całkowitą nieujemną oraz u∈0,1. Niech ponadto px+uU⁢D⁢D oznacza px+u obliczone przy założeniu UDD, natomiast px+uB niech oznacza px+u obliczone przy założeniu Balducciego. Udowodnić wzór:

42. Niech

oraz podobnie niech

Wyprowadzić następujący wzór przybliżony:

43. Niech Y oznacza wartość obecną renty życiowej dla (x), która wypłaca 1 zł na początku roku, co rok, aż do śmierci, obliczoną przy technicznej intensywności oprocentowania δ>0. Podobnie niech 2⁢Y oznacza wartość obecną tego samego strumienia płatności, ale obliczoną przy intensywności oprocentowania 2⁢δ. Oto realizacje zmiennych Y oraz 2⁢Y:

Obliczyć realizację zmiennej K⁢x.

44. Wykazać, że roczna intensywność składki P¯⁢A¯x:n¯∣1 spełnia następujące równanie różniczkowe:

45. W rozważanej populacji śmiertelnością rządzi prawo Weibulla:

Rozpatrujemy ubezpieczenie ciągłe 30-letnie ogólnego typu dla (0), które będzie opłacane za pomocą ciągłej renty życiowej składek netto ze stałą roczną intensywnością:

Natomiast wysokość świadczenia śmiertelnego c⁢t związana jest z poziomem rezerwy netto V⁢t wzorem:

Techniczna intensywność oprocentowania wynosi δ=0,05. Udowodnić, że P¯ oraz s powiązane są zależnością:

46. Rozważamy demografię Weibulla z funkcją natężenia wymierania

gdzie k>0 jest parametrem. Rozważmy ubezpieczenie ciągłe ogólnego typu dla (x). Wiadomo, że dla t∈10,25 mamy

przy czym c≠V. Dane są ponadto:

Obliczyć π⁢14.

47. Za składkę jednorazową brutto S⁢J⁢B osoba w wieku (65) kupuje ubezpieczenie emerytalne typu Emer(n), które działa w następujący sposób:

• wypłacana jest emerytura dożywotnia w postaci renty życiowej ciągłej ze stałą roczną intensywnością E⁢n,

• ponadto jeśli ubezpieczony umrze w wieku 65+t gdzie t∈0,n to wyznaczeni uposażeni otrzymają natychmiast jednorazowe świadczenie w wysokości S⁢J⁢B⁢n-t/n.

Parametr n może być wybrany z przedziału 0,5 w momencie zakupu polisy. Składka jednorazowa netto S⁢J⁢N jest o 7⁢% mniejsza od składki brutto S⁢J⁢B. Udowodnić wzór:

48. Ubezpieczenie dla grupy 7 osób działa w ten sposób, że w momencie każdej śmierci wypłaca się po 1 zł każdej osobie przeżywającej (tak więc np. w momencie pierwszej śmierci w grupie ubezpieczyciel wypłaca 6 zł, a w momencie przedostatniej wypłaca 1 zł). Zakładamy, że jednoczesna śmierć dwóch lub więcej osób nie jest możliwa i że ich życia są niezależne. Cztery spośród tych osób należą do populacji wykładniczej ze średnią trwania życia 100. Pozostałe trzy osoby należą do populacji wykładniczej ze średnią trwania życia 60. Przyjmując techniczną intensywność oprocentowania na poziomie δ=0,03 obliczyć składkę jednorazową netto S⁢J⁢N za to ubezpieczenie.

Rozwiązanie. Łatwo widzieć, że

(porównaj z przykładem 6, str. 136,Sk). Rozpatrujemy trzy przypadki.

1. i,j∈1,2,3,4. Wówczas

   A¯xi:xj=∫0∞e-δ⁢t⁢e-0,02⁢t⁢0,02⁢⁢d⁢t=25,

2. gdy i,j∈5,6,7 to podobnie obliczamy

   A¯xi:xj=∫0∞e-δ⁢t⁢e-2/60⋅260⁢⁢d⁢t=1019,

3. gdy i∈1,2,3,4, j∈5,6,7 to

   A¯xi:xj=∫0∞e-δ⁢t⁢e1100+160⁢t⁢1100+160⁢⁢d⁢t=1634

Ostatecznie więc

49. Rozważamy emeryturę małżeńską dla męża (65) i żony (60), przy czym on jest wylosowany z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym 105 a ona jest wybrana z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym 120. Emeryturę będą otrzymywać w formie renty życiowej ciągłej. Póki żyją oboje roczna intensywność renty wynosi 18000 zł; po pierwszej śmierci intensywność emerytury dla owdowiałej osoby wynosi 12000 zł. Techniczna intensywność oprocentowania wynosi δ=0. Obliczyć składkę jednorazową netto S⁢J⁢N.

Rozwiązanie. Mamy

Przede wszystkim

Dalej

Ostatecznie

50. x-latek , wylosowany z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym ω, zaczyna odkładać na przyszłą emeryturę z intensywnością 1 na rok w formie renty życiowej ciągłej. Emeryturę zacznie pobierać w wieku x+z, również z intensywnością 1, aż do śmierci (o ile dożyje wieku x+z). Z aktuarialnej zasady równoważności (netto) wyprowadzić następujące równanie na z:

Odpowiedzi do zadań rachunkowych.

2. 0,00034

4. 0,007

6. 60

7. 0,28

8. 6,99

9. 0,625

11. 0,26

12. 0,90 miesiąca

13. 0,0125

15. 54,4 zł

16. 0,40

17. 0,55

18. 0,009

20. 0,427

21. -0,11

24. P⁢rvT⁢30<S⁢J=0,766579

25. 3 gr

26. 0,48 zł

27. P⁢rT⁢x>T⁢y=0,57

28. 0,29

29. V⁢a⁢r⁢L=0,38

30. 27

31. 0,96

32. 0,12

36. -0,80

37. 26,7

38. P⁢rT⁢x⁢T⁢y⁢Y≤10=0,30 39. 3⁢n 40. Pr(kL<kV)=21p(x+k)

43. 17

46. π⁢14=0,1500

48. 9,626

49. 507000 zł