Niech q∈Rn będzie dowolnym punktem. Ponieważ ciąg p0,p1,⋯,pn jest bazą punktową Rn więc istnieje taki układ wag r0,r1,⋯,rn, (∑i=0nri=1), że q=∑i=0nri⁢pi. Badamy kiedy punkt q spełnia j - tą nierówność.

det⁡p01⋮⋮pj-11q1pj+11⋮⋮pn1=det⁡p01⋮⋮pj-11∑i=0nri⁢pi∑i=0nripj+11⋮⋮pn1=

teraz dla i≠j od j-tego wiersza macierzy odejmujemy wiersz i-ty pomnożony przez ri.

=det[p01⋮⋮pj-11rj⁢pjrjpj+11⋮⋮pn1]=rj⋅det[p01p11⋮⋮pn1].

Ponieważ przyjęliśmy p01p11⋮⋮pn1>0, więc punkt q spełnia j - tą nierówność wtedy i tylko wtedy gdy rj≥0. Zatem punkt q∈W wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia wszystkie n+1 nierówności.

Ponieważ dla każdego j punkt pj spełnia wszystkie za wyjątkiem j - tej nierówności jako równania więc jest wierzchołkiem. Więcej wierzchołków nie ma gdyż n nierówności ze zbioru n+1 elementowego można wybrać na n+1 sposobów. Podobnie n-1 nierówności można wybrać na n+1n-1=n⁢n+12 sposobów, czyli tyle ile jest par wierzchołków.

Niech S będzie ścianą s-wielościanu W. Na mocy twierdzenia 3.5 ściana S ma wierzchołek i jest to jedyny wierzchołek.

Niech p=W∩∂⁡H będzie wierzchołkiem W zaś q dowolnym innym punktem s-wielościanu. Teraz S=W∩∂⁡H+p,q→ jest wielościanem zawierającym q, a nie zawierającym p. S ma wierzchołki na mocy wniosku 3.4. Niech q1 będzie wierzchołkiem S. Wówczas q1 leży na przecięciu brzegów n liniowo niezależnych półprzestrzeni opisujących S. Jednym z nich jest ∂⁡H+p,q→ a pozostałe n-1 opisują W. Zatem q1 należy do krawędzi W i p,q1→ jest wektorem krawędzi nieskończonej.

1) Niech W=x∈Rn⁢|⁢α∙x⁢≤b będzie półprzestrzenią. Teraz:

∀r≥0⁢α∙p+r⁢β≤b

∀r≥0⁢α∙p+r⁢α∙β≤b

∀r≥0⁢r⁢α∙β≤b-α∙p

to implikuje α∙β≤0

∀r≥0⁢α∙q+r⁢β=α∙q+r⁢α∙β≤α∙q≤b

2) Niech W=⋂⁢i=1⁢tHi będzie przecięciem półprzestrzeni. Jeżeli ∀r≥0⁢p+r⁢β⁢∈W, to ∀i∀r≥0⁢p+r⁢β⁢∈Hi, a z kroku 1) ∀i∀q∈Hi∀r≥0⁢q+r⁢β⁢∈W. Zatem ∀q∈W∀r≥0⁢q+r⁢β⁢∈W.

Z lematu 4.1 wynika inkluzja W⊇p+∑j=1ksj⁢αj⁢|⁢sj≥0

Dowód przeciwnej inkluzji przeprowadzimy przez indukcję względem wymiaru W.

10 Jeżeli d⁢i⁢m⁢⁢W=0 to Wjest punktem i dowód jest oczywisty.

20 Niech p będzie wierzchołkiem s-wielościanu W=⋂⁢i=1⁢t⁢Hi zaś q dowolnym innym punktem W. Niech α będzie wektorem krawędzi nieskończonej.

1) Jeżeli q należy do krawędzi o wektorze kierunkowym α to q=p+r⁢α dla pewnego r≥0.

2) Przypuśćmy, że q nie należy do żadnej krawędzi. Prosta l=q+r⁢α⁢|⁢r∈R przecięta z W daje półprostą. Nazwijmy jej początek q1. Istnieje teraz j≤t takie, że q1∈∂⁡Hj. Ściana W∩∂⁡Hj ma mniejszy wymiar niż W więc z założenia indukcyjnego q1=p+∑i=1ksi⁢αi dla pewnych sj≥0 i wektorów kierunkowych krawędzi nieograniczonych α1,α2,…,αk. Zatem q=q1+s⁢α=p+∑i=1ksi⁢αi+s⁢α ma żądane przedstawienie.

Niech W=⋂i=1⁢t⁢Hi będzie przecięciem półprzestrzeni, gdzie Hi=x⁢|⁢αi∙x⁢≤bi. Przenumerowując półprzestrzenie w razie potrzeby możemy przyjąć, że p∈∂⁡Hi⇔1≤i≤k.

Zdefiniujmy Wp=⋂i=1⁢k⁢Hi.

Wtedy W⊆Wp i p jest jedynym wierzchołkiem Wp, gdyż na mocy twierdzenia 3.2 p jest wierzchołkiem W⇔r⁢z⁢α1⋮αk=n ⇒p jest wierzchołkiem Wp.

Niech teraz ki=p+r⁢α⁢|⁢r≥0 będzie krawędzią wielościanu Wp. Wówczas ki=Wp∩∂⁡H, dla pewnej półprzestrzeni H zawierającej Wp. Ponieważ p∈W∩∂⁡H⊂Wp∩∂⁡H więc wystarczy wykazać, że ściana W∩∂⁡H do której należy p nie jest jedno punktowa. Dla każdego j>k istnieje εj>0 taki, że εj⁢α<ϱ⁢p⁢;∂⁡Hj . Przyjmując ε=m⁢i⁢n⁢εj⁢⁢⁢j⁢k otrzymujemy p+ε⁢α∈Hi dla i>k. Zatem p+ε⁢α∈W oraz p+ε⁢α∈W∩∂⁡H.

Niech Wp będzie wielościanem z lematu 4.2. Wówczas na mocy twierdzenia 4.2 Wp jako s - wielościanem można opisać

Wp=p+∑i=1⁢mri⁢αi⁢|⁢ri≥0, gdzie α1,α2,…,αm są wszystkimi wektorami kierunkowymi krawędzi Wp a więc wektorami kierunkowymi krawędzi wielościanu W wychodzących z p.

Weźmy dowolny punkt q∈W. Wtedy q∈Wp=p+∑i=1⁢mri⁢αi.

Zatem

x0⁢q=c∙q⁢=c∙p+∑i=1mri⁢αi=c∙p⁢+∑i=1⁢mri∙αi≤c∙p=x0⁢p.