Zagadnienia

9.1 Różnicowa zasada maksimum
9.2 Zadania

9. Metoda różnic skończonych - stabilność schematów dla zadań eliptycznych w normie maksimum

W tym rozdziale zajmiemy się przedstawieniem metod badania stabilności schematów różnicowych dla zadań liniowych w dyskretnej normie maksimum.

Będziemy badali stabilność schematu zapisanego w formie (8.5)-(8.6). Dla x∈Ωh możemy zapisać (8.5) jako:

Lhu(x)≡=∑y∈Nh⁢xA(x,y)uh(y)=fh(x),

(9.1)

gdzie Nh⁢x jest podzbiorem Ω¯h punktów, dla których A⁢x,y≠0, czyli uwzględnionych w równaniu dla tego x.

Jeśli x∈Γk,h, to dla (8.6) zachodzi:

lk,h⁢u⁢x≡∑y∈Nh⁢xA⁢x,y⁢uh⁢y=gk,h⁢x,

gdzie Nh⁢x jest zdefiniowane analogicznie jak poprzednio. Nh⁢x jest zdefiniowane jednoznacznie.

Nh⁢x nazywamy otoczeniem siatkowym punktu x. Wprowadzimy również otoczenie siatkowe nakłute: Nh′⁢x=Nh⁢x∖x. Oczywiście Nh⁢x może być jednopunktowe, wtedy Nh′⁢x jest zbiorem pustym.

Zapiszmy schemat (8.5)-(8.6) jako:

Lh⁢uh⁢x≡∑y∈Nh⁢xA⁢x,y⁢uh⁢y=ψh⁢x⁢⁢x∈Ω¯h,

(9.2)

gdzie

ψh⁢x=⁡fh⁢xx∈Ωhgk,h⁢xx∈Γk,h⁢⁢s=1,…,s.⁢

Wtedy zachodzi następujące twierdzenie, pozwalające na wykazanie stabilności niektórych schematów w normie dyskretnej maksimum:

Twierdzenie 9.1

Niech Lh dla (8.5)-(8.6) będzie w formie (9.2). Załóżmy, że dla pewnej stałej α>0 i dla h≤h0:

A⁢x,x-∑y∈Nh′⁢xA⁢x,y≥α⁢⁢∀x∈Ω¯h.

Wtedy

uh∞,h≤1α⁢max⁡fh∞,h,Ωh+∑k=1sgk,h∞,h,Γk,h.

Widzimy, że uh∞,h=maxx∈Ω¯h⁡uh⁢x=uh⁢x0 dla pewnego x0∈Ω¯h.

Rozpatrzmy równanie ze schematu dla tego punktu:

ψh⁢x0	=	∑y∈Nh⁢x0A⁢x0,y⁢uh⁢y
	≥	A⁢x0,x0⁢uh⁢x0-∑y∈Nh′⁢x0A⁢x0,y⁢uh⁢y
	≥	A⁢x0,x0⁢uh⁢x0-∑y∈Nh′⁢x0A⁢x0,y⁢uh⁢x0
	=	A⁢x0,x0-∑y∈Nh′⁢x0A⁢x0,y⁢uh⁢x0≥α⁢uh⁢x0,

czyli

uh∞,h=uh⁢x0≤1α⁢maxx∈Ω¯h⁡ψh⁢x.

∎

Jak widzimy, jest to proste kryterium. Sprawdźmy je na naszym modelowym zadaniu (7.5)-(7.6):

Przykład 9.1

Dla zadania (7.5)-(7.6) otrzymujemy następujący układ:

	-1h2⁢u⁢xk-1+2h2+c⁢u⁢xk-1h2⁢u⁢xk+1	=	f⁢xk⁢⁢k=1,…,N-1
	u⁢xk	=	g⁢xk⁢⁢k=0,N.

dla xk=a+k*h.

Zatem Nh⁢xk=xk-1,xk,xk+1 dla k=1,…,N-1 i Nh⁢x=xk dla xk∈a,b, tzn. dla k=0,N. Sprawdzamy założenie twierdzenia:

A⁢xk,xk-∑y∈Nh⁢xk∖xkA⁢xk,y=⁡ck=1,…,N-11k=0,N.⁢

Zatem α=min⁡1,c i z naszego kryterium, tzn. z twierdzenia 9.1, otrzymujemy stabilność zadania przybliżonego w normie dyskretnej supremum tylko w przypadku c>0 ze stałą 1α=max⁡1,1c.

Powyższe oszacowanie sugeruje, że jeśli c=0, to schemat może nie być stabilny w dyskretnej normie maksimum. Okaże się, że istnieją jednak inne kryteria badania stabilności, które są bardziej precyzyjne. Przedstawimy je poniżej.

9.1. Różnicowa zasada maksimum

Jak wiadomo, por. np. rozdział 6.4 w [11], dla równania eliptycznego spełnionych jest szereg zasad maksimum. Okaże się, że odpowiednio skonstruowane schematy różnicowe, czyli problemy przybliżone (różnicowe), spełniają analogiczne różnicowe zasady maksimum. Korzystając z tych zasad będziemy mogli wykazać stabilność tychże schematów.

Załóżmy, że operator Lh określony na Ω¯h jest w formie (9.2).

Definicja 9.1

Operator Lh w postaci (9.2) będziemy nazywać operatorem dodatniego typu (ang. positive operator) w Ω¯h, jeśli dla dowolnego x∈Ω¯h

A⁢x,x>0,
A⁢x,y<0⁢⁢∀y∈Nh′⁢x ,
∑y∈Nh⁢xA⁢x,y≥0.

Dodatkowo dla operatora typu dodatniego przedstawiamy siatkę Ωh jako dwa rozłączne zbiory Ω¯h=∑k=1,2Ωh1∪Ωh2 zdefiniowane jako:

Ωh1=x∈Ω¯h:∑y∈Nh⁢xA⁢x,y=0

Ωh2=Ω¯h∖Ωh1=x∈Ω¯h:∑y∈Nh⁢xA⁢x,y>0.

Wprowadzamy jeszcze jedną definicję:

Definicja 9.2

Załóżmy, że Lh w postaci (9.2) jest operatorem dodatniego typu w Ω¯h, dla którego zachodzi warunek: Ωh2≠∅ i Ω¯h jest zbiorem skończonym. Wtedy powiemy, że Ω¯h spełnia warunek spójności siatki (ang. mesh connectivity condition, mesh is connected), jeśli dla dowolnego x∈Ωh1 istnieje ciąg elementów siatki xii=1N⊂Ωh1 i y∈Ωh2 taki, że x1=x, i xi+1∈Nh⁢xi dla i=1,…,N-1 i y∈Nh⁢xN.

Wtedy zachodzi następująca różnicowa zasada maksimum:

Twierdzenie 9.2 (Różnicowa zasada maksimum - ang. finite difference maximum principle)

Załóżmy, że Lh w postaci (9.2) jest operatorem dodatniego typu w Ω¯h, i że Ω¯h jest zbiorem skończonym spełniającym warunek spójności siatki. Wtedy, jeśli

Lh⁢uh⁢x≥0⁢⁢∀x∈Ω¯h,

uh⁢x≥0⁢⁢∀x∈Ω¯h.

Dowód można znaleźć w Rozdziale 10 w [10].

Wniosek 9.1

Załóżmy, że spełnione są założenia twierdzenia 9.2. Wtedy zadanie (9.2) ma jednoznaczne rozwiązanie.

Załóżmy, że zadanie (9.2) ma dwa różne rozwiązania uk dla k=1,2. Wtedy z twierdzenia 9.2 wynika, że Lh⁢u1-u2=0 zatem u1-u2≥0 ale i u2-u1≥0, czyli u1=u2. Z kolei zauważmy, że (9.2) jest układem równań liniowych, więc jednoznaczność rozwiązania z prawą stroną równą zero jest równoważna istnieniu rozwiązania dla dowolnego ψh.

∎

Jako kolejny wniosek z różnicowej zasady maksimum otrzymujemy następujące kryterium porównawcze:

Twierdzenie 9.3

Załóżmy, że spełnione są założenia twierdzenia 9.2 oraz niech

Lh⁢uh⁢x=fh⁢x⁢⁢Lh⁢vh⁢x=gh⁢x⁢⁢x∈Ω¯h.

Wtedy, jeśli

fh⁢x≤gh⁢x⁢⁢x∈Ω¯h,

uh⁢x≤vh⁢x⁢⁢x∈Ω¯h.

Niech zh=uh-vh, a wh=uh+vh. Stąd

Lh⁢-zh⁢x=-fh⁢x+gh⁢x≥0,⁢Lh⁢wh⁢x=fh⁢x+gh⁢x≥0⁢⁢x∈Ω¯h.

Zatem z twierdzenia 9.2 otrzymujemy:

zh⁢x≤0,⁢wh⁢x≥0⁢⁢x∈Ω¯h,

a stąd otrzymujemy uh⁢x≤vh⁢x dla x∈Ω¯h.

∎

Z ostatniego twierdzenia otrzymujemy następujące kryterium badania stabilności w dyskretnej normie maksimum:

Twierdzenie 9.4 (kryterium stabilności z różnicowej zasady maksimum)

Załóżmy, że spełnione są założenia twierdzenia 9.2

oraz, że istnieje nieujemna funkcja vh określona na Ω¯h taka,że

0≤vh≤M,⁢Lh⁢vh≥1.

Wtedy uh - rozwiązanie (9.2) z prawą stroną ψh, spełnia:

uh∞,h=maxx∈Ω¯h⁡uh⁢x≤M⁢ψh∞,h.

Dla prostoty załóżmy, że ψh∞,h=1 (Lh jest liniowe, więc zawsze możemy przeskalować uh i ψh przez stałą różną od zera). Wtedy

Lh⁢uh⁢x=ψh⁢x≤1≤Lh⁢vh⁢⁢x∈Ω¯h,

zatem z twierdzenia 9.3 otrzymujemy:

uh⁢x≤vh⁢x≤M=M⁢ψh∞,h⁢⁢x∈Ω¯h.

∎

Przykład 9.2

Powróćmy do dyskretyzacji naszego modelowego zadania, tzn. do (7.5)-(7.6). Pozostawiamy jako proste zadanie sprawdzenie, że operator Lh w tym przypadku jest operatorem dodatniego typu, i że siatka spełnia warunek spójności.

Aby pokazać oszacowanie stabilności korzystając z naszego kryterium należy znaleźć funkcję nieujemną ψ określoną na Ω¯, czyli w szczególności na każdej siatce ograniczonej, taką że

Lh⁢ψ≥1.

Na brzegu widzimy, że Lh⁢ψ⁢x=ψ⁢x dla x∈a,b, więc wystarczy przyjąć ψ takie, że ψ≥1 na brzegu Ω.

Najprościej będzie znaleźć funkcję ψ taką, że L⁢ψ=-d2⁢ψd⁢x2≥2. Następnie, korzystając z tego, że rząd aproksymacji zadania przybliżonego jest dwa w każdym punkcie siatki, tzn.

L⁢ψ-Lh⁢rh⁢ψ⁢x=L⁢ψ-Lh⁢rh⁢ψ⁢x=O⁢h2⁢⁢x∈Ωh,

możemy wywnioskować, że istnieje stała h0 taka, że dla h≤h0 funkcja

ψh⁢x=ψ⁢x=rh⁢ψ⁢x⁢⁢x∈Ω¯h

spełnia Lh⁢ψh≥1.

W naszym przypadku np. dla c≥0 wystarczy zdefiniować:

ψ⁢x=1+b-a2+x-a*x-b.

Wtedy 0≤ψ≤1+b-a2+b-a24=M i -d2⁢ψd⁢x2+c*ψ≥-d2⁢ψd⁢x2=2. Zatem z naszego kryterium otrzymujemy dla h≤h0, że

uh∞,h≤1+b-a2+b-a24⁢max⁡g⁢a,g⁢b,fh∞,Ωh,h,

czyli stabilność w dyskretnej normie maksimum.

Proszę zauważyć, że stała w oszacowaniu nie zależy od stałej c, za to - inaczej niż w przypadku poprzedniego prostszego kryterium, zależy od długości odcinka a,b.

Jeśli rozwiązanie (7.1) jest w C4⁢a,b, to otrzymujemy, że:

Lh⁢rh⁢u-L⁢u∞,h,Ωh=O⁢h2

dla Lh z (8.7), a warunki brzegowe spełnione są dokładnie. Zatem, korzystając z twierdzenia 8.1, otrzymujemy:

rh⁢u-uh∞,h=O⁢h2.

9.2. Zadania

Ćwiczenie 9.1

Zbadaj stabilność schematu (8.10) dyskretyzacji modelowego problemu dwuwymiarowego w dyskretnej normie maksimum dla c>0.

Ćwiczenie 9.2

Sprawdź, czy operator z (8.10) jest dodatniego typu i zbadaj stabilność schematu (8.10) dyskretyzacji modelowego problemu dwuwymiarowego w dyskretnej normie maksimum dla c=0 korzystając z różnicowej zasady maksimum.

Ćwiczenie 9.3

Rozpatrzmy problem -d⁢ud⁢t⁢t+c⁢u⁢t=f⁢t dla t∈0,1 i f gładkiej funkcji z warunkiem brzegowym Neumanna d⁢ud⁢t⁢s=0 dla s∈0,1 oraz schemat różnicowy na siatce jednorodnej Ω¯h=xkk=0N dla xk=k*h:

-∂¯⁢∂h⁡uh⁢xk+c⁢uh⁢xk=f⁢xk⁢⁢k=1,…,N-1

z ∂h⁡uh⁢x0=∂¯h⁢uh⁢xN=0. Czy to zadania wyjściowe oraz zadanie dyskretne mają jednoznaczne rozwiązanie dla c>0?

Zbadaj rząd tego schematu oraz stabilność w dyskretnej normie maksimum dla stałej c>0. Podaj oszacowanie błędu dyskretnego w dyskretnej normie maksimum w terminach O⁢hp.

Ćwiczenie 9.4

Zbadaj rząd i stabilność w normie maksimum schematu skonstruowanego analogicznie jak schemat (8.10) dyskretyzacji modelowego problemu dwuwymiarowego: -△⁢u+c*u=f w Ω=0,12 z zerowym warunkiem Dirichleta na brzegu kwadratu oprócz krawędzi Γ1=0×0,1, gdzie jest postawiony zerowy warunek brzegowy Neumanna tzn. u⁢s=0 dla s∈∂⁡Ω∖Γ1 i ∂⁡u∂⁡n⁢0,s=-∂⁡u∂⁡x⁢0,s=0 na Γ1.

Warunek brzegowy na Γ1 przybliżamy w schemacie różnicowym przez odpowiednią różnicę skończoną wprzód, tzn. przez ∂1⁡uh⁢0,k*h dla k=1,…,N-1 z h=1N.

Ćwiczenie 9.5

Zbadaj stabilność w dyskretnej normie maksimum schematu z ćwiczenia 8.6.

Ćwiczenie 9.6

Zbadaj stabilność w dyskretnej normie maksimum schematu z ćwiczenia 8.9.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych