W tym podrozdziale opiszemy ogólną teorię zbieżności schematów różnicowych. Ograniczymy się do szczegółowego omówienia przypadku schematów liniowych, tzn. aproksymacji równań różniczkowych liniowych.

Teoria ta potrzebna jest zarówno do badania zbieżności schematów różnicowych dla równań eliptycznych, jak i dla schematów dla innych typów równań, np. równań parabolicznych.

Załóżmy, że rozpatrujemy następujące zadanie różniczkowe: chcemy znaleźć u funkcję określoną na obszarze Ω¯ taką, że spełnia równanie różniczkowe z warunkami brzegowymi:

gdzie f,gk - to dane funkcje, L - to operator różniczkowy liniowy, lk - to odpowiedni operator różniczkowy brzegowy liniowy określony na Γk dla Γk⊂∂⁡Ω.

Będziemy zakładać, że powyższe zadanie jest poprawnie postawione, tzn. że ma jednoznaczne rozwiązanie u∈U dla U przestrzeni liniowej funkcji określonych na Ω¯ z normą ∥⋅∥U. Zakładamy też, że

dla F przestrzeni funkcji określonych na Ω, a

dla Φk przestrzeni funkcji określonych na Γk. Wyjściowe zadanie różniczkowe możemy zapisać w postaci operatorowej jako: znaleźć u∈U takie, że

Zdefiniujmy Ω¯h jako siatkę, tzn. zbiór punktów izolowanych, węzłów należących do Ω¯ z parametrem h.

Zakładamy, że istnieje rodzina siatek Ω¯hh, czyli rodzina zbiorów punktów izolowanych należących do Ω¯ indeksowanych parametrem h, należącym do pewnego zbioru ω⊂0,h0⊂R+ takim, że 0∈ω¯ (tzn. że istnieje podciąg siatek Ωhk taki, że hk→0).

W praktyce najczęściej stosuje się siatki równomierne, tzn. podzbiory a+h*Zd dla ustalonego punktu a∈Rd. Ewentualnie stosuje się siatki o jednolitych krokach w danym kierunku w Rd.

Siatkę Ω¯h przedstawiamy w postaci Ω¯h=Ωh∪∂⁡Ωh, gdzie Ωh będziemy nazywać zbiorem punktów siatkowych wewnętrznych (zazwyczaj zawartych w Ω), a ∂⁡Ωh - zbiorem punktów siatkowych brzegowych (zawartych albo leżących w pobliżu ∂⁡Ω). W zbiorze ∂⁡Ωh punktów brzegowych możemy dalej wyróżniać podzbiory Γk,h. Zakładamy, że rodzina siatek Ω¯hh jest gęsta w sensie następującej definicji:

Proszę zauważyć, że rodzina siatek zdefiniowana w Rozdziale 7.1 jest w sposób oczywisty gęsta dla a,b.

Wprowadzamy teraz rodzinę zadań przybliżonych (schematów różnicowych), które dają się zapisać w następujący sposób: chcemy znaleźć funkcję uh określoną na Ω¯h taką, że

czy inaczej - operatorowo

Zakładamy, że Lh:Uh→Fh i lk,h:Uh→Φk,h dla k=1,…,s, gdzie:

1. Uh jest przestrzenią liniową unormowaną funkcji określonych na Ω¯h z normą ∥⋅∥Uh,

2. Fh jest przestrzenią liniową unormowaną funkcji określonych na Ωh z normą ∥⋅∥Fh,

3. Φk,h jest przestrzenią liniową unormowaną funkcji określonych na Γk,h z normą ∥⋅∥Φk,h.

Zazwyczaj wszystkie rozpatrywane przestrzenie są zupełne, tzn. są przestrzeniami Banacha. W przypadku gdy Ω jest ograniczony, są one też przestrzeniami skończenie wymiarowymi. Jeśli Lh i wszystkie lk,h są operatorami liniowymi, to mówimy, że rozpatrujemy zadanie przybliżone (dyskretne) liniowe, czy schemat różnicowy liniowy. W przeciwnym razie - gdy choć jeden z operatorów jest nieliniowy, to mamy do czynienia z zadaniem przybliżonym nieliniowym, czy schematem różnicowym nieliniowym.

Proszę zauważyć, że rozpatrujemy rodzinę zadań przybliżonych, parametryzowanych przez h. Tak, jak w przykładzie w Rozdziale 7.1, aby mówić o zbieżności rozwiązania zadania dyskretnego uh∈Uh do u∈U musimy mieć możliwość porównania obu funkcji. Dlatego zakładamy, że istnieje rodzina operatorów obcięcia (ang. restriction) rhU:U→Uh, które są liniowe i ograniczone jednostajnie (ang.uniformly bounded) względem h, tzn. ∃K>0⁢⁢∀h∈ω⁢⁢∀u∈U

Operator obcięcia pozwala porównywać rozwiązania w normie przestrzeni dyskretnej, ale możemy porównywać je również w normie przestrzeni U. W tym celu musimy wprowadzić rodzinę operatorów liniowych przedłużenia phU:Uh→U. Najczęściej za operatory przedłużenia bierze się odpowiednie operatory interpolacji.

W teorii zbieżności metod różnicowych najczęściej nie stosuje się operatorów przedłużenia, a za to wprowadza się warunek zgodności norm:

Od tej pory będziemy zakładali zgodność norm dyskretnych z normą w U, według powyższej definicji.

Wielkość rhU⁢u-uhUh będziemy nazywać błędem dyskretnym dla zadania przybliżonego (ang. dicrete error).

Kolejnym krokiem jest wprowadzenie pojęcia aproksymacji zadania ciągłego (wyjściowego zadania różniczkowego) przez zadanie dyskretne.

Drugim ważnym pojęciem jest stabilność zadania dyskretnego. Tu podamy definicje stabilności dla schematu liniowego:

Proszę zauważyć, że stabilność zadania przybliżonego jest samoistną cechą związaną tylko z definicją samego zadania dyskretnego- ona nie zależy w żaden sposób od rozwiązania równania różniczkowego. Dodatkowo warto też zauważyć, że jeśli Uh jest przestrzenią skończenie wymiarową, istnieje rozwiązanie (8.5)-(8.6) i spełniony jest warunek (2) z definicji 8.5, to wtedy to rozwiązanie jest jednoznaczne.

Sformułujemy teraz następujące twierdzenie o zbieżności zadania przybliżonego:

Z powyższego twierdzenia otrzymujemy od razu następujący wniosek:

Powyższe twierdzenie można krótko podsumować, że aby otrzymać schemat zbieżny z rzędem p musi być on stabilny i posiadać rząd aproksymacji p.

Proszę zauważyć, że twierdzenie jest bardzo ogólne, a dowód jest prosty. Pojawia się pytanie: jak dobrać odpowiednie przestrzenie i operatory, aby zadania przybliżone (schematy) były stabilne i miały możliwie wysoki rząd aproksymacji.