Zagadnienia

16. Przestrzenie elementu skończonego, a aproksymacja w przestrzeniach Sobolewa

W tym rozdziale przedstawimy elementy teorii przestrzeni Sobolewa oraz kilka technicznych lematów potrzebnych do dowodów zbieżności metody elementu skończonego. Mimo, że przedstawimy tylko najmniej techniczne dowody odpowiednich lematów to, aby w pełni zrozumieć dowody, należałoby zapoznać się wcześniej z teorią przestrzeni Sobolewa, zob. np. [21].

Materiał w poniższym rozdziale wykracza poza materiał z wykładu.

16.1. Przestrzenie Sobolewa Hm

Poniżej podamy kilka faktów, dotyczących przestrzeni Sobolewa, potrzebnych do udowodnienia zbieżności metody elementu skończonego dla równania eliptycznego drugiego stopnia.

Najpierw zdefiniujmy przestrzenie Sobolewa HkΩ dla ΩRd, por. [21].

Definicja 16.1

Rozpatrzmy ΩRd obszar ograniczony, wtedy HmΩ definiujemy jako przestrzeń funkcji z L2Ω, których słabe pochodne αu dla wszystkich αm są w L2Ω. Iloczyn skalarny w Hm definiujemy jako

u,vHmΩ=αmαuαvdx

z normą

uHmΩ=αmαu2dx.

i półnormą

uHmΩ=α=mαu2dx.

Tutaj α=α1,,αd z αjN - to wielowskaźnik, α=k=1dαk i

αu=αuα1αd.

Można pokazać następujące twierdzenie:

Twierdzenie 16.1

Rozpatrzmy ΩRd otwarty obszar z kawałkami gładkim brzegiem i m0. Wtedy CΩHmΩ jest zbiorem gęstym w HmΩ.

Proszę zauważyć, że to twierdzenie pozwala nam inaczej zdefiniować przestrzeń Hm jako domknięcie zbioru wszystkich funkcji gładkich, których norma HmΩ jest ograniczona.

Dodatkowo wprowadzamy:

Definicja 16.2

Niech H0mΩ będzie domknięciem w Hm przestrzeni C0, gdzie C0Ω jest podprzestrzenią CΩ złożoną z funkcji o zwartym nośniku w Ω.

Zaznaczmy, że:

H0mΩHmΩL2Ω.

Zachodzą jeszcze następujące nierówności:

Stwierdzenie 16.1 (nierówność Friedrichsa)

Jeśli Ω zawarty jest w jednostkowej kostce, to

uL2ΩuH1ΩuH01Ω.

Dowód w ogólności można znaleźć np. w [2], ale dla kostek w dwóch i trzech wymiarach dowód pozostawiamy jako zadanie.

Istnieje też następujące twierdzenie mówiące w jakim sensie możemy rozważać wartości funkcji z H1Ω na brzegu tego obszaru.

Twierdzenie 16.2 (Twierdzenie o śladzie)

Rozpatrzmy Ω ograniczony obszar o brzegu Lipschizowskim1Brzeg Ω jest Lipschitzowski (odpowiedniej gładkości), jeśli dla każdego punktu xΩ istnieje otoczenie Ω tego punktu, które może być reprezentowane jako wykres funkcji Lipschitzowkiej (odpowiednio gładkiej)., wtedy istnieje ograniczony operator liniowy γ:H1ΩL2Ω i stała C:

γuL2ΩCuH1Ω.uH1Ω

i γu=u|Ω dla wszystkich uCΩ¯H1Ω.

Funkcję γu nazywamy śladem u na brzegu Ω.

Kolejnym ważnym twierdzeniem jest tzw. twierdzenie Sobolewa o włożeniu. Tutaj przedstawimy tylko szczególny przypadek potrzebny w przedstawionych dowodach.

Twierdzenie 16.3 (Twierdzenie Sobolewa o włożeniu (ang. Sobolev embedding theorem))

Rozpatrzmy Ω ograniczony obszar o brzegu Lipschizowskim w Rd dla d=1,2,3, wtedy - jeśli 2*k>d - istnieje ciągłe włożenie H2Ω w przestrzeń CΩ¯ tzn.

H2ΩCΩ¯,
C>0uHkΩuCΩ¯CuHkΩ.

Stała C>0 zależy od obszaru Ω.

16.2. Zgodna metoda elementu skończonego

W tym rozdziale przedstawimy ogólne zasady konstrukcji zgodnej metody elementu skończonego. Zgodna metoda oznacza, że przestrzenie elementu skończonego Vh zawarte są w przestrzeni wyjściowej V; w tym przypadku w odpowiedniej przestrzeni Sobolewa.

16.2.1. Element skończony - ujęcie formalne

Najpierw wprowadzimy definicję elementu skończonego za [7], por. także [4] i [2].

Definicja 16.3
  • Dla τRd wielościanu w Rd. (Części brzegu τ leżą na hiperpłaszczyznach i są nazywane ścianami)

  • PτCτ jest przestrzenią funkcji wymiaru k określonych na τ (przestrzeń tzw. funkcji kształtu) (ang. shape functions)

  • N=N1,,Nk jest baza Pτ* przestrzeni dualnej do Pτ. (Zbiór stopni swobody elementu). Zazwyczaj te funkcjonały wymagają obliczenia wartości funkcji lub jej pochodnych w punktach, dlatego nazywamy je uogólnionymi warunkami interpolacyjnymi.

wtedy elementem skończonym nazywamy trójkę τ,Pτ,N.

Definicja 16.4

Dla elementu skończonego τ,Pτ,N bazą nodalną tego elementu nazywamy bazę sprzężoną w Pτ do bazy N, tzn. taki układ funkcji z Pτ: ϕ1,,ϕk, że Njϕj=1 i Njϕl=0 dla lj.

Jeśli założymy, że funkcjonały z N są określone i ograniczone na większej lub innej przestrzeni liniowej V, to definiujemy:

Definicja 16.5

Dla elementu skończonego τ,Pτ,N definiujemy operator interpolacji πτ:V+PτPτ:

πτf:=j=1kNfϕjfV

dla ϕjj=0k bazy nodalnej tego elementu.

Jeśli rozpatrujemy podział obszaru na elementy (triangulacje) i każdy element τ jest elementem skończonym, tzn. rozpatrujemy trójkę τ,Pτ,Nτ, to możemy zdefiniować przestrzeń dyskretną dla danego podziału - zwaną dalej przestrzenią elementu skończonego.

Definicja 16.6

Przestrzenią elementu skończonego Vh dla triangulacji ThΩ nazywamy dowolną przestrzeń funkcji określonych na Ω takich, że dla funkcji uVh obciętej do elementu τTh zachodzi własność

u|τPτ.

Oczywiście w praktyce elementy skończone są tego samego typu. Często dokładamy na przestrzenie elementu skończonego warunki ciągłości lub dodatkowe warunki na brzegu obszaru.

Definicja 16.3 elementu skończonego dotyczy pojedynczego elementu, a analiza metody elementu skończonego będzie polegała na tym, że wyniki otrzymane na elemencie wzorcowym przenoszą się na dowolny element, o ile wszystkie elementy są skonstruowane przy pomocy przekształceń afinicznych.

Definicja 16.7

Rodzina przestrzeni elementu skończonego Vh dla rodziny triangulacji ThΩ z ΩRd jest rodziną afiniczną pod warunkiem, że istnieje element skończony τ,P,N - zwany dalej elementem wzorcowym, i spełnione są następujące warunki: dla dowolnego τjTh, istnieje przekształcenie afiniczne Fj:ττ takie, że dla dowolnej funkcji uVh istnieje pP takie, że

ux=pFj-1x

oraz dla dowolnego NjN istnieje NjN takie, że

Nju=NjuFj.

Widzimy, że przekształcenie afiniczne spełnia:

Fjx=Ajx+yjxτ,

dla Aj macierzy nieosobliwej d×d i yj ustalonego wektora.

Stwierdzenie 16.2

Rozpatrzmy afiniczną rodzinę przestrzeni elementu skończonego Vh dla triangulacji Th. Wtedy istnieją takie stałe C1,C2, że dla elementu triangulacji τjTh i dowolnej funkcji vHmτj otrzymujemy:

vHmτC1AjmdetAj-1/2vHmτj,
vHmτjC2Aj-1mdetAj1/2vHmτ,

gdzie vx=vFjx dla xτ.

Z gęstości funkcji gładkich w Hm możemy założyć, że vCτ¯. Dowód następnie wynika ze wzoru na różniczkowanie funkcji złożonych:

αvL2τCAjmβ=mβvFjL2τ.

dla α=m. Z twierdzenia o podstawianiu otrzymujemy:

αvL2τCAjmdetAj-1/2β=mβvL2τ.

Sumowanie po wszystkich multiindeksach α o długości m kończy dowód.

Stwierdzenie 16.3

Rozpatrzmy afiniczną rodzinę przestrzeni elementu skończonego Vh dla triangulacji Th. Wtedy dla τjTh zachodzi:

Ajdiamτjρ,Aj-1diamτρτj,

gdzie ρ jest średnicą okręgu wpisanego we wzorcowy element τ, a ρτj jest średnicą okręgu wpisanego w element τj.

Widzimy, że

Aj=supz=1Ajz=ρ-1supz=ρAjz.

Dla dowolnego z o normie ρ istnieją x,yτ¯, takie, że z=x-y. Zatem biorąc x=Fjx,y=Fjyτj¯ otrzymujemy x-y=Fjx-Fjy=Ajx-y=Ajz, a stąd

Ajρ-1x-ydiamτjρ.

Drugą nierówność dowodzimy analogicznie.

Jako wniosek otrzymujemy:

Wniosek 16.1

Rozpatrzmy regularną rodzinę triangulacji Th ze względu na kształt i afiniczną rodzinę przestrzeni elementu skończonego Vh dla tych triangulacji. Wtedy istnieją takie stałe C1,C2, że dla elementu τjTh i dowolnej funkcji vHmτj zachodzi

vHmτCdiamτjmdetAj-1/2vHmτj,
vHmτjCρτj-1detAj1/2vHmτ,

gdzie vx=vFjx dla xτ.

16.3. Elementy aproksymacji w przestrzeniach Sobolewa Hk

Kolejne twierdzenie pozwala oszacować normę Hm przez półnormę:

Twierdzenie 16.4 (Lemat Deny-Lionsa)

Niech τRd będzie elementem triangulacji i l0. Wtedy istnieje stała C=Cl,d,τ taka, że

infpPlv+pHl+1τCvHl+1τ.

Dowód korzysta z tak zwanej metody zwartości. Można go znaleźć np. w [7], lub [26].

Twierdzenie 16.5

Rozpatrzmy regularną rodzinę triangulacji Th ze względu na kształt i afiniczną rodzinę przestrzeni elementu skończonego Vh dla tych triangulacji. Jeśli warunki interpolacyjne dla elementu wzorcowego N są funkcjonałami liniowymi ograniczonymi na przestrzeni Hl+1τ oraz PlPHl+1τ dla 0l, to operator interpolacji nodalnej πτj (por. definicję 16.5) jest poprawnie zdefiniowany oraz dla 0ml+1 zachodzi:

u-πτjuHmτjChτjl+1-muHl+1τjuHl+1τj,

dla hτj=diamτj i C zależy od m,l oraz elementu skończonego wzorcowego, i stałej w założeniu regularności ze względu na kształt.

Zauważmy, że wx=wFjx=πτux dla xτ i w=πτju, co wynika z afiniczności rodziny przestrzeni Vh (por. definicję 16.7).

Stąd na mocy wniosku 16.1 otrzymujemy, że

u-πτuHmτ=ρτj-mdetAj1/2u-πτuHmτCρτj-mdetAj1/2uHmτ+πτuHmτ.

Z założeń twierdzenia otrzymujemy teraz:

πτuHmτj=1kNjuϕjHmτj=1kNjHl+1τ*uHl+1τϕjHmτ
CuHl+1τ

Oczywiście πτp=p dla dowolnego pP, w szczególności dla p wielomianu z Pl.

Zatem

u-πτuHmτCρτj-mdetAj1/2u+pHl+1τpPl.

Stąd na mocy twierdzenia 16.4 otrzymujemy

u-πτuHmτCρτj-mdetAj1/2uHl+1τ.

Z kolei z wniosku 16.1 otrzymujemy

u-πτuHmτChτjl+1ρτj-muHl+1τjChτjl+1-muHl+1τj.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.