Zagadnienia

10. Metoda różnic skończonych - stabilność schematów dla zadań eliptycznych w normach energetycznych

Materiał w poniższym rozdziale jest materiałem dodatkowym, tzn. nie wchodzi w zakres materiału przedstawianego na wykładzie.

10.1. Wprowadzenie - stabilność dla modelowego zadania

W tym rozdziale przedstawimy krótki zarys innej metody badania stabilności zadań przybliżonych otrzymanych za pomocą metody różnic skończonych, tym razem, w dyskretnej normie Lh2. Jest to metoda analogiczna do metody badania stabilności zadań różniczkowych w równaniach fizyki matematycznej, por. [11].

Przedstawimy tę metodę teraz dla naszej modelowej dyskretyzacji (7.5) z jednorodnymi warunkami brzegowymi:

-¯uhx+cuhx=fxxΩh, (10.1)
ux=0xΩh.

W przypadku niejednorodnych warunków brzegowych dla c=0, zamiana zmiennych: vt=ut+ga+gb-gab-at-a dla u rozwiązania zadania z zerowymi warunkami brzegowymi daje v - rozwiązanie (7.5).

Proszę zauważyć, że dla tego zadania dyskretnego zachodzi też stabilność w dyskretnej normie maksimum, por. rozdział 9.

Przyjmujemy oznaczenie Ω¯h=xk=a+k*h:k=0,,N. Wprowadzamy do przestrzeni Lh2Ω¯h wszystkich funkcji określonych na siatce Ω¯h następujący iloczyn skalarny:

u,vh=hxΩ¯huxvx=hk=0Nukvk

będący dyskretnym odpowiednikiem iloczynu skalarnego typu L2Ω. Tutaj uk=uxk. Wprowadzamy dodatkowo oznaczenia:

u,vh=hk=0N-1ukvk,u,vh=hk=1Nukvk,u,vh=hk=1N-1ukvk.

Potrzebujemy następujących odpowiedników różnicowych wzorów na całkowanie przez części nazywanych: różnicowymi wzorami na sumowanie przez części (ang. finite difference summing by parts formulas):

h*k=1N-1ukvh=-h*k=1Nuk¯vk+uN+1vN+1-u1v0
h*k=1N-1¯ukvk=-h*k=0N-1ukvh+uNvN+1-u0v0.

Tutaj ¯uk=¯uxk=h-1uk-uk-1 i uk=uxk=h-1uk+1-uk. Dowód tych wzorów pozostawiamy jako proste zadanie, por. ćwiczenie 10.1. Możemy je przedstawić z wykorzystaniem naszej notacji:

u,vh=-u,¯vh+uN+1vN+1-u1v0,¯u,vh=-¯u,vh+uNvN+1-u0v0. (10.2)

Zauważmy, że ¯uk=¯uk dla k=1,,N-1 zatem z powyższych wzorów dla u widzimy, że dla u0=uN=0:

-¯u,uh=-¯u,uh=u,uh=¯u,¯uh. (10.3)

Prawdziwy jest również dyskretny odpowiednik nierówności Friedrichsa:

Twierdzenie 10.1 (różnicowa nierówność Friedrichsa)

Dla uLh2Ω¯h takiej, że u0=uN=0 prawdziwa jest nierówność

u0,h2b-a2u,uh=b-a2¯u,¯uh.

Dowód pozostawiamy jako zadanie, por. ćwiczenie 10.1.

Weźmy -¯uk dla uh rozwiązania (10.1), przemnóżmy przez h*uk i zsumujmy po k=1,,N-1. Wtedy, korzystając z wzorów na sumowanie przez części (10.2), otrzymujemy

-¯uh,uhh+cuh,uhh=¯uh,¯uhh+cuh,uhh=fh,uhh.

Możemy skorzystać z różnicowej nierówności Friedrichsa, por. twierdzenie 10.1:

uh0,h2b-a2¯uh,¯uhhb-a2fh,uhhb-a2fh0,h,Ωhuh0,h,

a stąd otrzymujemy oszacowanie:

uh0,hb-afh0,h,Ωh.

W przypadku c>0 otrzymujemy oszacowanie bez użycia nierówności Friedrichsa:

uh0,hc-1fh0,h,Ωh.

Uzyskaliśmy stabilność w dyskretnej normie Lh2, z której wynika też istnienie jednoznacznego rozwiązania równego zero dla fh=0. Stąd wynika istnienie jednoznacznego rozwiązania.

Weźmy rhuLh2Ω¯h zdefiniowane jako rhux=ux dla xΩ¯h. Takie obcięcie jest zdefiniowane poprawnie dla dowolnej funkcji ciągłej. Zauważmy, że zbiór funkcji ciągłych na Ω¯ jest gęsty w L2a,b. Dodatkowo

rhu0,huL2a,bh0

dla dowolnej funkcji ciągłej na a,b oraz jeśli rozwiązanie (7.5) jest w C4a,b, to

Lhrhu-Lu0,h=Oh2.

Korzystając z twierdzenia 8.1 otrzymujemy:

rhu-uh0,h=Oh2. (10.4)

Ten przykład jest prosty, ale w ten sam sposób można badać bardziej skomplikowane schematy różnicowe dla zadań postawionych w obszarach w dwóch czy więcej wymiarach.

10.2. Stabilności w normach energetycznych

Przedstawimy teraz ogólną teorię stabilności w dyskretnych normach energetycznych. Dyskretne normy energetyczne są analogiczne do tzw. norm energetycznych, w których bada się stabilność rozwiązań wyjściowych zadań różniczkowych z wykorzystaniem teorii równań fizyki matematycznej.

Zakładamy, że rozpatrujemy rodzinę skończenie wymiarowych przestrzeni Hilberta Hh z iloczynem skalarnym (,)h oraz operator Ah:HhHh. Interesuje nas zadanie dyskretne:

Ahuh=fh. (10.5)

Powiemy, że operator liniowy A:HhHh jest samosprzężony w Hh, jeśli A=A* dla A*:HhHh zdefiniowanego jako

A*u,vh=u,Avhu,vHh.

Powiemy, że A jest dodatnio określony (nieujemnie określony), jeśli

(Au,u)h>0((Au,v)h0)uHh,u0.

Nierówność operatorową A>B (AB) definiujemy jako A-B>0 (A-B0). Zauważmy, że jeśli A=A*>0 to u,vA=Au,vh jest poprawnie zdefiniowanym iloczynem skalarnym, który nazywamy iloczynem skalarnym energetycznym dla operatora A. Oznaczmy uA=u,uA1/2 jako normę energetyczną dla A. Zauważmy, że A-1 też jest samosprzężony dodatnio określonym operatorem. Stabilność w odpowiednich normach dyskretnych typu L2, czy normach energetycznych pozwala nam badać następujące twierdzenie:

Twierdzenie 10.2

Niech A:HhHh będzie liniowym operatorem w przestrzeni Hilberta skończenie wymiarowej Hh. Wtedy, dla uh rozwiązania (10.5) zachodzi:

  • jeśli Aα1I, to

    uhα1-1fh,
  • jeśli A=A*α2I, to

    uAα2-1/2fh,
  • jeśli Aα3B dla B=B*>0, to

    uBα3-1fB-1,

gdzie αk dla k=1,2,3 są stałymi dodatnimi.

Dowód pozostawiamy jako zadanie, por. twierdzenia 10.10 w [10].

Przykład 10.1

Zastosujmy powyższe twierdzenia do badania stabilności w przestrzeni Hilberta Lh2Ωh funkcji określonych na Ωh=xkk=1,,N-1 dla xk=a+k*h z iloczynem skalarnym u,vh=k=1N-1ukvk dyskretyzacji (10.1). Bierzemy, jak powyżej, uk=uxk dla uLh2Ωh przy czym przyjmujemy, że u0=uN=0.

Pokażemy, że nasz powyższy dowód stabilności bazował na tym, że odpowiedni operator różnicowy jest dodatnio określony w tej przestrzeni.

Definiujemy Ah,Bh:Lh2ΩhLh2Ωh jako

Bhux=-¯uxxΩh,
Ahux=-¯ux+cuxxΩh.

Wtedy, przyjmując że u0=uN=v0=vN=0, otrzymujemy jak powyżej (por. wzory na sumowanie przez części (10.2)):

Bhu,vh=u,vh=u,Bhvh,

a następnie, z różnicowej nierówności Friedrichsa, por. twierdzenie 10.1, dla u0 widzimy, że

Bhu,uh=u,uh1b-a2u,uh>0,

czyli Bh1b-a2I. A z kolei Ah=Bh+c*Ic+1b-a2*I, czyli jest to operator dodatnio określony i samosprzężony i zachodzi AhBh. Zatem, z pierwszego podpunktu twierdzenia 10.2 otrzymujemy:

uhhc+1b-a2-1fhh,

a z drugiego i trzeciego - odpowiednio:

uhAhc+1b-a2-1/2fhh,
uhBhfhBh-1.
Przykład 10.2

Rozpatrzmy następujący problem różniczkowy, powstały z naszego modelowego problemu poprzez dodanie członu z pierwszą pochodną:

-u′′x+bux+c*u=f,u0=uL=0

dla b,c stałych, przy czym c0. Dyskretyzujemy ten problem na siatce Ω¯h=xkk=0,,N dla xk=k*h dla h=L/N w następujący sposób:

Lhuhx=-¯uhx+b~u+cuhx=fxxΩh, (10.6)
uh0=uhL=0xΩh.

Tutaj

~ux=ux+h-ux-h2*h

jest ilorazem różnicowym centralnym. Zauważmy, że ~=0.5+¯. Można pokazać, że jeśli rozwiązanie uC40,L, to:

Lhux-fx=Oh2xΩ¯h,

co pozostawiamy jako zadanie. Z tego możemy wywnioskować, że rząd aproksymacji wynosi dwa, zarówno w normie dyskretnej maksimum, jak i w Lh2.

Weźmy przestrzeń Hh z tym samym iloczynem skalarnym i operator Bh z przykładu 10.1.

Wtedy, z wzorów na różnicowe sumowanie przez części (10.2), otrzymujemy:

~u,uh=0.5*u+¯u,uh=-0.5*u,u+¯uh.

Stąd ~u,uh=0. Zatem, choć Lh nie jest symetryczny (o ile b0), to jest operatorem dodatnio określonym i zachodzi:

Lhu,uh=Bh+c*Iu,uhc+1L2*u,uh.

czyli LhBh+c*Ic+1L2*I.

Z powyższego oszacowania możemy pokazać stabilność w normie 0,h jak w przykładzie 10.1, a w konsekwencji zbieżność dyskretną z rzędem dwa, co pozostawiamy jako zadanie.

10.3. Zadania

Ćwiczenie 10.1

Udowodnij wzory na sumowanie przez części, tzn. (10.2) oraz różnicową nierówność Friedrichsa, tzn. twierdzenie 10.1.

Ćwiczenie 10.2

Zbadaj rząd i stabilność schematu z przykładu 10.2 dyskretyzacji modelowego problemu jednowymiarowego w 0,h dla c>0 i c=0. Wykaż zbieżności z rzędem dwa w normie 0,h, o ile rozwiązanie wyjściowego problemu jest klasy C4.

Ćwiczenie 10.3

Zbadaj stabilność schematu (8.10) dyskretyzacji modelowego problemu dwuwymiarowego w dyskretnej normie L2 dla c0.

Ćwiczenie 10.4

Rozpatrzmy równanie różniczkowe na kwadracie Ω=0,12: chcemy znaleźć uC2ΩCΩ¯:

-u+b1ux+b2uy+c*u=fw0,12

z zerowym warunkiem brzegowym. Tu c,b1,b2 są stałymi, a c jest dodatkowo nieujemna.

Analogicznie do przykładu 10.2 i dyskretyzacji (8.10), skonstruuj schemat różnicowy wykorzystując odpowiednie pochodne centralne do aproksymacji pochodnych ux,uy.

Zbadaj rząd schematu i stabilność w w dyskretnej normie L2.

Wskazówka: 

Postępuj analogicznie jak w przykładzie 10.2.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.