Rozpatrzmy następujące równanie paraboliczne z jednorodnymi warunkami brzegowymi: należy znaleźć funkcję u określoną na 0,T taką, że

dla f danej funkcji ciągłej określonej na 0,T×0,l i ciągłej funkcji u0 określonej na 0,l i c stałej nieujemnej.

Wprowadzając siatkę jednorodną w obszarze Ω: Ω¯h=xkk=0M z xk=k*h dla h=l/M (Ωh=xkk=1M-1) i zastępując operator

-∂2∂⁡x2+c przez operator siatkowy dyskretny -∂¯⁢∂h+c, por. (7.3), dobrze określony dla funkcji dyskretnych na siatce, otrzymujemy układ równań zwyczajnych, którego rozwiązanie powinno aproksymować (14.4):

Jeśli wprowadzimy dyskretne kroki czasowe na odcinku 0,T: tn=n*τ dla n=0,…,N i τ=T/N, to układ równań zwyczajnych (14.1.1) możemy zdyskredytować po czasie używając któregoś ze schematów ze stałym krokiem dla równań zwyczajnych. Czyli np.: otwarty schemat Eulera daje nam schemat różnicowy (zwany otwartym schematem Eulera dla równania parabolicznego) polegający na tym, że należy znaleźć uknk=1,…,M;n=0,…,N takie, że

dla fkn=f⁢tn,xk. Tutaj przyjęliśmy oznaczenie, że szukane przybliżenie uh⁢tn,xk oznaczamy przez ukn.

Powyższy schemat możemy potraktować jako schemat różnicowy na siatce dyskretnej Ωτ,h=tn,xkn,k z parametrem siatki max⁡τ,h dla obszaru wyjściowego ΩT=0,T×Ω i operatorem różnicowym (siatkowym) Lτ,h=∂τ-∂¯⁢∂h+c⁢I, por. (7.2), przybliżającym na Ωτ,h operator paraboliczny L=∂∂⁡t-∂2∂⁡x2+c⁢I. Następnie można pokazać, że jeśli u rozwiązanie wyjściowego problemu jest dostatecznie gładkie, to otrzymujemy: Lτ,h⁢u⁢tn,xk-L⁢u⁢tn,xk=O⁢τ+h2=O⁢max⁡τ,h2, czyli rząd aproksymacji schematu wynosi jeden (por. definicję 8.4). A bardziej szczegółowo - rząd aproksymacji schematu wynosi jeden względem τ, a względem h wynosi dwa.

Można pokazać stabilność operatora różnicowego Lτ,h w odpowiednich normach dyskretnych (por. definicję 8.5), tzn. odpowiednia norma dyskretna uh jest nie większa niż stała niezależna od h,τ pomnożona przez odpowiednie normy dyskretne fknn,k i uk0k.

Przypomnijmy, że jeśli schemat różnicowy jest stabilny i posiada odpowiedni rząd aproksymacji schematu, to jest zbieżny z odpowiednim rzędem, por. rozdział 8.1.

Niestety - stabilność jest tylko warunkowa, tzn. tylko dla h i τ spełniających odpowiedni warunek. Mówimy wtedy, że schemat jest stabilny warunkowo. Z praktycznego punktu widzenia lepiej byłoby gdyby schemat był stabilny absolutnie, tzn. dla dowolnej pary τ>0,h>0.

Analogicznie możemy wprowadzić zamknięty schemat Eulera dla modelowego zadania parabolicznego stosując zamknięty schemat Eulera dla równań zwyczajnych do dyskretyzacji po czasie (14.1.1):

Rząd lokalnego błędu aproksymacji zamkniętego schematu Eulera jest taki sam jak otwartego schematu Eulera, ale dla c>0 schemat ten jest absolutnie stabilny w dyskretnej normie maksimum. Kolejny schemat Cranka-Nicholson otrzymany po zastosowaniu schematu trapezów, por. (4.7), do (14.1.1):

Można pokazać, że lokalny błąd aproksymacji tego schematu jest jak O⁢τ2+h2.

W przypadku zamkniętego schematu Eulera i schematu Cranka-Nicholson można pokazać ich bezwarunkową stabilność dla c≥0 w specjalnie dobranych normach dyskretnych.

W tym rozdziale zajmiemy się ze względu na prostotę prezentacji modelowym równaniem parabolicznym z jednorodnymi warunkami brzegowymi na kwadracie Ω=0,12. Chcemy znaleźć funkcję u określoną na 0,T taką, że

gdzie f - to dana funkcja ciągła określona na 0,T×0,12, u0 - to funkcja ciągła określona na 0,12, a c - to stała nieujemna.

Wprowadzając siatkę jednorodną w obszarze Ω jak w rozdziale 7.2: Ωh,Ω¯h,∂⁡Ωh dla h=1/M, i zastępując operator -△+c przez operator siatkowy dyskretny -∑s=12∂¯⁢∂s,h+c por. (7.9) dobrze określony dla funkcji dyskretnych na jednorodnej siatce, otrzymujemy układ równań zwyczajnych, którego rozwiązanie powinno aproksymować (14.8):

Tak jak w przypadku jednowymiarowym (por. rozdział 14.1.1), wprowadzamy dyskretną siatkę po zmiennej czasowej z krokiem τ na odcinku 0,T: tn=n*τ dla n=0,…,N i τ=T/N i otrzymujemy dyskretyzację układu równań zwyczajnych (14.1.2) używając któregoś ze schematów ze stałym krokiem dla równań zwyczajnych.

Otwarty schemat Eulera daje nam następujący schemat polegający na znalezieniu uk,ln takiego, że:

Przybliżenie uh⁢tn,k*h,l*h oznaczamy przez uk,ln.

W szczególności otrzymujemy

Analogicznie możemy zdefiniować schemat zamknięty Eulera lub schemat Cranka-Nicholson, czyli schemat trapezów zastosowany do (14.1.2).

Rozpatrzmy ponownie jednowymiarowe modelowe zadanie (14.4). Jego słabe sformułowanie wprowadzamy analogicznie jak w rozdziale 11. Mnożąc równanie paraboliczne (14.4) przez funkcję testową z C0∞⁢0,l, całkując po 0,l i stosując wzór na całkowanie przez części otrzymujemy równanie:

z warunkiem początkowym

Korzystając z tego, że H01⁢0,l jest domknięciem C0∞⁢0,l w normie H1 można pokazać, że powyższe równanie jest równoważne znalezieniu funkcji u:0,T→H01⁢Ω takiej, że

dla 0<t≤T, co jest słabym (wariacyjnym) sformułowaniem (14.4), które stanowi wyjście do konstrukcji dyskretyzacji równania parabolicznego za pomocą metody elementu skończonego. Niech Th([0,l])={[xk,xk+1} będzie triangulacją równomierną 0,l zdefiniowaną jak w rozdziale 11.1.2, tzn. xk=k*h dla h=l/N i niech Vh będzie przestrzenią funkcji ciągłych kawałkami liniowych (tzn. liniowych na elementach xk,xk+1) zerujących się w końcach odcinka 0,l. Oczywiście zachodzi Vh⊂H01⁢0,l.

Wtedy możemy zdefiniować dyskretyzację po przestrzeni zadania (14.11).

Znajdź funkcję uh:0,T→Vh taką, że dla 0<t≤T i dowolnego vh∈Vh zachodzi:

Biorąc bazę nodalną tej przestrzeni ϕkk=1N-1 (por. (11.3)) i rysunek 11.1 na str. 11.1, otrzymujemy uh=∑k=1N-1uk⁢ϕk i

dla u→=ukk, Mh=ϕk,ϕlL2⁢0,lk,l, Ah=d⁢ϕkd⁢x,d⁢ϕld⁢xL2⁢0,lk,l, u→0,h=u0,ϕkL2⁢0,lk i wektora prawej strony f→=f1,…,fN-1T dla fk⁢t=f⁢t,ϕkL2⁢0,l. Z tego otrzymujemy

Proszę zauważyć, że jest to układ równań zwyczajnych liniowych z warunkiem początkowym, więc ma jednoznaczne rozwiązanie na 0,T, co wynika z ogólnej teorii równań różniczkowych zwyczajnych, por. np. rozdział 3.2 lub [23]. Do powyższego układu równań możemy zastosować dowolny schemat rozwiązywania równań zadania początkowego dla równań zwyczajnych.

Macierze Mh i Ah są symetryczne i dodatnio określone.

Można pokazać, że macierz Mh-1⁢Ah ma wartości własne ujemne o module od jeden do rzędu h-2, czyli bardzo dużym module dla małych h. Zatem dla c=0 układ równań zwyczajnych jest sztywny zgodnie z definicją z rozdziału 6. Należy tu stosować schematy całkowania równań zwyczajnych stosowne do zadań sztywnych.

Rozpatrzmy dwuwymiarowe modelowe zadanie na dowolnym obszarze wielokątnym na płaszczyźnie Ω, czyli zastępując kwadrat przez Ω w (14.8). Jego słabe sformułowanie otrzymujemy analogicznie jak w rozdziale 11, lub w przypadku jednowymiarowym (por. rozdział 14.2.1). Mnożąc równanie paraboliczne z (14.8) przez funkcję testową z C0∞⁢Ω, całkując po Ω i stosując wzory Greene'a otrzymujemy:

dla 0<t≤T, a⁢u,v=∇⁡u,∇⁡ϕL2⁢Ω+c⁢u,ϕL2⁢Ω oraz u spełnia warunek początkowy u⁢0,ϕL2⁢Ω=u0,ϕL2⁢Ω.

Jak w rozdziale 14.2.1 otrzymujemy, że powyższe równanie jest równoważne znalezieniu funkcji u:0,T→H01⁢Ω takiej, że

dla 0<t≤T, co jest słabym, wariacyjnym sformułowaniem (14.8), które stanowi wyjście do konstrukcji dyskretyzacji równania parabolicznego za pomocą metody elementu skończonego. Rozpatrzmy Th⁢Ω triangulacje równomierną Ω, złożoną z przystających trójkątów, zdefiniowaną jak w rozdziale 12 i Vh - przestrzeń funkcji ciągłych kawałkami liniowych na tej triangulacji, zerujących się na brzegu, czyli przestrzenią liniowego elementu skończonego (por. rozdział 12).

Dyskretyzację po przestrzeni zadania (14.13) definiujemy: znajdź funkcję uh:0,T→Vh taką, że dla 0<t≤T i dowolnego vh∈Vh:

Otrzymaliśmy zatem ponownie układ równań zwyczajnych liniowych z warunkiem początkowym, który po wprowadzeniu standardowej bazy daszkowej ϕk⁢l dla Vh, por. (12.1.2), możemy przepisać jako zadanie początkowe na funkcje-współczynniki αk,l⁢t takie, że uh⁢t=∑k,lαk,l⁢t⁢ϕk⁢l. Następnie to zadanie początkowe możemy rozwiązać za pomocą jakiegoś schematu, np. otwartego lub zamkniętego schematu Eulera, lub schematu trapezów. Okazuje się, że - tak samo jak w przypadku jednowymiarowym - dla c=0 powstające układy równań zwyczajnych są sztywne. Dlatego w praktyce stosuje się odpowiednie schematy dla zadań sztywnych.