Zagadnienia

2. Równania różniczkowe - wprowadzenie

Przy pomocy równań różniczkowych modelowanych jest wiele różnych zagadnień. Równaniami różniczkowymi nazywamy takie równania, w których szukaną niewiadomą jest funkcja lub wektor funkcyjny, których pochodne i same funkcję muszą spełniać odpowiednie równania.

2.1. Równania różniczkowe zwyczajne

Najprostszą klasą równań są równania różniczkowe zwyczajne, (ang. ordinary differential equation), czyli równania postaci:

Ft,u,dudt,,dkudtk=0 (2.1)

na funkcję uCka,b,Rn dla F:DRn i D zbioru otwartego w R1+k+1n. Takie równanie zwyczajne nazywamy równaniem rzędu k.

Przy założeniu, że Fykt,y0 dla t,y=t,y0,,yk, otrzymujemy równanie dające się rozwikłać względem dkudtk, tzn. istnieje funkcja f określona na otoczeniu D1 punktu t,y0,,yk-1 taka, że Ft,y0,,yk-1,ft,y0,,yk-1=0 na D1. Zatem po rozwikłaniu otrzymujemy nowe równanie:

dkudtk=ft,u,dudt,,dk-1dtk-1u,

którego rozwiązaniem jest funkcja uCka,b,Rn i które łatwiej numerycznie rozwiązać. Od tej pory będziemy zakładać, że równanie różniczkowe jest w tej postaci. Więcej informacji na temat metod numerycznych rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych podanych w sposób niejawny, tzn. w postaci (2.1) (zwanymi też równaniami różniczkowo-algebraicznymi) można znaleźć w [1] lub [3].

Zauważmy, że przez proste podstawienie x=y1 i xj=yj+1 dla j=1,,k-1 otrzymujemy nowy układ równań pierwszego rzędu:

dy1dt=y2dy2dt=y3dykdt=f1t,y1,,yk, (2.2)

który jest szczególnym równaniem pierwszego rzędu postaci:

dxdt=ft,x, (2.3)

gdzie funkcja f:a,b×GR×RmRm jest zadaną funkcją ciągłą. Tutaj G jest zbiorem otwartym.

Zagadnieniem początkowym (zagadnieniem Cauchy'ego) nazywamy równanie z warunkiem początkowym:

dxdt=ft,xxt0=x0 (2.4)

gdzie t0a,b,x0G jest ustalone.

Rozwiązaniem równania (2.3) nazwiemy funkcję ϕ klasy C1 określoną na podzbiorze otwartym c,da,b taką, że

dϕdtt=ft,ϕttc,d.

Jeśli dodatkowo t0c,d i ϕt0=x0, czyli ϕ spełnia warunek początkowy to ϕ jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego (2.4). W przyszłości często będziemy oznaczać rozwiązanie (2.3) jako xt.

Podamy teraz kilka prostych przykładów zagadnień fizycznych, czy ogólnie przyrodniczych modelowanych równaniami różniczkowymi zwyczajnymi.

Przykład 2.1

Najprostszy model populacji danego gatunku zwierząt:

dNdt=aNt>t0Nt0=x0>0

gdzie Nt - stan populacji w momencie czasu t i a jest stałą większą od zera, szybkością namnażania się osobników, zależną od gatunku. Tu możemy podać rozwiązania Nt=expat-t0.

Oczywiście ten model jest nierealistyczny, ponieważ populacja - nawet izolowana - nie może rosnąc do nieskończoności. Podajmy więc bardziej skomplikowany model wzrostu logistycznego:

Przykład 2.2

Model logistyczny populacji.

dNdt=aN1-N/Kt>t0Nt0=x0>0

gdzie a,K są stałymi większymi od zera. K oznacza pojemność populacji, czy górną granicę populacji. Tu też możemy podać rozwiązania, ale pozostawimy to jako zadanie.

Przykład 2.3

Rozpad radioaktywnego węgla. Wiemy, że w czasie T połowa atomów węgla rozpada się. Ilość atomów modelowana jest równaniem:

dxdt=-axt>t0xt0=x0>0,

gdzie a jest szybkością rozpadu, stałą większą od zera. Rozwiązaniem tego równania jest xt=x0exp-at-t0.

\
Rys. 2.1. Ruch cząsteczki.
Przykład 2.4

Równanie Newtona.

Rozpatrzmy ruch cząsteczki w przestrzeni. Oznaczmy wektory:

  • xtR3 położenie cząsteczki w przestrzeni w czasie t,

  • v=d2xdt2 prędkość cząsteczki,

  • a=dvdt=d2xdt2 pochodna prędkości, czyli druga pochodna położenia, tj. przyspieszenie.

Jeśli ruch cząsteczki sterowany jest jakąś zewnętrzną siłą

F:DR3R3

to - zgodnie z prawem dynamiki Newtona - zachodzi następujący związek:

ma=Fxt,

gdzie m jest masą cząsteczki. W ten sposób otrzymaliśmy równanie różniczkowe zwane równaniem Newtona:

d2xdt2=Fxm

Jeśli dodatkowo znamy położenie i prędkości cząsteczki, tzn. xt0 i vt0=dxdtt0 w danym momencie czasu, to możemy wyznaczyć jej położenie po jakimś czasie.

W najprostszym przypadku załóżmy, że działa siła grawitacji skierowana w dół, czyli wzdłuż osi OX3 (jest to duże uproszczenie, ale dość dobrze modeluje ruch): tzn. siła stała Fx=0,0,-mgT. Otrzymujemy wówczas równanie

d2x1dt2=0d2x2dt2=0d2x3dt2=-mg.

Znając położenie i prędkość w chwili t=0 łatwo je rozwiązać: x1t=x10+v10t, x2t=x20+v20t i x3t=x30+v30t-0.5mgt2.

W
Rys. 2.2. Wahadło.
Przykład 2.5

Równanie wahadła.

Wyprowadzamy równanie zgodnie z Rysunkiem 2.2. Ruch powoduje siła Fθ=-sinθmg, gdzie m jest masą, g to przyspieszenie ziemskie, a θ jest kątem wychylenia się wahadła. Długość łuku:

s=lθ

gdzie l to długość wahadła, stąd

ma=md2sdt2=md2θdt2l=-sinθmg

zatem otrzymujemy równanie:

d2θdt2=-sinθg/l.

Sprowadzając je do równania pierwszego rzędu otrzymujemy:

ddtθν=dθdtdνdt=ν-sinθg/l=fθν

Możemy naszkicować pole wektorowe tego równania. Tzn. ogólnie jakakolwiek trajektoria rozwiązania θt,νt jest styczna do pola wektorowego zadanego przez prawą stronę równania fθ,νT, czyli w naszym przypadku pole wektorowe w punkcie θ,ν przyjmuje wartość ν,-sinθg/lT, por. Rysunek 2.3.

\
Rys. 2.3. Pole wektorowe równania wahadła.

2.2. Równania różniczkowe cząstkowe

Ogólnie mówiąc, równania różniczkowe cząstkowe to równania, których rozwiązania są funkcjami wielu zmiennych, i w których pojawiają się pochodne cząstkowe. Przy niektórych typach równań wyróżnia się jedną ze zmiennych i oznacza jako czas t; o takich równaniach mówimy często jako o równaniach ewolucyjnych.

W tym rozdziale wymienimy podstawowe typy równań różniczkowych cząstkowych, które pojawią się w treści tego skryptu.

Po więcej informacji na temat podstawowych idei i pojęć dotyczących dziedziny matematyki zwanej równaniami różniczkowymi cząstkowymi odsyłamy do obszernego podręcznika Lawrence'a Evansa [11].

2.2.1. Równania eliptyczne

W przypadku równań eliptycznych nie mamy wyróżnionej zmiennej, ponieważ opisują one często stany stacjonarne zjawisk fizycznych.

Podstawowym przykładem równania eliptycznego jest

równanie Laplace'a:

-ux=fxxΩRn,

gdzie =k=1n2xk2 i Ω jest obszarem.

Jeśli dołożymy warunek brzegowy, to otrzymamy klasyczne równanie Poissona. Szukamy tu uC2ΩCΩ¯ takiego, że

-ux=fxxΩus=gssΩ (2.5)

Zagadnienie z laplasjanem może mieć też inne warunki brzegowe.

To jest podstawowy przykład zagadnienia eliptycznego, zwanego też zagadnieniem stacjonarnym, czy zagadnieniem brzegowym. W szczególności równanie Laplace'a modeluje rozkład potencjału elektrycznego w R3.

Zachodzi prawo fizyczne Gaussa:

divE=ρ/ϵ0,

gdzie divu=k=13ukxk - to operator dywergencji (rozbieżności) pola, E - to natężenie pola elektrycznego, ρ0 - to gęstość ładunku elektrycznego, ϵ0 - to przenikalność elektryczna.

Minus gradient potencjału V daje natężenie pola elektrycznego, tzn.

E=-V

z tego wynika, że otrzymujemy

divE=div-V=-V.

Jeśli ładunek równy zero, to otrzymujemy równanie Laplace'a:

V=0.

Podamy teraz ogólniejszą definicję równania (operatora) eliptycznego drugiego rzędu. Rozważmy równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu dla ogólnego operatora liniowego drugiego rzędu L, określonego dla uC2G dla GRn:

Lu=-k,l=1naklx2uxkxlx+k=1nbkxuxkx+cxux=fx (2.6)

gdzie akl,bk,c,f są danymi funkcjami (zazwyczaj ciągłymi) określonymi na obszarze GRn.

Definicja 2.1

Równanie (2.6) (operator L) jest eliptyczne w punkcie x, gdy macierz Ax=aklxkl=1,,n jest dodatnio określona: tzn.:

ξtAxξ>0ξRn

Operator L jest eliptyczny w obszarze Ω jeśli L jest eliptyczny w każdym punkcie obszaru Ω.

Warto wspomnieć, że w praktyce pojawiają się także równania eliptyczne czwartego rzędu, np. równanie bi-harmoniczne, które modeluje np. wygiętą cienką membranę (czy płytkę) poprzez zewnętrzną siłę:

2u=fwΩR2,

gdzie 2= - to operator bi-harmoniczny, u - to odchylenie membrany od położenia zero, f - to siła wyginająca membranę pionowo do góry. Tutaj też mogą zachodzić warunki brzegowe różnego typu:

u=g1nu=g2naΩ

dla płytki przygiętej (tutaj n - to wektor normalny zewnętrzny do brzegu Ω), czy

u=gnaΩ

dla zadania podpartej płytki.

2.2.2. Równania hiperboliczne pierwszego rzędu

Ogólnie za równanie różniczkowe hiperboliczne pierwszego rzędu uważamy równanie postaci:

Fx,u,ux1,,uxN=0xΩRN

dla funkcji F:Ω×GΩ×R×RNR i obszaru ΩRN.

Dodatkowo dodaje się warunek brzegowy na brzegu lub części brzegu Ω np.:

u=g,

gdzie g - to dana funkcja.

Będą nas w szczególności interesować równania liniowe:

Fx,u,u=axTu+bxu+cx (2.7)

dla danych funkcji ak,b,c:ΩR.

Ważnym przykładem jest równanie:

ut+aux=0tRxR

gdzie a - to stała, dla którego znamy rozwiązanie:

ut,x=Fat-x

dla dowolnej funkcji różniczkowalnej w sposób ciągły F.

Dodając warunek początkowy

u0,x=ϕx

dla ϕC1R otrzymujemy jednoznaczne rozwiązanie

ut,x=ϕat-x.

2.2.3. Równania hiperboliczne drugiego rzędu

Ogólnie równaniem liniowym hiperbolicznym drugiego rzędu nazwiemy równanie:

2ut2-Lu=ft>0xΩ (2.8)

dla operatora L eliptycznego w ΩRN. Tutaj utt=2ut2.

Klasycznym przykładem takiego równania jest równanie falowe:

2ut2-u=fxΩRNN=1,2,3.

Dla prawej strony równej zero, tj. f=0, nazywamy je jednorodnym równaniem falowym, a w przeciwnym przypadku nazywamy je niejednorodnym równaniem falowym.

Odpowiada ono drganiu struny (N=1), membrany (N=2) i elastycznej bryły (N=3). Wartości ut,x odpowiadają położeniu np. struny w momencie czasu t, jako że zmienna t odpowiada czasowi - jest to równanie ewolucyjne.

Aby zadanie posiadało jednoznaczne rozwiązanie należy:

  • Podać warunki brzegowe np. typu Dirichleta

    ut,s=gt,ssΩ

    dla danej funkcji g:0,T×ΩR. Zakładamy, że na brzegu znamy położenie struny. Gdyby gt,s=gs, to struna czy membrana byłaby zaczepiona.

  • Podać warunki początkowe:

    u0,x=ϕt
    ut0,x=ψt

    dla danych funkcji określonych na Ω. Warunki początkowe oznaczają, że znamy położenie i prędkości np. struny w momencie startowym t=0.

2.2.4. Równania paraboliczne

Równaniem liniowym parabolicznym drugiego rzędu nazywamy równanie:

ut-Lu=ft>0xΩ, (2.9)

gdzie L operator eliptyczny w ΩRN.

Klasycznym równaniem parabolicznym jest równanie przewodnictwa ciepła:

ut-u=ft>0,xΩRNN=1,2,3

opisujące rozchodzenie się ciepła w pręcie (N=1), cienkiej płytce (N=2), czy bryle (N=3). Wartości ut,x odpowiadają temperaturze w punkcie x w momencie czasu t. Jest to równanie ewolucyjne. Aby zadanie było dobrze postawione należy dodać warunek początkowy u0,x=ϕx w Ω oraz warunki brzegowe np. typu Dirichleta

ut,s=gssΩ

dla danej funkcji g:0,TΩ co oznacza, że znamy temperaturę na brzegu i temperaturę początkową:

u0,x=ϕx

dla danej funkcji ϕ określonej na Ω.

Możemy też na brzegu Ω postawić inne warunki brzegowe np. z pochodną, które odpowiadają temu, że znamy strumień energii wpływającej do płytki, czyli

nut,s=hssΩ.

W jednym wymiarze, tzn. dla Ω=0,L i dla równania ze współczynnikiem stałym a>0 i f=0, warunkami brzegowymi u0=uL=0 i warunkiem początkowym u0=sinktπ/L tzn.:

ut=a××2ux2××w××0,T×0,L
u0=uL=0,
ux,0=sinπx/Lx0,L

znamy rozwiązanie: ut,x=exp-aπ/L2tsinπx/L, czyli rozwiązanie gaśnie wraz z upływem czasu.

2.3. Zadania

Ćwiczenie 2.1

Rozpatrzmy zadanie początkowe autonomiczne (tzn. prawa strona równania nie zależy od t):

dydt=gx,y
dxdt=fx,y
xt0=x0yt0=y0

dla f,gC1G, G - to obszar, i fx0,y0>0 dla pewnego x0,y0TG. Pokaż, że istnieje otoczenie Ux0 punktu x0 takie, że na tym otoczeniu równanie

dy/dx=fx,y/gx,yyx0=y0

ma rozwiązania ψx takie, że krzywa całkowa tego równania, tzn. zbiór {(x,ψ(x):xUx0} zawarta jest w trajektorii wyjściowego równania, tzn. w zbiorze xt,yt dla x,y rozwiązań wyjściowego równania.

Rozwiązanie: 

Z tego, że dxdtt0=fx0,y00 i z twierdzenia o funkcji odwrotnej wynika, że istnieje otoczenie Ux0, na którym określona jest funkcja tx odwrotna do xt, której pochodna równa się dt/dx=1/dx/dt=1/f. Wtedy szukaną funkcją jest złożeniem yt i tx, czyli ψx:=ytx i zawieranie się krzywej całkowej w trajektorii jest oczywiste.

Ćwiczenie 2.2

Wyprowadź równania ruchu wahadła w postaci:

d2xdt2=fx,y
d2ydt2=gx,y.

dla x,y położenia wahadła (przyjmujemy, że dla θ=0 zachodzi x=y=0).

Narysuj powyższe pole wektorowe wahadła w Octavie (funkcja quiver()).

Wskazówka: 

Trzeba dokonać rozkładu na odpowiednie składowe jedynej siły, która powoduje ruch wahadła czyli -mgsinθ stycznej do toru ruchu. Następnie skorzystać z tego jak wyraża się położenie punktu w terminach θ.

Rozwiązanie: 

Zauważmy, że x,yT=sinθ,cosθT i siła działająca poziomo jest równa -mgsinθcosθ=-mgxy a działająca pionowo: -mgsinθsinθ=-mgx2.

Ćwiczenie 2.3 (Metoda Fouriera)

Rozważmy równanie paraboliczne jednowymiarowe:

utt,x=2ux2×t,x××w××0,T×0,1

z warunkami brzegowymi ut,0=ut,1=0 i początkowym u0,x=u0x. Załóżmy, że szukamy rozwiązania postaci:

ut,x=fxgt.

Wstaw u takiej postaci do powyższego równania i pokaż, że dostajemy dwa niezależne równania różniczkowe zwyczajne na f i g. Rozwiąż te równania tzn. znajdź rozwiązania uogólnione i sprawdź dla jakich u0 możemy wyznaczyć rozwiązanie wyjściowego problemu.

Ćwiczenie 2.4 (Metoda Fouriera)

Rozważmy równanie hiperboliczne jednowymiarowe:

2ut2t,x=2ux2×t,x××w××0,T×0,1

z warunkami brzegowymi u0,t=u1,t=0 i początkowymi ux,0=u0x i utx,0=v0x. Załóżmy, że szukamy rozwiązania postaci:

ut,x=fxgt.

Wstaw u takiej postaci do powyższego równania i pokaż, że dostajemy dwa niezależne równania różniczkowe zwyczajne na f i g. Rozwiąż te równania, tzn. znajdź rozwiązania uogólnione, czyli rodzinę rozwiązań zależną od stałej, i sprawdź dla jakich u0,v0 możemy wyznaczyć rozwiązanie wyjściowego problemu.

Ćwiczenie 2.5 (Metoda charakterystyk)

Rozpatrzmy równanie różniczkowe pierwszego rzędu Fx,u,u=0 dla funkcji F:G×R×RmR i GRm. Przyjmijmy, że szukamy krzywych x:a,bRm na których można wyznaczyć rozwiązanie. Przyjmijmy oznaczenia

ws=uxs
zjs=uxjxsj=1,,m.

Różniczkując ostatnie równanie otrzymujemy:

dzjds=i=1m2uxjxixsdxids (2.10)

a różniczkując po xj wyjściowe równanie widzimy, że

Fxjx,u,u+Fwx,u,uuxj+i=1mFzix,u,u2uxjxi=0 (2.11)

Treścią zadania jest wykazanie, że definiując krzywą xs jako krzywą spełniającą równanie:

dxids=Fzix,w,zi=1,,m, (2.12)

i korzystając z powyższych równań otrzymujemy, że x,w,z spełniają następujący układ równań zwyczajnych:

dxjds=Fzjx,w,zj=1,,m
dwds=i=1mziFzix,w,z
dzjds=-Fxjx,w,z-zjFwx,w,zj=1,,m.

Równania te nazywamy równaniami charakterystyk dla wyjściowego równania pierwszego rzędu, a krzywe x - charakterystykami tego równania.

Wskazówka: 

Drugie równanie na pochodną, tzn. w, uzyskujemy różniczkując po zmiennej s równanie ws=uxs, a ostatnie równanie otrzymujemy eliminując człon z drugimi pochodnymi u z (2.10) korzystając z (2.11).

Ćwiczenie 2.6

Wyprowadź równania charakterystyk dla równań liniowych pierwszego rzędu (2.7) jednorodnych tzn. z cx=0. Oblicz rozwiązania dla równania liniowego w dwóch wymiarach dla ax=1,a2 i a2 stałej, b=c=0 i warunku brzegowego u0,x=sinx dla xR.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.