Numeryczne równania różniczkowe – 13. Metoda elementu skończonego - teoria

13.1. Istnienie rozwiązania

Załóżmy, że V jest rzeczywistą przestrzenią Hilberta, tzn. rzeczywistą przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym (⋅,⋅) i normą ∥⋅∥V=(⋅,⋅)1/2, która jest zupełna. Przez V* oznaczamy przestrzeń dualną (sprzężoną) do V, por. np. [7].

Rozpatrzmy wariacyjny problem znalezienia u*∈V takiego, że

a⁢u*,v=f⁢v⁢⁢∀v∈V,

(13.1)

gdzie f∈V*, a⁢u,v jest formą dwuliniową, która jest ograniczona, tzn. istnieje stała M≥0 taka, że

a⁢u,v≤M⁢uV⁢vV⁢⁢∀u,v∈V,

oraz jest V-eliptyczna co oznacza, że dla pewnego α>0 zachodzi:

a⁢u,u≥α⁢uV2⁢⁢∀u∈V.

Przy powyższych założeniach zachodzi znane twierdzenie analizy funkcjonalnej:

Twierdzenie 13.1 (Lax-Milgram)

Rozpatrzmy formę dwuliniową a⁢u,v:V×V→R, która jest ograniczona i V-eliptyczna, a f∈V*. Wtedy zadanie (13.1) ma jednoznaczne rozwiązanie i

u*V≤fV*α.

(13.2)

Istnienie rozwiązania wynika z lematu Riesza. Szczegóły dowodu można znaleźć np. w [7] lub [6]. Oszacowanie (13.2) dla u* otrzymujemy wstawiając u* za v w (13.1) i korzystając z V-eliptyczności formy i definicji normy dualnej funkcjonału liniowego:

α⁢u*V2≤a⁢u*,u*=f⁢u*≤fV*⁢u*V.

Jeśli u1 i u2 są rozwiązaniami zadania wariacyjnego, to w=u1-u2 spełnia (13.1) dla prawej strony równej zero. Z tego i z (13.2) wynika, że u1-u2V=0, co oznacza, że rozwiązanie jest wyznaczone jednoznacznie.

∎

13.2. Metoda Galerkina

Załóżmy, że Vnn to rodzina podprzestrzeni skończenie wymiarowych V o wymiarze n.

Definiujemy zadanie dyskretne aproksymujące (13.1): chcemy znaleźć un∈Vn takie, że

a⁢un*,vn=f⁢vn⁢⁢∀vn∈Vn.

(13.3)

Forma a⁢u,v jest ograniczona na Vn z normą przestrzeni V i jest również Vn-eliptyczna. Zatem z twierdzenia 13.1 wynika istnienie jednoznacznego rozwiązania zadania dyskretnego, które spełnia:

un*V≤fV*α,

(13.4)

Rozwiązania dyskretne są wspólnie ograniczone niezależnie od wymiaru n, co określamy jako stabilność rozwiązań rodziny zadań dyskretnych.

Proszę zauważyć, że ponieważ przestrzeń Vn jest skończenie wymiarowa, więc - z definicji - ma bazę o skończonej ilości elementów n<∞, tzn. Vn=ϕjj=1n i, aby znaleźć współczynniki rozwiązania (13.3) w tej bazie, należy rozwiązać układ równań liniowych

An⁢u→=f→,

gdzie Ank⁢l=a⁢ϕk,ϕl i f→=f⁢ϕkk dla k,l=1,…,n. Jeśli forma a⁢u,v jest symetryczna, to An jest macierzą symetryczną i dodatnio określoną. Oczywiście najlepiej byłoby dobrać taką bazę, żeby macierz An była np. pasmowa, albo ogólniej - o małej ilości elementów różnych od zera. Pojawia się pytanie: jak taką bazę wyznaczyć?

13.3. Abstrakcyjne oszacowanie błędu

Tutaj pokażemy związek między błędem u*-un*, a błędem aproksymacji przestrzeni V przez rodzinę przestrzeni Vn.

Zachodzi ważne twierdzenie - zwyczajowo zwane lematem Céa:

Twierdzenie 13.2 (lemat Céa)

Niech forma a⁢u,v określona na przestrzeni Hilberta V będzie ograniczona i V-eliptyczna, Vn⊂V podprzestrzeń V. Wtedy

u*-un*V≤Mα⁢infvn∈Vn⁡u*-vnV,

gdzie u* - to rozwiązanie (13.1), a un* - to rozwiązanie (13.3).

Z (13.1) wynika, że:

a⁢u*,vn=f⁢vn⁢⁢∀vn∈Vn.

Odejmując to równanie od (13.3) otrzymujemy:

a⁢u*-un*,vn=0⁢⁢∀vn∈Vn.

A dalej

α⁢u-unV2	≤	a⁢u-un,u-un=a⁢u-un,u-a⁢u-un,un
	=	a⁢u-un,u-a⁢u-un,vn=a⁢u-un,u-vn
	≤	M⁢u-unV⁢u*-vnV.

Dzieląc przez u*-un*V otrzymujemy tezę twierdzenia.

∎

Z lematu wynika, że aby oszacować błąd u*-un* wystarczy oszacować błąd aproksymacji u* przez podprzestrzeń dyskretną Vn.

Wniosek 13.1

Przy założeniach lematu Céa, jeśli rodzina podprzestrzeni Vn przestrzeni Hilberta V jest taka, że:

∀u∈V⁢⁢dist⁢u,Vn=infv∈Vn⁡u-vV→0⁢⁢n→∞,

to

un*-u*V→0⁢⁢n→∞.

13.4. Przestrzenie Sobolewa

Niech Ω⊂Rd będzie otwartym obszarem. Wtedy definiujemy półnormę i normę H1⁢Ω jako:

uH1⁢Ω=∫Ω∇⁡u2⁢⁢d⁢x,⁢uH1⁢Ω=uL2⁢Ω2+uH1⁢Ω2.

Dodatkowo będziemy też oznaczać H0⁢Ω:=L2⁢Ω i uH0⁢Ω=uH0⁢Ω=uL2⁢Ω.

Definicja 13.1

Niech H01⁢Ω⊂L2⁢Ω będzie domknięciem w normie H1 przestrzeni C0∞⁢Ω, gdzie C0∞⁢Ω jest podprzestrzenią C∞⁢Ω złożoną z funkcji o zwartym nośniku w Ω.

Jest to przestrzeń zupełna (ang. complete space) z iloczynem skalarnym H1: u,vH1⁢Ω=∫Ωu⁢⁢v+∇⁡u⁢⁢∇⁡v⁢⁢d⁢x. Można pokazać, że jest to ośrodkowa przestrzeń Hilberta (ang. separable Hilbert space), tzn. posiada przeliczalną bazę ortonormalną (ang. countable orthonormal basis).

Pojawia się pytanie; czy jeśli funkcja u∈H01⁢Ω∩C⁢Ω¯, to u|∂Ω=0. Okazuje się, że tak jest, co wynika z twierdzenia o śladzie, por. twierdzenie 16.2.

Z nierówności Friedrichsa (por. stwierdzenie 16.1) wynika, że półnorma H1 w przestrzeni H01⁢Ω jest normą równoważną z normą H1.

Dodatkowo zdefiniujemy półnormę H2:

uH2⁢Ω=∫Ω∑k,l=1d∂2⁡u∂⁡xk⁢∂⁡xl2⁢⁢d⁢x.

poprawnie zdefiniowaną dla funkcji gładkich i przestrzeń H01⁢Ω∩H2⁢Ω złożoną z tych funkcji w H01⁢Ω, dla których jej drugie pochodne dystrybucyjne są w L2⁢Ω. Przestrzeń ta zawiera wszystkie funkcje klasy C2⁢Ω¯ zerujące się na brzegu Ω.

13.5. Zadanie eliptyczne drugiego rzędu z zerowymi warunkami na brzegu

Rozpatrzmy ogólne zadanie eliptyczne w słabym sformułowaniu: chcemy znaleźć u*∈H01⁢Ω takie, że

a⁢u*,v=f⁢v⁢⁢∀v∈H01⁢Ω,

(13.5)

gdzie f⁢v=∫Ωf⌃⁢v⁢⁢d⁢x dla danej funkcji f⌃∈L2⁢Ω oraz

a⁢u,v=∫Ω∑i,j=1dai⁢j⁢x⁢∂⁡u∂⁡xi⁢∂⁡v∂⁡xj+c⁢x⁢u⁢⁢v⁢⁢d⁢x,

Tutaj funkcje ai⁢j,c∈L∞⁢Ω, tzn. są ograniczone, oraz istnieje stała α⌃>0 taka, że:

	∑i,j=1dai⁢j⁢x⁢ξi⁢ξj	≥	α⌃⁢∑i=1dξi2,⁢∀ξ∈Rd,⁢∀x∈Ω
	c⁢x	≥	0⁢⁢∀x∈Ω.

Jeśli dodatkowo ai⁢j=aj⁢i na Ω to mówimy, że zadanie jest samosprzężone. Można wykazać, że istnieją stałe dodatnie M,α takie, że:

	a⁢u,v≤M⁢uH1⁢Ω⁢vH1⁢Ω⁢⁢∀u,v∈H01⁢Ω,				(13.6)
	a⁢u,u≥α⁢uH1⁢Ω⁢⁢∀u∈H01⁢Ω,

czyli forma dwuliniowa a(⋅,⋅) jest ograniczona w H01⁢Ω i H01⁢Ω-eliptyczna.

Jako wniosek z twierdzenia 13.1 otrzymujemy:

Stwierdzenie 13.1

Zadanie (13.5) ma jednoznaczne rozwiązanie.

Jeśli zadanie jest samosprzężone to:

a⁢u,v=a⁢v,u

i forma a(⋅,⋅) jest iloczynem skalarnym w H01⁢Ω.

Można pokazać, że jeśli istnieje rozwiązanie u* zadania (13.5), które dodatkowo jest klasy C2⁢Ω, i jeśli funkcje ai⁢j∈C1⁢Ω, to

-∑k,l=1n∂∂⁡xk⁢ak⁢l⁢x⁢∂⁡u∂⁡xl⁢x+c⁢x⁢u⁢x=f⁢x.

13.6. Ciągła metoda elementu skończonego dla zadań eliptycznych drugiego rzędu

W tym rozdziale przedstawimy ogólne zasady konstrukcji ciągłej metody elementu skończonego. Ciągłość oznacza, że przestrzenie elementu skończonego będą zawierały wyłącznie funkcje ciągłe z przestrzeni wyjściowej V.

Będziemy zajmowali się konstrukcją przestrzeni wyłącznie dla zagadnień różniczkowych zadanych na ograniczonym obszarze Ω⊂Rd dla d=1,2,3.

13.6.1. Triangulacje

Będziemy zakładali, że Ω jest odcinkiem dla d=1, wielokątem dla d=2, czy wielościanem dla d=3.

Wprowadzamy w Ω rodzinę podziałów Th⁢Ω=τ dla τ⊂Ω na odpowiednio: odcinki dla d=1, trójkąty lub prostokąty dla d=2, czworościany lub prostopadłościany dla d=3 - przy czym typ elementu zawsze jest ustalony. Formalnie wprowadzamy następującą definicję triangulacji, por. rozdział 12.1.1:

Rozpatrzmy obszar Ω⊂Rd, d=1,2,3 będący odcinkiem, wielokątem (ang. polygon), lub wielościanem (ang. polyhedron), i niech T⁢Ω=τ1,…,τn będzie podziałem Ω, tzn. rodziną wielościanów (ang. polyhedrons or elements) zazwyczaj ustalonego typu, tzn. odcinków (ang. segments) dla d=1, trójkątów (ang. triangles), czworokątów (ang. quadrilaterals) lub prostokątów (ang. rectangles) dla d=2, czworościanów (ang. tetrahedrons) lub prostopadłościanów (ang. cuboids) czy sześcianów (ang. cubes) dla d=3.

Definicja 13.2

(Triangulacja obszaru)

Powiemy, że Th=Th⁢Ω jest dopuszczalną triangulacją (ang. admissible triangulation), jeśli spełnione są następujące warunki:
- ⋃τ∈T⁢Ωτ¯=Ω¯,
- ∂⁡τk∩∂⁡τl jest zbiorem pustym, wspólnym wierzchołkiem, wspólną krawędzią (d=2,3), wspólną ścianą (tylko d=3), jeśli k≠l.
Dla danej triangulacji Th⁢Ω niech h=maxτ∈T⁢Ω⁡diam⁢τ oznacza parametr tej triangulacji.
Rodzina triangulacji Th⁢Ω jest regularna ze względu na kształt (ang. shape regular), jeśli istnieje stała c>0 taka, że każdy τ w Th zawiera okrąg wpisany w τ o promieniu ρτ taki, że

ρτ≥c⁢⁢diam⁢τ.
Rodzina triangulacji Th⁢Ω jest regularna równomiernie (ang. quasiuniform), jeśli jest regularna ze względu na kształt i istnieje stała C taka, że każdy τ w Th zawiera okrąg wpisany w τ o promieniu ρτ taki, że

ρτ≥C⁢⁢h.

Własność regularności ze względu na kształt i własność równomiernej regularności są niezbędne w teorii zbieżności metod elementu skończonego.

Będziemy zakładali, że dla rodziny triangulacji Th⁢Ω - czyli podziałów na wielościany (ang. polyhedrons) ustalonego typu - istnieje tzw. wielościan wzorcowy τ⌃ i ustalona przestrzeń wielomianów P⌃ określonych na τ⌃ wraz z ustalonymi różnymi punktami x⌃j∈τ⌃¯ takimi, że każdy wielomian p∈P⌃ jest wyznaczony jednoznacznie przez swoje wartości w tych punktach.

Definicja 13.3

Rozpatrzmy rodzinę przestrzeni funkcji ciągłych Vhh takich, że dla triangulacji Th i dowolnego τj∈Th istnieje izomorficzne przekształcenie afiniczne Fj:τ⌃→τj takie, że dla dowolnej funkcji u∈Vh istnieje w∈P⌃ takie, że

u⁢x=w⁢Fj-1⁢x,⁢x∈τj.

Wtedy Vh nazywamy przestrzenią ciągłego elementu skończonego (ang. continuous finite element space), a rodzinę tych przestrzeni - afiniczną rodziną ciągłych przestrzeni elementu skończonego (ang. affine family of FE spaces). Punkty xk=Fj⁢x⌃k∈τ nazywamy punktami nodalnymi na elemencie τj, a ich zbiór oznaczamy Nh⁢τj, a przestrzeń wielomianów P⁢τj=u|τj:u∈Vh=u:∃⁢w∈P⌃,⁢u⁢x=w⁢Fj-1⁢x,⁢x∈τj jest lokalną przestrzenią wielomianów na τj.

Zbiór punktów nodalnych (ang. nodal points)
Dodatkowo będziemy zakładali, że dla danej przestrzeni ciągłej elementu skończonego Vh zbudowanej na triangulacji Th obszaru Ω istnieje Nh⊂⋃τ∈ThNh⁢τ - podzbiór zbioru wszystkich punktów nodalnych wielościanów z triangulacji Th taki, że wartości funkcji z Vh, zwane wartościami nodalnymi tej funkcji w tym zbiorze, jednoznacznie tę funkcję definiują.

Wprowadzamy definicję bazy nodalnej związanej z punktami nodalnymi:

Definicja 13.4

Bazą nodalną (ang. nodal basis) związaną ze zbiorem punktów nodalnych Nh (ang. nodal points) nazywamy układ funkcji ϕxx∈Nh w Vh taki, że

ϕx⁢y=⁡1y=x0y≠x⁢⁢⁢∀y∈Nh.

.

Ten układ jest bazą w Vh i widzimy, że:

u=∑x∈Nhu⁢x⁢ϕx⁢⁢∀u∈Vh.

(13.7)

Wprowadzamy też pojęcie operatora interpolacji nodalnej:

Definicja 13.5

Rozpatrzmy Vh ciągłą przestrzeń elementu skończonego, zbudowaną na triangulacji Th, oraz niech Nh będzie zbiorem punktów nodalnych dla tej przestrzeni. Wtedy operatorem interpolacji nodalnej (ang. nodal interpolant) dla Vh nazwiemy operator: πh:C⁢Ω¯→Vh zdefiniowany jako

πh⁢u=∑x∈Nhu⁢x⁢ϕx.

Nietrudno zauważyć, że:

Stwierdzenie 13.2

Operator interpolacji πh jest rzutem na Vh, tzn.

πh⁢C⁢Ω¯=Vh,⁢πh⁢vh=vh⁢⁢∀vh∈Vh.

13.6.2. Warunek ciągłości, a przestrzeń Sobolewa H01

Następne twierdzenie podaje nam warunek dostateczny na to, by przestrzeń zawierająca funkcje, które na podzbiorach są odpowiednio gładkie była zawarta w H01⁢Ω.

Twierdzenie 13.3

Niech Th będzie triangulacją obszaru Ω. Niech u∈C⁢Ω¯ będzie taka, że u|∂Ω=0 i u|τ∈C1⁢τ dla dowolnego τ∈Th. Wtedy u∈H01⁢Ω.

Dowód można znaleźć np. w [7]. Wynika z niego, że:

Wniosek 13.2

Jeśli wszystkie funkcje z ciągłej przestrzeni elementu skończonego Vh na obszarze Ω (por. definicja 13.3) przyjmują zerowe wartości na brzegu Ω, to Vh jest podprzestrzenią H01⁢Ω.

13.6.3. Aproksymacyjne własności ciągłych przestrzeni elementu skończonego w H01

Zachodzi następujące twierdzenie o aproksymacji dla operatora interpolacji nodalnej:

Twierdzenie 13.4

Rozpatrzmy Vhh afiniczną rodzinę ciągłych przestrzeni elementu skończonego zbudowanych na dopuszczalnej rodzinie triangulacji regularnych co do kształtu taką, że P1⊂P⌃, oraz u∈H01⁢Ω∩H2⁢Ω. Wtedy dla operatora interpolacji nodalnej w przestrzeni Vh zachodzi:

u-πh⁢uL2⁢Ω+h⁢u-πh⁢uH1⁢Ω≤C⁢h2⁢uH2⁢Ω.

Rozpatrzmy funkcję ciągła u na elemencie τ∈Th i πh,τj⁢u taką funkcję w P⁢τj, że

πh,τj⁢u⁢x=u⁢x⁢⁢x∈Nh⁢τ.

Wtedy

πh,τj⁢u⁢x=πh⁢u⁢x⁢⁢∀x∈τ¯,

co wynika wprost z definicji bazy nodalnej Vh i operatora interpolacji nodalnej πh (por. definicje 13.4 i 13.5). Zauważmy, że twierdzenia Sobolewa o włożeniu (ang. Sobolev embedding theorem), zob. twierdzenie 16.3, wynika, że dla d≤3 zachodzi H2⁢Ω⊂C⁢Ω. Z twierdzenia 16.5 (biorąc m=0,1 i l+1=2) otrzymujemy:

u-πh⁢uHm⁢Ω2=∑τ∈Thu-πh⁢uHm⁢τ2≤C⁢∑τ∈Thh4-2⁢m⁢uH2⁢τ2=C⁢h4-2⁢m⁢uH2⁢Ω2,⁢m=0,1,

co kończy dowód.

∎

13.7. Zadania dyskretne i zbieżność

Dla rodziny triangulacji i przestrzeni ciągłych funkcji elementu skończonego Vhh, zawierających funkcje zerujące się na brzegu, możemy wprowadzić zadanie dyskretne, a dokładniej rodzinę zadań dyskretnych (13.3), które mają jednoznaczne rozwiązania i są stabilne, tzn. wspólnie ograniczone (por. (13.4)).

Teraz możemy wykorzystać teorię ciągłego elementu skończonego, aby otrzymać zbieżność i oszacowanie błędu dla elementu liniowego, por. rozdział 12.1.2, ale również elementów wyższego rzędu:

Wniosek 13.3

Załóżmy, że spełnione są założenia twierdzenia 13.4 o rodzinie przestrzeni elementu skończonego Vh zawartych w H01⁢Ω. Rozpatrzmy u*∈H01⁢Ω rozwiązanie (13.5) i uh* rozwiązanie zadania dyskretnego (13.3) z formą dwuliniową z (13.5) i przestrzenią dyskretną Vn=Vh. Wtedy

u*-uh*H1⁢Ω→0⁢⁢h→0,

a jeśli dodatkowo u*∈H01⁢Ω∩H2⁢Ω, to

u*-uh*H1⁢Ω≤C⁢⁢h⁢⁢u*H2⁢Ω.

(13.8)

Dla u*∈H01⁢Ω∩H2⁢Ω oszacowanie błędu (13.8) wynika z lematu Céa (twierdzenie 13.2) i z twierdzenia 13.4.

Zauważmy, że z definicji przestrzeni H01⁢Ω wynika, że jeśli u*∈H01⁢Ω to dla dowolnego ϵ⌃>0 istnieje uϵ∈C0∞⁢Ω takie, że

u*-uϵH1⁢Ω≤ϵ⌃.

Następnie z lematu Céa (twierdzenie 13.2), nierówności trójkąta i z oszacowania z twierdzenia 13.4 otrzymujemy:

	u-uhH1⁢Ω	≤	C⁢u-πh⁢uϵH1⁢Ω≤C⁢u-uϵH1⁢Ω+πh⁢uϵ-uϵH1⁢Ω
		≤	C⁢ϵ⌃+CC1h*uϵH2⁢Ω,

dla C stałej z lematu Céa i C1 stałej z twierdzenia 13.4. Stąd wynika zbieżność uh* do u* w H01⁢Ω dla h→0.

∎

Dla dowolnego obszaru wielokątnego (wielościennego) niech Th będzie rodziną triangulacji trójkątnych, jak w twierdzeniu 13.4, i niech dla p=1,2,3,…

Vph=u∈C⁢Ω¯:u|τ∈Pp⁢τ,⁢∀τ∈Th;⁢u=0⁢⁢na⁢⁢∂⁡Ω.

Przestrzeń Vph nazywamy ciągłą przestrzenią elementu liniowego dla p=1, kwadratowego dla p=2 i kubicznego dla p=3. Wtedy:

Wniosek 13.4

Vph⊂H01⁢Ω i jeśli u* jest rozwiązaniem (13.5), a uh,p* jest rozwiązaniem zadania dyskretnego (13.3) z przestrzenią Vn=Vph p=1,2,3,… dla formy dwuliniowej z (13.5), to

u*-uh,p*H1⁢Ω≤C⁢⁢h⁢⁢u*H2⁢Ω

o ile u*∈H2⁢Ω.

13.8. Zadania

Ćwiczenie 13.1

Udowodnij (13.6).

Ćwiczenie 13.2

Niech f,fk∈L2⁢Ω dla Ω⊂Rd. Pokaż, że Ψ⁢u=∫Ωf⁢u⁢⁢d⁢x+∑k=1dfk⁢∂⁡u∂⁡xk⁢⁢d⁢x zdefiniowane dla u∈H01⁢Ω jest ograniczonym funkcjonałem liniowym na H01⁢Ω.

Ćwiczenie 13.3

Niech Ψ∈H01⁢Ω* będzie funkcjonałem liniowy na H01⁢Ω. Tu Ω⊂Rd. Pokaż, że istnieją f,f1,f2∈L2⁢Ω dla Ω⊂Rd, takie, że Ψ⁢u=∫Ωf⁢u⁢⁢d⁢x+∑k=1dfk⁢∂⁡u∂⁡xk⁢⁢d⁢x dla dowolnego u∈H01⁢Ω.

Ćwiczenie 13.4 (trick Nitsche'go)

Rozpatrzmy zadanie dualne do (13.5): znaleźć ψ∈H01⁢Ω

a⁢v,ψ=∫Ωf⁢v⁢⁢d⁢x⁢⁢∀v∈H01⁢Ω.

Pokaż, że ma ono jednoznaczne rozwiązanie takie, że ψH1⁢Ω≤C⁢fL2⁢Ω.

Dodatkowo zakładamy regularność rozwiązania dualnego (13.5): tzn., że dla dowolnego f∈L2⁢Ω zachodzi: ψ∈H2⁢Ω z ψH2⁢Ω≤C⁢fL2⁢Ω oraz, że Vh⊂H01⁢Ω taki, że jeśli ψ∈H2⁢Ω to infv∈Vh⁡ψ-vH1⁢Ω≤C1⁢h⁢ψH1⁢Ω.

Pokaż, że biorąc f=u*-uh* dla uh* rozwiązania (13.3) otrzymamy:

u*-uh*L2⁢Ω≤C⁢h2⁢u*H2⁢Ω.

Ćwiczenie 13.5

Dla liniowej przestrzeni elementu skończonego Vh na kwadracie jednostkowym z rozdziału 12.1.2 pokaż, że

u*-uh*H1⁢Ω≤C⁢h⁢u*H2⁢Ω,

gdzie u* rozwiązanie (12.1).

Wskazówka:

Wystarczy sprawdzić założenia wniosku 13.4.

Ćwiczenie 13.6

Uogólnij twierdzenie 13.4 tzn. pokaż, zakładając, że Pp⊂P⌃, a u∈Hp+1⁢Ω∩H01⁢Ω, że otrzymujemy

u-πh⁢uHs⁢Ω≤C⁢hp+1-s⁢uHp+1⁢Ω⁢⁢s=0,1,…,p.

Ćwiczenie 13.7

Uogólnij wniosek 13.4, tzn. pokaż, że przy założeniach wniosku, jeśli dodatkowo u*∈Hp+1⁢Ω, to

u*-uh,p*H1⁢Ω≤C⁢⁢hp⁢⁢u*Hp+1⁢Ω.