Dowód

Niech y będzie ustalonym punktem w zbiorze W⊂Rn. Rozpatrzmy zbiór U=x∈W:f⁢x≤f⁢y. Zauważmy, że U jest zbiorem domkniętym w W, bo funkcja f jest ciągła, a nierówność w warunku nieostra. Z domkniętości W wynika, że U jest domknięty w Rn. Jest on też ograniczony. Mianowicie, dla r=f⁢y, z koercywności f istnieje s>0 takie, że jeśli x>s, to f⁢x>r=f⁢y, skąd U jest zawarte w kuli B⁢s=x:x≤s. Zatem U jest zbiorem zwartym. Wówczas istnieje x0∈U – punkt minimum na zbiorze U. Dla x∉U mamy f⁢x>f⁢y≥f⁢x0, więc x0 jest globalnym minimum na całym W.

Dowód

Zbiór U definiujemy jak w poprzednim dowodzie, U=x∈W:f⁢x≤f⁢y. Aby pokazać domkniętość U weźmy dowolny ciąg xn⊂U zbieżny do x~. Pokażemy, że x~∈U. Z xn∈U mamy f⁢xn≤f⁢y i jeśli x~∉W, nierówność ta przeczy założeniu twierdzenia. Wynika stąd, że x~∈W. Korzystając teraz z ciągłości f na W dostajemy f⁢x~≤f⁢y, skąd x~∈U. Ograniczoność zbioru U wynika z założonej w twierdzeniu implikacji xn→∞⁢⇒⁢lim infn→∞⁡f⁢xn>f⁢y. Pozostała część dowodu jest identyczna jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia.

Dowód twierdzenia 1.4

Niech x0 - minimum lokalne. Dla dostatecznie małych h zachodzi f⁢x0+h≥f⁢x0. Zatem dla h>0 mamy

Dla h<0

Stąd f′⁢x0=0.

Dowód twierdzenia 1.8

Niech g⁢x=f⁢b-f⁢a⁢x-b-a⁢f⁢x dla x∈a,b. Wówczas g jest ciągła na a,b, różniczkowalna w a,b oraz

Pokażemy teraz, że istnieje punkt x0∈a,b, w którym pochodna g się zeruje. Jeśli g jest funkcją stałą, to dla dowolnego x0∈a,b mamy g′⁢x0=0. W przeciwnym przypadku, na mocy twierdzenia 1.1 funkcja g przyjmuje swoje kresy na a,b. Jeden z kresów jest różny od g⁢a=g⁢b. Zatem jest on przyjmowany w punkcie x0 we wnętrzu przedziału a,b. Korzystając z twierdzenia 1.4 wnioskujemy, że g′⁢x0=0. Różniczkując g otrzymujemy:

Po prostych przekształceniach otrzymujemy poszukiwany wzór.

Dowód twierdzenia 1.9

Bez straty ogólności możemy założyć x0=0. Musimy wykazać, że R⁢x:=f⁢x-f⁢0-f′⁢0⁢x-f′′⁢02⁢x2 jest niższego rzędu niż x2, tzn. R⁢x=o⁢x2. Z ciągłości pierwszej pochodnej f dostajemy

Wiemy, że f′ jest różniczkowalna w 0. Zatem f′⁢y=f′⁢0+f′′⁢0⁢y+r⁢y, gdzie r⁢y=o⁢y. Oznacza to, że

Dla dowolnego ε>0 istnieje zatem δ>0, taka że y<δ pociąga r⁢y<ε⁢y.

Ustalmy zatem dowolny ε>0 i związaną z nim δ>0. Weźmy x<δ i scałkujmy pochodną f′⁢y. Otrzymamy wówczas:

czyli R⁢x=∫0xr⁢y⁢d⁢y. Korzystając z oszacowania r⁢y<ε⁢y dla y<δ dostajemy

A zatem

Z dowolności ε>0 wynika, iż R⁢x=o⁢x2.

Dowód twierdzenia 1.10

Niech liczba M spełnia równanie

Celem dowodu jest pokazanie, że M=fk⁢x~k! dla pewnego punktu x~ pomiędzy x0 i x. Określmy funkcję

Zauważmy, że

Ponieważ g⁢x=0, to na podstawie twierdzenia 1.8 istnieje x1∈x0,x, taki że g′⁢x1=0. Stosując jeszcze raz tw. 1.8 do funkcji g′⁢y dla y∈x0,x1 dostajemy x2∈x0,x1, w którym g′′⁢x2=0. Postępując w ten sposób dostajemy ciąg punktów x>x1>x2>⋯>xk>x0, takich że gj⁢xj=0, j=1,…,k. Z warunku dla punktu xk otrzymujemy

Szukanym punktem x~ w twierdzeniu jest więc xk.

Dowód twierdzenia 1.5

Z twierdzenia 1.4 wiemy, że jeśli x0 jest punktem minimum to f′⁢x0=0. Zatem korzystając ze wzoru Taylora, tw. 1.10, uzyskujemy

dla pewnego punktu x~ leżącego pomiędzy x0 i x. Z założenia, że x0 jest minimum lokalnym, otrzymujemy f⁢x-f⁢x0≥0. Stąd i z x-x02≥0 wnioskujemy, że

Jeśli x→x0, to również x~→x0. Wykorzystując ciągłość f′′ dostajemy f′′⁢x0≥0.

Dowód twierdzenia 1.6

Z ciągłości drugiej pochodnej f wynika, że istnieje kula B⁢x0,ε, na której f′′>0. Zatem dla x∈B⁢x0,ε, x≠x0, wnioskujemy ze wzoru Taylora, tw. 1.10, że f⁢x>f⁢x0:

Oznacza to, że f ma ścisłe minimum lokalne w x0.

Dowód twierdzenia 1.7

Z ciągłości f i otwartości W wynika, że istnieje kula B⁢x0,ε⊂W, na której fk jest niezerowa (tzn. fk nie zmienia znaku z ciągłości). Korzystając ze wzoru Taylora, tw. 1.10 i z założeń twierdzenia otrzymujemy

dla dowolnego x∈B⁢x0,ε oraz x~, zależnego od x, należącego do przedziału o końcach x0 i x. Aby zbadać, czy zachodzi jedna z nierówności f⁢x>f⁢x0 lub f⁢x<f⁢x0 dla wszystkich x≠x0, x∈B⁢x0,ε należy zbadać znak członu z potęgą x-x0k. Człon ten zmienia znak dla k nieparzystego, stąd teza (I). Dla k parzystego znak różnicy f⁢x-f⁢x0 zależy od znaku pochodnej fk na B⁢x0,ε.

Dowód

Wzór Taylora, tw. 1.10, daje

gdzie x~ jest pewnym punktem pomiędzy x0 i x. Stąd drugi człon wzoru Taylora decyduje o nierówności pomiędzy f⁢x a f⁢x0 i otrzymujemy obie implikacje w twierdzeniu dotyczące słabych ekstremów.

Załóżmy dodatkowo w pierwszym stwierdzeniu, że f′′⁢x0>0. Z założenia f′′⁢x≥0 i warunku f′⁢x0=0 dostajemy

gdy x>x0. Podobnie pokazujemy, że f′⁢x=-∫xx0f′′⁢y⁢d⁢y≤0, gdy x<x0. Z faktu, że f′′⁢x0>0 i ciągłości drugiej pochodnej dostajemy dodatkowo, że ta pochodna jest ściśle dodatnia w otoczeniu x0. Zatem całki są dodatnie, co pociąga nierówności f′⁢x>0, gdy x>x0, oraz f′⁢x<0, gdy x<x0. Wynika stąd, że funkcja f jest ściśle rosnąca na prawo od x0 i ściśle malejąca na lewo od x0, a więc x0 jest ścisłym minimum. Przypadek ścisłego maksimum dowodzimy analogicznie.