4. Zadania,II

15. Rozważamy ubezpieczenie pary osób (x), (y), które wypłaca T(x:y) zł w chwili pierwszej śmierci oraz 4Tx:y¯ zł w momencie drugiej śmierci. Zakładamy, że (x) jest wylosowany z populacji wykładniczej o średniej 100, natomiast (y) jest wylosowany z populacji wykładniczej o średniej 80. Obliczyć składkę jednorazową netto SJN za to ubezpieczenie przyjmując techniczną intensywność oprocentowania na poziomie δ=0,02. Zakładamy, że zmienne losowe Tx oraz Ty są niezależne.

Rozwiązanie. Szukana składka SJN wynosi

SJN=I¯A¯x:y+4I¯A¯x:y¯.

Ponieważ

I¯A¯x+I¯A¯y=I¯A¯x:y+I¯A¯x:y¯

więc

SJN=4I¯A¯x+4I¯A¯y-3I¯A¯x:y.

Obliczamy potrzebne symbole

I¯A¯x=0te-0,02te-0,01t0,01dt=11,1111
I¯A¯y=0te-0,02te-0,0125t0,0125dt=11,8343
I¯A¯x:y=0te-0,02te-0,0225t0,0225dt=12,4567.

Ostatecznie otrzymujemy SJN=54,4115.

16. Rozpatrujemy model szkodowości dwojakiej:

μ1,x+t=1100-t,μ2,x+t=2120-t dla 0t<100.

Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że (x) ulegnie jako pierwszej szkodzie tej, która w danej chwili mniej mu zagrażała niż druga ”współzawodnicząca”.

Rozwiązanie. Rozwiązujemy najpierw równanie

μ1,x+t=μ2,x+t

i otrzymujemy t=80. Zatem dla t<80 bardziej zagraża mu szkoda druga (J=2) a dla t>80 szkoda pierwsza (J=1.) Szukane prawdopodobieństwo wynosi więc

0801-t1001-t20021100-tdt+801001-t1001-t20022120-tdt0,394

17. Rozważamy grupę 10 osób w wiekach 21,22,23,24,25,26,27,28,29,30. Zakładamy, że ich życia są niezależne oraz, że wszystkie te osoby pochodzą z populacji Gompertza z funkcją natężenia śmiertelności daną wzorem:

μx=B1,23x

gdzie B>0. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że jako pierwszy umrze parzystolatek?

Rozwiązanie. Niech n=21:23::29 oraz p=22:24::30. Mamy obliczyć prawdopodobieństwo, że Tp<Tn. Niech dalej c=1,23. Mamy

μn+t=Bc21+t+Bc23+t++Bc29+t=Bcwn+t

gdzie wn spełnia równanie

cwn=c21+c23+c29.

Podobnie

μp+t=Bcwp+t

gdzie wp spełnia równanie

cwp=c22+c24+c30.

Zatem

wp=wn+1

i dalej

PrTp<Tn=0tpntppμp+t=0tpwntpwpμwp+t+μwn+tμwp+tμwp+t+μwn+t=
=cwpcwp+cwn1=cc+10,55.

18. Rozważamy ubezpieczenie n-letnie na życie dla (x), ciągłe, które wypłaci 1 zł w chwili śmierci, jeżeli ubezpieczony umrze w ciągu n lat. Składki są płacone w postaci renty życiowej ciągłej n-letniej z odpowiednio dobraną stałą intensywnością netto P¯. Niech Wt=e-δtV¯t oznacza wartość obecną rezerwy po t latach, obliczoną na moment wystawienia polisy. Załóżmy, że funkcja Wt osiąga maksimum w pewnym punkcie t0,n. Obliczyć P¯, jeśli wiadomo, że

V¯t=0,1 oraz μx+t=0,01.

Rozwiązanie. Ponieważ

Wt=-δe-δtVt+e-δtVt=e-δtVt-δVt

więc t spełnia równanie

Vt-δVt=0.

Uwzględniając równanie Thielego otrzymujemy stąd

P¯=1-Vtμx+t=0,009.

19. Rozważamy ubezpieczenie emerytalne dla (x), wybranego z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym ω>x. Polega ono na tym, że przez najbliższe m lat (m<ω-x), będzie on płacił składkę w postaci renty życiowej ciągłej z intensywnością netto 1. Po dożyciu wieku x+m zacznie otrzymywać emeryturę dożywotnią z intensywnością E. Do rachunków netto użyto technicznej intensywności oprocentowania δ=0. Intensywność emerytury E jest więc funkcją x,m oraz ω. Udowodnić, że elastyczność E względem wieku granicznego ω wyraża się wzorem:

EωωE=2ωx-ωω-x-m2ω-2x-m

20. Niech ex=E(T(x))=100-x175-x3150-x (dla 0x<100) oznacza przeciętne dalsze trwanie życia (x) wylosowanego z populacji z wiekiem nieprzekraczalnym 100. Obliczyć

24p46

Rozwiązanie. Łatwo sprawdzić, że funkcja ex spełnia równanie różniczkowe

ex=μxex-1

(porównaj z równaniem różniczkowym na a¯x!) więc

μx=ex+1ex=250-2x15000-250x+x2

Otrzymujemy stąd, że

lnsx=lnx2-250x+15000

i uwzględniając warunek początkowy s0=1 dostajemy

sx=100-x150-x15000 dla 0<x<100.

W szczególności

24p46=s(70s46=501170,427

21. Rozważamy wyjściowy symbol Ax:m¯   1 oznaczający składkę jednorazową netto za m-letnie ubezpieczenie na dożycie dla (x). Załóżmy, że małe liczby Δx oraz Δm zostały tak dobrane, że

Ax+Δx:m+Δm¯            1=Ax:m¯   1.

Obliczyć wartość przybliżoną Δm/Δx.

Dane są:

δ=0.03,μx=0,01,μx+m=0,015.

22. Rozważamy populację wykładniczą z natężeniem umierania:

μx=const=μ>0.

Wybrany z niej (x) kupuje ubezpieczenie ciągłe na życie odroczone o m>0 lat. Płaci do końca życia ciągłą rentę życiową składek netto z odpowiednio dobraną stałą intensywnością P¯. Jeśli umrze w ciągu najbliższych m lat to żadne świadczenie nie będzie wypłacone. Natomiast, gdy umrze później to zostanie wypłacone 1 zł w chwili jego śmierci. Niech δ>0 oznacza poziom technicznej intensywności oprocentowania użytej do obliczenia składek i rezerw. Wykazać, że intensywność składki oszczędnościowej po 2m latach πs2m wyraża się wzorem:

πs2m=-μδμ+δ1-e-mμ+δ.

Rozwiązanie. Ponieważ

a¯x=0e-δte-μtdt=1μ+δ

oraz

m|A¯x=vme-μmA¯x+m=e-μ+δmμμ+δ

więc

P¯=m|A¯xa¯x=μe-μ+δm.

Dla t>m mamy

Vt=A¯x+t-P¯a¯x+t=const  a zatem  Vt=0.

W szczególności

πs2m=V2m-δV2m=-δμμ+δ-μe-μ+δm1μ+δ

czego należało dowieść.

23. Rozważamy ubezpieczenie ciągłe ogólnego typu, które ma tę własność, że dla każdego t>0 zachodzi równość

πst=πrt.

Po lewej stronie mamy intensywność składki oszczędnościowej a po prawej stronie mamy intensywność składki na ryzyko. Wykazać, że bieżące poziomy: rezerwy Vt, świadczenia śmiertelnego ct oraz intensywności składki netto πt powiązane są zależnością:

Vt=ct-πt2μx+t

Rozwiązanie. Z treści zadania mamy

Vt-δVt=μx+tct-Vt

Równanie Thielego głosi natomiast, że

Vt=δVt+πt-ct-Vtμx+t

Jeśli z powyższych równań wyrugujemy Vt i otrzymane równanie rozwiążemy ze względu na Vt to dostaniemy pożądany wzór.

24. Rozważamy ubezpieczenie bezterminowe na życie ciągłe dla (30), wybranego z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym ω=110. Wypłaci ono 1 zł w chwili jego śmierci. Składka jednorazowa SJ, którą zapłaci ubezpieczony w momencie zawarcia umowy ubezpieczeniowej, została skalkulowana jako wartość oczekiwana wartości obecnej wypłaty pod warunkiem, że ubezpieczony umrze wcześniej niż przeciętnie. Obliczyć prawdopodobieństwo:

PrvT30<SJ.

W powyższym wzorze v oznacza techniczny roczny czynnik dyskontujący, odpowiadający technicznej intensywności oprocentowania δ=0,02.

25. Rozważamy ubezpieczenie bezterminowe dla (x), które wypłaci 1 zł na koniec roku śmierci. Składki opłacane są za pomocą renty życiowej składek corocznych w stałej wysokości netto Px. Wiadomo, że dla pewnego całkowitego k>0 zachodzi:

kV=0,60,k+2V=0,64,px+k=0,92,px+k+1=0,88,i=4%.

Obliczyć Px .

26. Mąż (30) należy do populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym ωm=100 , natomiast żona (25) należy do populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym ωk=120. Rozpatrujemy ubezpieczenie bezterminowe ciągłe dla tej pary, które wypłaci 1 zł w chwili pierwszej śmierci. Składka za to ubezpieczenie będzie płacona aż do pierwszej śmierci za pomocą renty życiowej ciągłej z odpowiednio dobraną intensywnością netto P¯. Obliczyć rezerwę składek netto V50 po 50 latach od momentu wystawienia polisy. Techniczna intensywność oprocentowania wynosi δ=0,05. Zakładamy ponadto, że T30 oraz T25 są niezależne.

Rozwiązanie. Intensywność P¯ składki netto spełnia bilans aktuarialny

P¯a¯30:25=A¯30:25=1-δa¯30:25 a zatem P¯=a¯30:25-1-δ.

Obliczamy potrzebny symbol rentowy

a¯30:25=070e-0,05t1-t701-t95dt=12,454

Otrzymujemy więc P¯=0,0302958. Dalej

V50=A¯80:75-P¯a¯80:75=1-δ+P¯a¯80:75=0,483188.

27. (x) wybrano z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym ω>0. Natomiast (y) wybrano niezależnie z populacji wykładniczej z funkcją natężenia wymierania μy+t=const=μ>0. Wybrane osoby mają przed sobą przeciętnie tyle samo życia. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że

Tx>Ty.

Zakładamy, że Tx oraz Ty są niezależne.

Rozwiązanie. Mamy

TxU0,ω-x gdzie 0<x<ω

oraz

TyExpμ gdzie μ>0.

Z treści zadania mamy

ETx=ETy tzn. 
ω-x2=1μ.

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo

PrTx>Ty=0ω-xtpxtpyμy+t=0ω-xω-x-tω-xμe-μtdt=e-μω-x-1+μω-xμω-x

Uwzględniając powyższą zależność pomiędzy ω,x oraz μ otrzymujemy ostatecznie

PrTx>Ty=121+e-20,5677.

28. Rozważamy model dwuopcyjny (multiple decrement model), przy czym

μ1,x+t=1ω1-t dla 0<t<ω1 oraz μ2,x+t=1ω2-t dla 0<t<ω2,

przy czym zakładamy, że ω1<ω2. Obliczyć stosunek ω1/ω2 dla którego największe jest prawdopodobieństwo

Pr(T>E(T)|J=1).

29. Rozważamy ubezpieczenie emerytalne dla (25). Polega ono na tym, że w ciągu najbliższych 35 lat będzie on płacił regularną coroczną składkę netto w wysokości P. Po dożyciu wieku 60 lat zacznie on otrzymywać emeryturę dożywotnią w wysokości 1 zł na początku każdego roku. Niech L oznacza wartość obecną straty ubezpieczyciela na moment wystawienia polisy. Obliczyć VarL. Dane są:

i=6%,35p25=0,856044,A25=0,0816496,A60=0,3691310,2A25=0,0187472,2A60=0,1774113.

30. Niech mx oznacza medianę dalszego trwania życia (x) tzn. medianę zmiennej losowej Tx. Dana jest funkcja natężenia umierania :

μx=0,011,02x dla x>0.

Obliczyć m33.

31. Rozważamy grupę 100 noworodków wybranych z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym ω=100 . Obliczyć wariancję czasu oczekiwania do pierwszej śmierci w grupie. Zakładamy, że ich życia są niezależne.

Rozwiązanie. Mamy obliczyć wariancję zmiennej losowej Tu gdzie u=x1:x2::x100 oraz x1=x2==x100=0. Ponieważ Tu=minjTxj więc

tpu=j=1100tpxj=1-t100100.

Mamy teraz

ETu=0100tpudt=100101 oraz 
ETu2=20100t1-t100100dt=100005151=1,94137.

Ostatecznie VarTu=0,961075

32. Rozważamy zmianę śmiertelności w wyjściowej populacji zadaną wzorem:

μx+tM=μx+t+M,

dla wszystkich x,t0. Zakładamy, że nieznany współczynnik przesunięcia M ma rozkład jednostajny na odcinku 0,01;0,02. Wiadomo, że dla wyjściowej populacji

Ax:35¯   1=0,195276.

Obliczyć wartość oczekiwaną składki Ax:35¯   1 względem rozkładu zmiennej M.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.