Załóżmy, że rozpatrujemy zagadnienie początkowe pierwszego rzędu (zagadnienie Cauchy'ego) :

gdzie G⊂Rm, f:a,b×G→Rm jest funkcją ciągłą, a t0∈a,b,x0∈G jest ustalone.

Z ogólnej teorii równań różniczkowych, por. [23] wiadomo, że

Jeśli dodatkowo założymy, że f jest funkcją lipschitzowska na otoczeniu t0,x0 względem zmiennej x, to możemy pokazać jednoznaczności rozwiązania, tzn. zachodzi twierdzenie:

Od tej pory będziemy przyjmować, że funkcja f, zwana też polem wektorowym, spełnia założenia twierdzenia Picarda-Lindelöfa, tzn. Twierdzenia 3.2, czyli że istnieje jednoznaczne rozwiązanie zadania Cauchy'ego na odcinku t0,T.

Zauważmy, że każde rozwiązanie jest krzywą styczną do pola wektorowego.

W tym podrozdziale krótko przypomnimy teorie dla ważnej klasy równań różniczkowych zwyczajnych, tzn. jednorodnych równań liniowych ze stałymi współczynnikami, czyli równań postaci:

gdzie A - to stała macierz n⁢×⁢n, dla których znamy rozwiązania zadania Cauchy'ego:

Znamy wzór na rozwiązanie tego zadania:

gdzie eksponent od macierzy zdefiniowany jest wzorem

Skorzystamy ze znajomości postaci rozwiązania tej klasy równań w rozdziale 6.

W zależności od postaci Jordana macierzy A można wypisać postać exp⁡A⁢⁢t, w szczególności jeśli macierz A jest diagonalizowalna, tzn. istnieje baza wektorów własnych, które zapisane jako kolumny macierzy V dają:

gdzie Λ - to macierz diagonalna z wartościami własnymi macierzy A na diagonali:

Wtedy wiadomo, że

W szczególności jeśli R⁢e⁢⁢λk<0 dla wszystkich k=1,…,n to każde rozwiązanie spełnia

a z kolei jeśli istnieje λk takie, że R⁢e⁢λk>0, to istnieje rozwiązanie zagadnienia Cauchy'go z niezerowym warunkiem brzegowym, dla którego

Załóżmy, że rozpatrujemy zadanie skalarne tzn. m=1. Chcemy w jakiś sposób przybliżyć rozwiązanie równania (3.1). Przybliżamy pochodną poprzez iloraz różnicowy dla pewnego parametru h>0:

i otrzymujemy otwarty schemat Eulera:

czy inaczej:

znając rozwiązanie w punkcie t0 xh⁢t0=x0 możemy wyznaczyć przybliżone rozwiązanie xh w kolejnych punktach tn=t0+n⁢⁢h z powyższego wzoru. Ale można też przybliżyć pochodną biorąc parametr -h w tył:

i wtedy zastępując pochodną przez taki iloraz otrzymujemy zamknięty schemat Eulera:

czy inaczej:

Proszę zauważyć, że jeśli znamy rozwiązanie w punkcie t0, tzn. xh⁢t0=x0, to aby wyznaczyć kolejne przybliżenia rozwiązania w punktach t=tn=t0+n⁢h należy rozwiązać równania postaci:

względem y, co sprawia, że zamknięty schemat Eulera może wydać się mało praktyczny w porównaniu z otwartym schematem Eulera. Dla niektórych równań jest to pozorne. Zauważmy tylko, że im h mniejsze, tym potencjalnie równanie (3.3) jest łatwiejsze do rozwiązania (dlaczego?). Przyjrzymy się temu problemowi dokładniej w kolejnych rozdziałach.

W dalszej części wykładu założymy, że chcemy przybliżyć rozwiązanie x⁢t na odcinku t0,T, na którym x∈Ck⁢t0,T, w dyskretnych punktach czasu:

Często będziemy opuszczali indeks h, o ile to nie będzie powodowało niejasności. Wartość rozwiązania w punkcie tnh, czyli x⁢tn będzie przybliżana przez xnh, spełniające odpowiedni schemat. Wygodnie jest też oznaczać f⁢tnh,xnh=fnh. Górny indeks h będziemy często opuszczali, jeśli h będzie ustalone.

Tak więc otwarty schemat Eulera możemy zapisać jako:

a zamknięty schemat Eulera możemy zapisać jako:

Kolejnym wyprowadzeniem otwartego schematu Eulera (3.4) jest obcięcie rozwinięcia szeregu Taylora rozwiązania:

Zostawiamy tylko pierwsze dwa człony i otrzymujemy

czyli wstawiając xn za przybliżenie x⁢tn, a xn+1 za przybliżenie x⁢tn+h=x⁢tn+1 otrzymujemy znów otwarty schemat Eulera (3.4). Analogicznie możemy wyprowadzić zamknięty schemat Eulera (3.5) rozwijając rozwiązanie w t dla h<0.

Jeszcze innym intuicyjnym wyprowadzeniem schematu otwartego Eulera jest podążanie za polem wektorowym. Jak wiemy, wykresem rozwiązania równania różniczkowego jest krzywa styczna do zadanego pola wektorowego f⁢t,x spełniająca odpowiedni warunek początkowy. Zatem znając rozwiązanie przybliżone dla tn tzn. mając xn, możemy wyznaczyć xn+1, przybliżenie rozwiązania x⁢tn+1, biorąc poprawkę w kierunku pola wektorowego tzn.:

Czyli znów otrzymujemy otwarty schemat Eulera.

Zadajmy pytanie, czy takie schematy są wystarczająco dokładne. Czy one działają stabilnie na dłuższych odcinkach czasu, na których istnieje rozwiązanie?

Sprawdźmy, co się dzieje dla modelowego zadania:

którego rozwiązaniem jest x⁢t=ea⁢t.

Otwarty schemat Eulera daje nam ciąg:

Ustalmy t=h⁢⁢n, czyli h=t/n. Wtedy

Dla zamkniętego schematu Eulera otrzymujemy analogicznie:

czyli

Popatrzmy jak te dwa schematy działają (w praktyce) na wykresach dla a=1 i x⁢0=x0=1, por. rysunki 3.1 - 3.4 dla otwartego schematu Eulera i rysunki 3.5 - 3.8 dla zamkniętego schematu Eulera.

Zauważmy, że wykres rozwiązania ze schematu Eulera otwartego jest poniżej wykresu dokładnego rozwiązania, a dla schematu zamkniętego - powyżej, co widać lepiej na rysunku 3.9.

Popatrzmy na przypadek dwuwymiarowy. Weźmy modelowe zadanie wahadła. Dla małych prędkości możemy przyjąć, że sin⁡x≈x, stąd otrzymujemy równanie liniowe ze stałymi współczynnikami (zlinearyzowane równanie wahadła):

gdzie x to prędkość kątowa, a a=g/l>0 dla g wartości przyspieszenia ziemskiego i l długości wahadła.

Zapisując to równanie jako układ dwóch równań pierwszego rzędu otrzymujemy:

Przyjmijmy, że a=1.

Znamy rozwiązania:

czyli trajektorie rozwiązania zawarte są w okręgach.

A teraz zastosujmy otwarty schemat Eulera do tego równania z warunkiem początkowym x⁢0,y⁢0T=0,1T, którego rozwiązaniem jest x⁢t=sin⁡t z y⁢t=cos⁡t:

dla ustalonego h>0 i T=N⁢⁢h.

Zatem: xn≈x⁢tn=sin⁡n⁢⁢h, a yn≈y⁢tn=cos⁡n⁢⁢h z x0=0 i y0=1

Dla zamkniętego schematu Eulera jest analogicznie:

czy równoważnie

czyli w każdym kroku dla ustalonego n musimy rozwiązać układ dwóch równań liniowych.

Popatrzmy teraz na rysunki 3.10 - 3.12.

Widać, że mimo małego kroku rzędu (h=1⁢e-2) wyniki są wyraźnie gorsze niż w przypadku skalarnym, mimo że wyjściowe równanie różniczkowe jest liniowe.

Rozważmy wyjściowe równanie wahadła, por. Przykład 2.5. Znów przyjmijmy, że g=l i warunek początkowy x⁢0=0 i y⁢0=1. Wtedy schematy Eulera przybierają odpowiednio formę:

schemat otwarty Eulera:

z x0=x⁢0=0 i y0=y⁢0=1. Znając xn,yn otrzymujemy natychmiast wzór na xn+1,yn+1.

W przypadku schematu zamkniętego Eulera:

z x0=x⁢0=0 i y0=y⁢0=1, musimy w każdym kroku rozwiązać układ równań nieliniowych:

Im h jest bliższe zera, tym układ jest łatwiejszy do rozwiązania.

Można pokazać, że rozwiązanie wyjściowego równania ma trajektorie okresowe, co potwierdza wykres na rysunku 3.15 (tu wyliczony przy pomocy dużo dokładniejszego schematu niż schematy Eulera). W kolejnych rysunkach 3.10- 3.13 - prezentujemy przybliżone rozwiązania dla nieliniowego równania wahadła, otrzymane przy pomocy obu schematów Eulera.