Teoria zbieżności schematów jednokrokowych jest teorią odrębną od teorii dla schematów wielokrokowych liniowych.

Okaże się, że kluczowym pojęciem jest tu zgodność schematu jednokrokowego - inaczej konsystentność, którą definiujemy następująco:

W szczególności zbieżność z rzędem p oznacza dla ustalonego t∈t0,T i n*h=t, że

Teoria zbieżności dla schematów wielokrokowych liniowych różni się od teorii zbieżności dla schematów jednokrokowych. Precyzyjniej pisząc - używamy tak samo jak w przypadku schematów jednokrokowych pojęcie rzędu schematu, ale równie ważne jest pojęcie stabilności schematu. Używając nieformalnego języka - stabilność schematu oznacza to, że błędy z poprzednich kroków się nie kumulują, a wręcz zanikają.

W tym miejscu warto zwrócić uwagę, jak w praktycznych obliczeniach implementować schematy liniowe wielokrokowe. Aby przy pomocy danego schematu k-krokowego rzędu p obliczyć xn+k, należy znać poprzednie k przybliżenia xn+k-1,…,xn. Czyli aby wystartować schemat musimy znaleźć odpowiednio dobre (tzn. takie, że Ej=O⁢hp, por. Twierdzenie 5.2) startowe przybliżenia x0,x1,…,xk-1. Wartość x0 jest zadana jako warunek początkowy, tzn. możemy przyjąć dany warunek początkowy x0=x⁢t0. Natomiast musimy wyliczyć x1,…,xk-1. W praktyce do wyliczenia tych wartości możemy np. zastosować k-1 razy schemat jednokrokowy tego rzędu co najmniej p.

Dla schematu Adamsa-Bashfortha dwukrokowego rzędu dwa za x1 możemy przyjąć x1 obliczone jednym krokiem schematu Heuna. Tu warto zauważyć że musimy zastosować tylko jeden krok schematu Heuna. Uwzględniając to widzimy, że x1 można by też obliczyć stosując dowolny schemat jednokrokowy rzędu jeden np. otwarty schemat Eulera. Ogólniej do obliczenia startowych wartości x1,…,xk-1 dla schematu k-krokowego rzędu p można zastosować schemat jednokrokowy rzędu p-1 lub większego.

Rząd zbieżności schematu dla czasu t można badać eksperymentalnie dla ustalonego zagadnienia początkowego d⁢xd⁢t=f⁢t,x z warunkiem początkowym x⁢0=x0 i ze znanym rozwiązaniem x⁢t określonym na odcinku t0,T . Możemy wtedy przy pomocy naszego schematu, np. schematu Heuna, zmodyfikowanego schematu Eulera i otwartego schematu Eulera obliczać przybliżone wartości xnh dla ustalonego t=tnh=t0+n*h, z połowionym krokiem h: h0,h0/2,…,2-k⁢h0 dla ustalonego h0. Będziemy badać jak zmienia się błąd w kolejnych krokach, a dokładniej, jak zmienia się stosunek błędów dla kolejnych połowionych h.

Jeśli błąd dla ustalonego t zachowywałby się jak O⁢hp, a dokładniej, gdyby en=xnh-x⁢t=c*hp+O⁢hp, to stosunek błędu powinien się zachowywać jak:

dla dostatecznie małych h, czyli dla schematów Heuna i zmodyfikowanego schematu Eulera jak cztery, a dla otwartego schematu Eulera jak dwa, a dla schematu rzędu cztery jak 24 - czyli szesnaście.

W tabeli 5.1 widzimy wyniki eksperymentu dla t=1 dla schematów: otwartego schematu Eulera, Heuna i zmodyfikowanego schematu Eulera zastosowanych do zagadnienia początkowego d⁢xd⁢t=cos(x)2 z x⁢0=0 , którego rozwiązaniem jest arctan⁢x, czyli x⁢1=arctan⁢1.

W tabeli 5.2 przedstawiliśmy wyniki tego samego eksperymentu, ale dla schematu Rungego-Kutty rzędu cztery dla zadania początkowego d⁢xd⁢t=x z x⁢0=1 i dla t=10, czyli z rozwiązaniem x⁢10=exp⁡10. Skoro schemat jest rzędu cztery, możemy oczekiwać, że błąd będzie jak O⁢h4 dla ustalonego t.

Wyniki uzyskane w tabeli 5.2 potwierdzają nasze przypuszczenie. Dla kroku o połowę mniejszego błąd maleje około 24=16 razy dla dostatecznie małych h (im h mniejsze, tym ten stosunek bliższy jest szesnastu). Przy okazji zauważmy, jak ogromna jest różnica w błędzie dla schematu rzędu cztery (Rungego-Kutty), a dla schematu Heuna rzędu dwa. W przypadku tego ostatniego - błąd bezwzględny dla h=2*10-3 jest rzędu 1/10, a dla tego pierwszego błąd jest rzędu 10-8. Z kolei patrząc na błędy względne, w przypadku schematu Heuna błąd jest na poziomie 10-5, a dla schematu Rungego 10-12, czyli poziom błędu w arytmetyce podwójnej precyzji praktycznie jest wystarczająco dokładny.

Błędem bezwzględnym nazywamy en, a względnym en/x⁢tn. W przypadku gdy x⁢tn jest bardzo duże lub bardzo małe należy rozpatrywać błąd względny choćby z powodu własności arytmetyki zmiennopozycyjnej.