Wprowadźmy podział (triangulacje) kwadratu Ω¯=0,12 na trójkąty Th⁢0,12=τkk o jednakowym kształcie i wielkości. Najprościej jest podzielić kwadrat na równe kwadraty ([xk,xk+1]×[xl,xl+1] dla k,l=0,…,N-1 i xk=k*h dla h=1/N. Następnie każdy kwadrat dzielimy na dwa trójkąty prowadząc przekątną np. z lewego górnego rogu do dolnego prawego, por. rysunek 12.1.

Zauważmy, że ⋃τ∈Th⁢Ωτ¯=Ω¯ i ∂⁡τk∩∂⁡τj jest zbiorem pustym, krawędzią lub wspólnym wierzchołkiem dla dowolnych różnych elementów tej triangulacji.

Za parametr tej dyskretyzacji przyjmujemy h, a punkty xk⁢l=xk,xl nazwiemy punktami nodalnymi tej triangulacji. Proszę zauważyć, że to nie jest tylko jedna możliwa triangulacja kwadratu. Możemy wybierać trójkąty na wiele sposobów tak, aby tylko zachowane zostały warunki, że trójkąty są rozłączne, suma ich domknięć tworzy cały kwadrat, ich wspólne części brzegów to wierzchołek, wspólna krawędź lub zbiór pusty.

Rozpatrujemy w ogólności rodzinę takich triangulacji z h→0.

Możemy wprowadzić przestrzeń dyskretną:

dla P1⁢τ=span⁢1,x1,x2 przestrzeni wielomianów liniowych na τ. Wielomian liniowy na trójkącie jest zdefiniowany poprzez wartości w wierzchołkach tego trójkąta, które nazywamy punktami swobody tego elementu skończonego, por. rysunek 12.2.

Analogicznie jak w przypadku jednowymiarowym, możemy wprowadzić funkcje nodalne: definiujemy ϕk,l∈Vh dla k,l∈1,…,N-1 jako funkcję, która spełnia ϕk,l⁢xk⁢l=1 i ϕk,l⁢xi⁢j=0 dla xk⁢l≠xi⁢j dla xk⁢l=xk,xl.

W przypadku naszej prostej regularnej triangulacji możemy wyznaczyć wzory na te funkcje na trójkącie τ. Powiedzmy, że wzory wyznaczymy na tym trójkącie, który jest zaznaczony na rysunku 12.1 - przyjmujemy, że xk⁢l=k*h,l*h jest wierzchołkiem przy kącie prostym:

dla x=x1,x2. Wykresy takiej funkcji dla tej regularnej triangulacji kwadratu lub kilku funkcji możemy obejrzeć na rysunkach 12.3 i 12.4. Na rysunku 12.5 widzimy przykładową funkcję z przestrzeni Vh. Również jako zadanie pozostawimy wykazanie, że

tworzą bazę Vh, i że

Wprowadzamy zadanie dyskretne: chcemy znaleźć uh∈Vh takie, że

Można pokazać, że to zadanie ma jednoznaczne rozwiązanie, i że jeśli u*∈C2⁢0,12 to:

Zatem w normie L2 widzimy oszacowanie zbieżności rzędu dwa analogiczne jak dla dyskretyzacji tego samego zadania przy pomocy metody różnic dzielonych i dyskretnej normy Lh2, ale przy dużo słabszych założeniach. Tam musieliśmy założyć, że funkcja jest klasy C4.

Można też zauważyć, że w przypadku bardziej skomplikowanego geometrycznie obszaru (wielokąta) możemy skonstruować analogiczną dyskretyzację wprowadzając triangulację złożoną z trójkątów, a w przypadku różnic dzielonych, jeśli obszar nie jest prostokątem, pojawiają się kłopoty z postawieniem warunku brzegowego.

W tym rozdziale przedstawimy dwa typy przestrzeni elementu skończonego wyższych rzędów - element kwadratowy i kubiczny. Rozpatrzmy triangulację kwadratu jednostkowego Th⁢0,12 jak w Rozdziale 12.1.1. Wtedy definiujemy:

dla p=1,2,3,…. Tutaj Pp⁢τ=span⁢x1k⁢x2l0≤k+l≤p to przestrzeń wielomianów na τ stopnia nie większego od p.

Przypadek V2h określamy jako przestrzeń elementu skończonego kwadratowego, a V3h kubicznego.

Dla p=2 widzimy, że wielomian kwadratowy na trójkącie jest określony jednoznacznie poprzez swoje wartości w trzech wierzchołkach i trzech środkach krawędzi. Wszystkie te punkty wewnątrz Ω określamy jako punkty nodalne V2h. Z każdym takim punktem x wiążemy funkcję, która jest równa jeden w tym punkcie, a zero we wszystkich pozostałych wierzchołkach i punktach środkowych krawędzi, por. rysunek 12.6.

Z kolei dla p=3 wielomian kubiczny na trójkącie jest jednoznacznie określony poprzez swoje wartości w wierzchołkach, w środku ciężkości oraz w dwu punktach wewnątrz każdej krawędzi dzielących ją na trzy równe odcinki, por. rysunek 12.7.

W przypadku przestrzeni Vph możemy wprowadzić analogiczne bazy nodalne złożone z funkcji, które przyjmują wartość jeden w ustalonym punkcie nodalnym, a zero - w pozostałych. Wzory takich funkcji są coraz bardziej skomplikowane wraz ze wzrostem p. Dla p=2 wypiszemy wzory na obcięcie funkcji nodalnej na ustalonym trójkącie τ. Niech punkty xk k=0,1,2 będą trzema wierzchołkami tego trójkąta τ i niech punkt mk k=0,1,2 będzie środkiem odcinka między xk a xk+1. Przy czym utożsamiamy 0 z 3. Niech qk będzie funkcją liniową taką, że qk⁢xj=0 dla j≠k i qk⁢xk=1. Wtedy funkcja nodalna związana z wierzchołkiem elementu xk dla elementu kwadratowego wynosi na trójkącie τ:

a funkcja nodalna związana z punktem środkowym krawędzi elementu na τ:

Jako zadanie pozostawiamy sprawdzenie tych wzorów i znalezienie analogicznych dla funkcji bazowych elementu kubicznego. Zastosowanie elementów: kwadratowego (p=2), kubicznego (p=3) czy nawet dla większych p jest korzystne, o ile u* - czyli rozwiązanie zadania różniczkowego (12.1) jest bardziej regularne, tzn. należy do Cs+1⁢Ω¯ dla s większych od jeden do s=p. Tzn. wtedy można wykazać, że

W przypadku, gdy nasz obszar jest prostokątem lub kwadratem, możemy wprowadzić przestrzeń elementu skończonego: tzw. elementów skończonych prostokątnych. Taki element możemy w ogólności zastosować, jeśli obszar jest sumą prostokątów o brzegach będących sumą odcinków równoległych do osi współrzędnych; np. tzw. L-obszarem, por. rysunek 12.8.

Opiszemy tę metodę dla naszego modelowego zadania postawionego na kwadracie. Dla Ω=0,12 wprowadźmy triangulacje złożoną z kwadratów, por. rysunek 12.9:

dla h=1/N i dla kwadratów:

Wtedy przestrzeń dyskretną definiujemy jako przestrzeń funkcji ciągłych biliniowych na kwadratach:

gdzie

przestrzeń wielomianów biliniowych określonych na τk⁢l, czyli liniowych ze względu na każdą zmienną z osobna.

Wielomian biliniowy na prostokącie jest zdefiniowany poprzez wartości w wierzchołkach tego prostokąta. Nazywamy je punktami swobody tego elementu skończonego, por. rysunek 12.10. Analogicznie do przypadku elementów trójkątnych możemy tu wprowadzić funkcje nodalne: definiując ϕk,l∈Vb⁢ih dla k,l∈1,…,N-1 jako funkcję, która spełnia ϕk⁢xk⁢l=1 i ϕk⁢xi⁢j=0 dla xk⁢l≠xi⁢j dla xk⁢l=xk,xl. Podanie wzoru na te funkcje jest nietrudnym zadaniem z uwagi na prostą geometrię elementu. Pozostawiamy to jako zadanie, por. rysunek 12.11

Następnie definiujemy zadanie dyskretne: chcemy znaleźć uh⁢b∈Vb⁢ih takie, że

W tym przypadku możemy analogicznie wykazać, że zachodzi oszacowanie błędu takie, jak w przypadku elementu liniowego na trójkącie. Tzn. można wykazać, że to zadanie ma jednoznaczne rozwiązanie, i że jeśli u*∈C2⁢0,12, to

W przypadku zadania na kwadracie jednostkowym element biliniowy wydaje się bardziej naturalny, ale przestrzeń elementu skończonego jest bardziej skomplikowana, ponieważ na każdym kwadracie triangulacji lokalna przestrzeń MESu zawiera wielomiany wyższego stopnia. Czy możemy uzyskać lepsze oszacowania błędu? Nie - jeśli chodzi o rząd zbieżności, tzn. dla elementu biliniowego otrzymamy co najwyżej O⁢h w normie ∥∇⋅∥L2⁢Ω, ale oszacowanie błędu jest ostrzejsze, por. rozdział 4.6 w [4].