Zagadnienia

16.1 Przestrzenie Sobolewa Hm
16.2 Zgodna metoda elementu skończonego
- 16.2.1 Element skończony - ujęcie formalne
16.3 Elementy aproksymacji w przestrzeniach Sobolewa Hk

16. Przestrzenie elementu skończonego, a aproksymacja w przestrzeniach Sobolewa

W tym rozdziale przedstawimy elementy teorii przestrzeni Sobolewa oraz kilka technicznych lematów potrzebnych do dowodów zbieżności metody elementu skończonego. Mimo, że przedstawimy tylko najmniej techniczne dowody odpowiednich lematów to, aby w pełni zrozumieć dowody, należałoby zapoznać się wcześniej z teorią przestrzeni Sobolewa, zob. np. [21].

Materiał w poniższym rozdziale wykracza poza materiał z wykładu.

16.1. Przestrzenie Sobolewa Hm

Poniżej podamy kilka faktów, dotyczących przestrzeni Sobolewa, potrzebnych do udowodnienia zbieżności metody elementu skończonego dla równania eliptycznego drugiego stopnia.

Najpierw zdefiniujmy przestrzenie Sobolewa Hk⁢Ω dla Ω⊂Rd, por. [21].

Definicja 16.1

Rozpatrzmy Ω⊂Rd obszar ograniczony, wtedy Hm⁢Ω definiujemy jako przestrzeń funkcji z L2⁢Ω, których słabe pochodne ∂α⁡u dla wszystkich α≤m są w L2⁢Ω. Iloczyn skalarny w Hm definiujemy jako

u,vHm⁢Ω=∑α≤m∂α⁡u⁢⁢∂α⁡v⁢⁢d⁢x

z normą

uHm⁢Ω=∑α≤m∂α⁡u2⁢⁢d⁢x.

i półnormą

uHm⁢Ω=∑α=m∂α⁡u2⁢⁢d⁢x.

Tutaj α=α1,…,αd z αj∈N - to wielowskaźnik, α=∑k=1dαk i

∂α⁡u=∂α⁡u∂α1⁡…⁢∂αd.

Można pokazać następujące twierdzenie:

Twierdzenie 16.1

Rozpatrzmy Ω⊂Rd otwarty obszar z kawałkami gładkim brzegiem i m≥0. Wtedy C∞⁢Ω∩Hm⁢Ω jest zbiorem gęstym w Hm⁢Ω.

Proszę zauważyć, że to twierdzenie pozwala nam inaczej zdefiniować przestrzeń Hm jako domknięcie zbioru wszystkich funkcji gładkich, których norma ∥⋅∥Hm⁢Ω jest ograniczona.

Dodatkowo wprowadzamy:

Definicja 16.2

Niech H0m⁢Ω będzie domknięciem w Hm przestrzeni C0∞, gdzie C0∞⁢Ω jest podprzestrzenią C∞⁢Ω złożoną z funkcji o zwartym nośniku w Ω.

Zaznaczmy, że:

H0m⁢Ω⊂Hm⁢Ω⊂L2⁢Ω.

Zachodzą jeszcze następujące nierówności:

Stwierdzenie 16.1 (nierówność Friedrichsa)

Jeśli Ω zawarty jest w jednostkowej kostce, to

uL2⁢Ω≤uH1⁢Ω⁢⁢∀u∈H01⁢Ω.

Dowód w ogólności można znaleźć np. w [2], ale dla kostek w dwóch i trzech wymiarach dowód pozostawiamy jako zadanie.

Istnieje też następujące twierdzenie mówiące w jakim sensie możemy rozważać wartości funkcji z H1⁢Ω na brzegu tego obszaru.

Twierdzenie 16.2 (Twierdzenie o śladzie)

Rozpatrzmy Ω ograniczony obszar o brzegu Lipschizowskim¹Brzeg Ω jest Lipschitzowski (odpowiedniej gładkości), jeśli dla każdego punktu x∈∂⁡Ω istnieje otoczenie ∂⁡Ω tego punktu, które może być reprezentowane jako wykres funkcji Lipschitzowkiej (odpowiednio gładkiej)., wtedy istnieje ograniczony operator liniowy γ:H1⁢Ω→L2⁢∂⁡Ω i stała C:

γ⁢uL2⁢∂⁡Ω≤C⁢uH1⁢Ω.⁢∀u∈H1⁢Ω

i γ⁢u=u|∂Ω dla wszystkich u∈C⁢Ω¯∩H1⁢Ω.

Funkcję γ⁢u nazywamy śladem u na brzegu ∂⁡Ω.

Kolejnym ważnym twierdzeniem jest tzw. twierdzenie Sobolewa o włożeniu. Tutaj przedstawimy tylko szczególny przypadek potrzebny w przedstawionych dowodach.

Twierdzenie 16.3 (Twierdzenie Sobolewa o włożeniu (ang. Sobolev embedding theorem))

Rozpatrzmy Ω ograniczony obszar o brzegu Lipschizowskim w Rd dla d=1,2,3, wtedy - jeśli 2*k>d - istnieje ciągłe włożenie H2⁢Ω w przestrzeń C⁢Ω¯ tzn.

	H2⁢Ω	⊂	C⁢Ω¯,
	∃⁢C>0⁢⁢∀u∈Hk⁢Ω⁢⁢uC⁢Ω¯	≤	C⁢uHk⁢Ω.

Stała C>0 zależy od obszaru Ω.

16.2. Zgodna metoda elementu skończonego

W tym rozdziale przedstawimy ogólne zasady konstrukcji zgodnej metody elementu skończonego. Zgodna metoda oznacza, że przestrzenie elementu skończonego Vh zawarte są w przestrzeni wyjściowej V; w tym przypadku w odpowiedniej przestrzeni Sobolewa.

16.2.1. Element skończony - ujęcie formalne

Najpierw wprowadzimy definicję elementu skończonego za [7], por. także [4] i [2].

Definicja 16.3

Dla τ⊂Rd wielościanu w Rd. (Części brzegu τ leżą na hiperpłaszczyznach i są nazywane ścianami)
Pτ⊂C⁢τ jest przestrzenią funkcji wymiaru k określonych na τ (przestrzeń tzw. funkcji kształtu) (ang. shape functions)
N=N1,…,Nk jest baza Pτ* przestrzeni dualnej do Pτ. (Zbiór stopni swobody elementu). Zazwyczaj te funkcjonały wymagają obliczenia wartości funkcji lub jej pochodnych w punktach, dlatego nazywamy je uogólnionymi warunkami interpolacyjnymi.

wtedy elementem skończonym nazywamy trójkę τ,Pτ,N.

Definicja 16.4

Dla elementu skończonego τ,Pτ,N bazą nodalną tego elementu nazywamy bazę sprzężoną w Pτ do bazy N, tzn. taki układ funkcji z Pτ: ϕ1,…,ϕk, że Nj⁢ϕj=1 i Nj⁢ϕl=0 dla l≠j.

Jeśli założymy, że funkcjonały z N są określone i ograniczone na większej lub innej przestrzeni liniowej V, to definiujemy:

Definicja 16.5

Dla elementu skończonego τ,Pτ,N definiujemy operator interpolacji πτ:V+Pτ→Pτ:

πτ⁢f:=∑j=1kN⁢f⁢ϕj⁢⁢∀f∈V

dla ϕjj=0k bazy nodalnej tego elementu.

Jeśli rozpatrujemy podział obszaru na elementy (triangulacje) i każdy element τ jest elementem skończonym, tzn. rozpatrujemy trójkę τ,Pτ,Nτ, to możemy zdefiniować przestrzeń dyskretną dla danego podziału - zwaną dalej przestrzenią elementu skończonego.

Definicja 16.6

Przestrzenią elementu skończonego Vh dla triangulacji Th⁢Ω nazywamy dowolną przestrzeń funkcji określonych na Ω takich, że dla funkcji u∈Vh obciętej do elementu τ∈Th zachodzi własność

u|τ∈Pτ.

Oczywiście w praktyce elementy skończone są tego samego typu. Często dokładamy na przestrzenie elementu skończonego warunki ciągłości lub dodatkowe warunki na brzegu obszaru.

Definicja 16.3 elementu skończonego dotyczy pojedynczego elementu, a analiza metody elementu skończonego będzie polegała na tym, że wyniki otrzymane na elemencie wzorcowym przenoszą się na dowolny element, o ile wszystkie elementy są skonstruowane przy pomocy przekształceń afinicznych.

Definicja 16.7

Rodzina przestrzeni elementu skończonego Vh dla rodziny triangulacji Th⁢Ω z Ω⊂Rd jest rodziną afiniczną pod warunkiem, że istnieje element skończony τ⌃,P⌃,N⌃ - zwany dalej elementem wzorcowym, i spełnione są następujące warunki: dla dowolnego τj∈Th, istnieje przekształcenie afiniczne Fj:τ⌃→τ takie, że dla dowolnej funkcji u∈Vh istnieje p∈P⌃ takie, że

u⁢x=p⁢Fj-1⁢x

oraz dla dowolnego Nj∈N istnieje N⌃j∈N⌃ takie, że

Nj⁢u=N⌃j⁢u∘Fj.

Widzimy, że przekształcenie afiniczne spełnia:

Fj⁢x⌃=Aj⁢x⌃+yj⁢⁢x⌃∈τ⌃,

dla Aj macierzy nieosobliwej d×d i yj ustalonego wektora.

Stwierdzenie 16.2

Rozpatrzmy afiniczną rodzinę przestrzeni elementu skończonego Vh dla triangulacji Th. Wtedy istnieją takie stałe C1,C2, że dla elementu triangulacji τj∈Th i dowolnej funkcji v∈Hm⁢τj otrzymujemy:

	v⌃Hm⁢τ⌃≤C1⁢Ajm⁢d⁢e⁢t⁢Aj-1/2⁢vHm⁢τj,
	vHm⁢τj≤C2⁢Aj-1m⁢d⁢e⁢t⁢Aj1/2⁢v⌃Hm⁢τ⌃,

gdzie v⌃⁢x⌃=v⁢Fj⁢x⌃ dla x⌃∈τ⌃.

Z gęstości funkcji gładkich w Hm możemy założyć, że v∈C∞⁢τ¯. Dowód następnie wynika ze wzoru na różniczkowanie funkcji złożonych:

∂α⁡v⌃L2⁢τ⌃≤C⁢Ajm⁢∑β=m∂β⁡v∘FjL2⁢τ⌃.

dla α=m. Z twierdzenia o podstawianiu otrzymujemy:

∂α⁡v⌃L2⁢τ⌃≤C⁢Ajm⁢d⁢e⁢t⁢Aj-1/2⁢∑β=m∂β⁡vL2⁢τ.

Sumowanie po wszystkich multiindeksach α o długości m kończy dowód.

∎

Stwierdzenie 16.3

Rozpatrzmy afiniczną rodzinę przestrzeni elementu skończonego Vh dla triangulacji Th. Wtedy dla τj∈Th zachodzi:

Aj≤diam⁢τjρ⌃,⁢Aj-1≤diam⁢τ⌃ρτj,

gdzie ρ⌃ jest średnicą okręgu wpisanego we wzorcowy element τ⌃, a ρτj jest średnicą okręgu wpisanego w element τj.

Widzimy, że

Aj=supz=1⁡Aj⁢z=ρ⌃-1⁢supz=ρ⌃⁡Aj⁢z.

Dla dowolnego z o normie ρ⌃ istnieją x⌃,y⌃∈τ⌃¯, takie, że z=x⌃-y⌃. Zatem biorąc x=Fj⁢x⌃,y=Fj⁢y⌃∈τj¯ otrzymujemy x-y=Fj⁢x⌃-Fj⁢y⌃=Aj⁢x⌃-y⌃=Aj⁢z, a stąd

Aj≤ρ⌃-1⁢x-y≤diam⁢τjρ⌃.

Drugą nierówność dowodzimy analogicznie.

∎

Jako wniosek otrzymujemy:

Wniosek 16.1

Rozpatrzmy regularną rodzinę triangulacji Th ze względu na kształt i afiniczną rodzinę przestrzeni elementu skończonego Vh dla tych triangulacji. Wtedy istnieją takie stałe C1,C2, że dla elementu τj∈Th i dowolnej funkcji v∈Hm⁢τj zachodzi

	v⌃Hm⁢τ⌃≤C⁢diam⁢τjm⁢d⁢e⁢t⁢Aj-1/2⁢vHm⁢τj,
	vHm⁢τj≤C⁢ρτj-1⁢d⁢e⁢t⁢Aj1/2⁢v⌃Hm⁢τ⌃,

gdzie v⌃⁢x⌃=v⁢Fj⁢x⌃ dla x⌃∈τ⌃.

16.3. Elementy aproksymacji w przestrzeniach Sobolewa Hk

Kolejne twierdzenie pozwala oszacować normę Hm przez półnormę:

Twierdzenie 16.4 (Lemat Deny-Lionsa)

Niech τ⊂Rd będzie elementem triangulacji i l≥0. Wtedy istnieje stała C=C⁢l,d,τ taka, że

infp∈Pl⁡v+pHl+1⁢τ≤C⁢vHl+1⁢τ.

Dowód korzysta z tak zwanej metody zwartości. Można go znaleźć np. w [7], lub [26].

Twierdzenie 16.5

Rozpatrzmy regularną rodzinę triangulacji Th ze względu na kształt i afiniczną rodzinę przestrzeni elementu skończonego Vh dla tych triangulacji. Jeśli warunki interpolacyjne dla elementu wzorcowego N⌃ są funkcjonałami liniowymi ograniczonymi na przestrzeni Hl+1⁢τ⌃ oraz Pl⊂P⌃⊂Hl+1⁢τ⌃ dla 0≤l, to operator interpolacji nodalnej πτj (por. definicję 16.5) jest poprawnie zdefiniowany oraz dla 0≤m≤l+1 zachodzi:

u-πτj⁢uHm⁢τj≤C⁢hτjl+1-m⁢uHl+1⁢τj⁢⁢∀u∈Hl+1⁢τj,

dla hτj=diam⁢τj i C zależy od m,l oraz elementu skończonego wzorcowego, i stałej w założeniu regularności ze względu na kształt.

Zauważmy, że w⌃⁢x⌃=w⁢Fj⁢x⌃=πτ⌃⁢u⌃⁢x⌃ dla x⌃∈τ⌃ i w=πτj⁢u, co wynika z afiniczności rodziny przestrzeni Vh (por. definicję 16.7).

Stąd na mocy wniosku 16.1 otrzymujemy, że

u-πτ⁢uHm⁢τ=ρτj-m⁢d⁢e⁢t⁢Aj1/2⁢u⌃-πτ⌃⁢u⌃Hm⁢τ⌃≤C⁢ρτj-m⁢d⁢e⁢t⁢Aj1/2⁢u⌃Hm⁢τ⌃+πτ⌃⁢u⌃Hm⁢τ⌃.

Z założeń twierdzenia otrzymujemy teraz:

	πτ⌃⁢u⌃Hm⁢τ⌃	≤	∑j=1kNj⁢u⌃⁢ϕ⌃jHm⁢τ⌃≤∑j=1kNjHl+1⁢τ⌃*⁢u⌃Hl+1⁢τ⌃⁢ϕ⌃jHm⁢τ⌃
		≤	C⁢u⌃Hl+1⁢τ⌃

Oczywiście πτ⌃⁢p=p dla dowolnego p∈P⌃, w szczególności dla p wielomianu z Pl.

Zatem

u-πτ⁢uHm⁢τ≤C⁢ρτj-m⁢d⁢e⁢t⁢Aj1/2⁢u⌃+pHl+1⁢τ⌃⁢⁢∀p∈Pl.

Stąd na mocy twierdzenia 16.4 otrzymujemy

u-πτ⁢uHm⁢τ

≤

C⁢ρτj-m⁢d⁢e⁢t⁢Aj1/2⁢u⌃Hl+1⁢τ⌃.

Z kolei z wniosku 16.1 otrzymujemy