Niech V będzie zbiorem rozwiązań układu V=x∈Rn⁢|⁢αi∙x⁢=bi, 1≤i≤s. Ponieważ p∈V i V jest zbiorem rozwiązań układu równań liniowych więc na mocy twierdzenia Kroneckera - Capelli'ego V jest przestrzenią afiniczną wymiaru n-r⁢z⁢Ap=j. Zauważmy dodatkowo V=⋂i≤sHi⁢∩⁢⋂i≤sHi-.

Niech Si=W∩∂⁡Hi. Wówczas dla 1≤i≤s⁢⁢Si są ścianami W zawierającymi punkt p zatem na mocy lematu 2.1 S jest ścianą wielościanu W. Ponadto S=W∩⁢⋂i≤sHi-=⋂i≤tHi⁢∩⁢⋂i≤sHi-⊂⋂i≤sHi⁢∩⁢⋂i≤sHi-=V więc d⁢i⁢m⁢⁢S≤j.

Aby wykazać, że d⁢i⁢m⁢⁢S=j i p∈r⁢i⁢n⁢t⁢⁢S znajdziemy j-wymiarową kulę, zawartą w S o środku w punkcie p.

Niech εi=ρ⁢p⁢;∂⁡Hi będzie odległością punktu p od brzegu odpowiedniej półprzestrzeni. Niech ε=M⁢i⁢n⁢εi⁢|⁢s<i≤t. Teraz K=K⁢p⁢;ε∩V⊂W∩V=S jest j-wymiarową kulą o środku p.

Niech B będzie kulą o środku p zawartą w wielościanie W. Wtedy ∀i≤sB⊂Hi oraz p∈∂⁡Hi. Na mocy lematu 2.2 B⊂⋂i≤s⁢∂⁡Hi=V. Stąd d⁢i⁢m⁢⁢B≤j.

∎

Inkluzja S⊂W∩a⁢f⁢S jest oczywista.

Ponieważ S⊂∂⁡H i ∂⁡H jest podprzestrzenią, więc a⁢f⁢S⊂∂⁡H. Stąd W∩a⁢f⁢S⊂W∩∂⁡H=S.

∎

Niech S=W∩∂⁡H. Ponieważ p∈∂⁡H, więc K⊂W∩∂⁡H=S. Stąd a⁢f⁢S=a⁢f⁢K i S=W∩a⁢f⁢S=W∩a⁢f⁢K.

∎

Niech S=W∩∂⁡H, dla pewnej półprzestrzeni H⊃W. Wówczas

W=H∩⋂⁢i=1⁢t⁢Hi i z dowodu poprzedniego lematu

S=W∩∂⁡H⁢∩⁢⋂p∈∂⁡Hi⁢∂⁡Hi⁢⊂W∩⁢⋂p∈∂⁡Hi∂⁡Hi=S¯. Do dowodu S=S¯ wystarczy zauważyć, że S jest ścianą tego samego wymiaru co S¯, gdyż każda kula o środku w p zawarta w S¯ jest zawarta w S.

∎

Niech q∈⋂i=2tHi∖W zaś p∈W. Oznaczmy przez q′ punkt przecięcia odcinka p⁢⁢q¯ z ∂⁡H1. Punkty p oraz q leżą po różnych stronach hiperpłaszczyzny ∂⁡H1 więc punkt przecięcia odcinka pi⁢⁢q¯ z ∂⁡H1 należy do W.

∎

⇒ Niech W będzie przestrzenią afiniczną zaś S=W∩∂⁡H ścianą. Wybierzmy dowolny punkt p∈S. Ponieważ p∈⁢r⁢i⁢n⁢t⁢⁢W więc istnieje kula K o środku w punkcie p rozpinająca W. Ale na mocy lematu 1.1 K⊂∂⁡H więc W=a⁢f⁢K⊂∂⁡H i W=S.

⇐

a) Jeżeli W=Rn to jest podprzestrzenią afiniczną.

b) Niech W=⋂⁢i=1⁢tHi będzie opisem wielościanu W przy pomocy minimalnego zbioru półprzestrzeni. Na mocy lematu 3.4 zbiór Si=W∩∂⁡Hi≠∅ dla każdego 1≤i≤t. Zatem są to ściany oraz W=Si⊂∂⁡Hj. Otrzymujemy W⊂⋂i=1t⁢∂⁡Hi⊂⋂i=1t⁢Hi=W. Stąd W=⋂i=1t⁢∂⁡Hi jest podprzestrzenią afiniczną.

∎

Implikacje 1)⇒2)⇒3)⇒1) wynikają bezpośrednio z lematu 3.1.

Implikacja 2)⇒2a) jest oczywista.

Dowód 2a)⇒2). Niech p=∑i=1t⁢ri⁢pi będzie nietrywialną kombinacją wypukłą punktów z W. To znaczy ∀i⁢ri>0 i wszystkie punkty są różne. Wtedy p=r1⁢p1+1-r1⁢∑i=2t⁢ri1-r1⁢pi należy do wnętrza odcinka o końcach p1 i ∑i=2t⁢ri1-r1⁢pi, a więc jest środkiem pewnego mniejszego odcinka zawartego w W.

∎

1)⇒2) wniosek z twierdzenia 3.2.

Dowód 2)⇒3)

Przypuśćmy, że l=p+r⁢α⁢|⁢r∈R jest prostą zawartą w wielościanie W, p,α∈Rn. Pokażemy, że prosta l jest zawarta w zbiorze rozwiązań układu równań liniowych o macierzy [A|b].

∀r∈R⁢A⁢p+r⁢α≤b

A=α1α2…αt︷nb=[b1b2…bt]}t

∀1≤i≤t⁢αi∙p+r⁢α≤bi

αi∙p⁢+r⁢αi∙α≤bi

r⁢αi∙α≤bi-αi∙p

Zatem:

∀1≤i≤t⁢∀r∈R⁢r⁢αi∙α≤bi-αi∙p⁢.

Ale αi∙α>0⇒r≤bi-αi∙p⁢αi∙α

αi∙α<0⇒r≥bi-αi∙p⁢αi∙α.

Co daje αi∙α=0.

Stąd α jest niezerowym rozwiązaniem jednorodnego układu równań liniowych A⁢y=θ.

Niech p+r⁢α∈l, wtedy A⁢p+r⁢α=r⁢A⁢α+A⁢p=θ+b=b

Skoro wymiar przestrzeni rozwiązań jest ≥1 więc na mocy twierdzenia Kroneckera - Capelli'ego r⁢z⁢A<n.

Sprzeczność.

3)⇒1)

Niech S będzie ścianą wielościanu W najmniejszego wymiaru. Ponieważ każda ściana S jest ścianą W, więc S nie ma właściwych ścian, a zatem na mocy lematu 3.5 S jest przestrzenią afiniczną. Wielościan W nie zawiera prostej, więc S nie zawiera prostej. Stąd S ma wymiar 0 i jest wierzchołkiem.

∎

W2 zawiera wierzchołek ⇒W2 nie zawiera prostej ⇒W1 nie zawiera prostej ⇒W1 zawiera wierzchołek.

∎

W⊂W2 gdzie W2=x∈Rn⁢|⁢x≥0, czyli -x≤0

ale r⁢z⁢-10…00-1…0⋮…00…-1 =n

Stąd W2 zawiera wierzchołek, więc W1 też.

∎

S jest wielościanem więc na mocy poprzedniego wniosku zawiera wierzchołek. Przypuśćmy, że p jest wierzchołkiem S. Na mocy wniosku 3.1 p jest ścianą wielościanu W wymiaru 0, a więc wierzchołkiem.

∎