Pod koniec Wykładu IX poznaliśmy już pewne zastosowanie fundamentalnego Twierdzenia 9.2 (pochodzącego od Karusha i Kuhna-Tuckera, podanego w Wykładzie IX w w formacie `wteddy' w wersji z obiektami wklęsłymi/wypukłymi), co prawda zastosowanie dość odległe od analizy portfelowej.
Nasuwa się przy tej okazji pytanie, czy może czytelnik umie rozwiązać Ćwiczenie 9.5 (Wykład IX) bez Twierdzenia 9.2? Jeśli nie, to skromniejsze pytanie mogłoby brzmieć tak: czy w rozwiązaniu Ćwiczenia 9.5 podanym w Wykładzie IX koniecznych jest dziesięć warunków nierównościowych? Np zmniejszenie ilości węzłów z pięciu do trzech dałoby tylko sześć warunków nierównościowych, lecz (chyba) byłoby to wylanie dziecka razem z kąpielą.

Pora teraz na zastosowanie bliższe nurtowi (i nazwie) wykładu. Przez chwilę będzie znowu o modelach ± doskonale skorelowanych.

Czytelnik nabierze wprawy w posługiwaniu się Twierdzeniem 9.2, rozwiązując samodzielnie (względnie śledząc rozwiązanie ukryte pod dodatkowym kliknięciem) następujące proste

Naszym głównym celem w Wykładzie X jest zastosowanie Twierdzenia Karusha-Kuhna-Tuckera 9.2 (w przyszłości będziemy już pisać tylko krótko `K-KT') do zautomatyzowanego poszukiwania portfeli relatywnie  minimalnego ryzyka w modelach Markowitza, które bliższe są warunkom giełdowym niż modele ± doskonale skorelowane.

Dla (niezdegenerowanych) modeli Blacka w Wykładzie VI polegało to na dość standardowym zastosowaniu wiedzy z AM II, bo dwa warunki ograniczające były tylko równościowe. W efekcie gładko dostaliśmy (w Twierdzeniu 6.1) wszystkie portfele krytyczne Blacka układające się na prostej krytycznej Blacka.

Teraz jednak dochodzi k ograniczeń nierównościowych związanych z leżeniem portfeli w sympleksie Δk (nieujemność składowych portfeli, brak krótkiej sprzedaży), co komplikuje sytuację. Jest to jakościowo nowy problem. Czym teraz zastąpiona zostanie prosta krytyczna Blacka?

Zgodnie z tradycją przyjętą w analizie portfelowej, współczynniki Lagrange'a związane z warunkami równościowymi eT⁢x=1, μT⁢x=E (wartości E nie będą teraz dowolne, tylko ograniczone do powłoki wypukłej wartości oczekiwanych stóp zwrotu ze spółek numer 1, 2,…,⁢k) piszemy jako, odpowiednio, λ i -λE, zaś nierówności xi≥0 (i=1, 2,…,⁢k) kodujemy jako ai+2T⁢x≤bi+2, gdzie ai+2=0,…,-1↑i,…, 0T, bi+2=0, i=1, 2,…,⁢k. Jako funkcję f bierzemy

która dla Σ≥0 jest wypukła i różniczkowalna w każdym punkcie y, zaś jej gradient to ∇⁡f⁢y=Σ⁢y. Twierdzenie K-KT zastosowane w tej sytuacji mówi, że x spełniający wymienione warunki jest globalnym minimum f przy podanych warunkach (ograniczeniach)  ⟺  istnieją λ,λE∈R takie, że

Podamy teraz warunek dostateczny, przy którym takie portfele relatywnie minimalnego ryzyka istnieją i są jednoznacznie wyznaczone dla każdej wartości E∈min1≤i≤k⁢μi,⁢max1≤i≤k⁢μi. Jest on trochę za silny (mógłby być trochę osłabiony), co w praktyce jednak nie przeszkadza, bo przy estymacji wartości oczekiwanych z historycznych danych giełdowych praktycznie nigdy nie dostaniemy pary równych wartości. W zamian zaś pozwala zręcznie opisać procedurę poszukiwania.

Mianowicie, w dalszym ciągu zakładamy, że Σ>0 oraz

tzn. wszystkie wartości oczekiwane μi są różne. Te założenia będą obowiązywać do odwołania. (Zauważamy, że są to silniejsze założenia niż dawna informacja (5.2), która wystarczała w teorii Blacka. Przy różnych pod-zestawach zmiennych będziemy w obecnym algorytmie wracać do (5.2).)

Algorytm prowadzący do rozwiązania nie mówi od razu, dla jakich konkretnie wartości E rozwiązanie znajdziemy na konkretnej ścianie sympleksu. Całość poszukiwań dzielimy (niestety lub stety) na etapy, których jest

Etap ∅. Szukanie wśród portfeli x∈Δk:x1>0,⁢⁢x2>0,⁢…,⁢xk>0.
Warunek komplementarności pociąga wtedy wektorową równość

co łącznie z dwoma ograniczeniami równościowymi w problemie zapisujemy przy pomocy tzw. macierzy Lagrange'a, tu wymiaru k+2:

Dawne założenie (5.2) oczywiście wynika z (10.3), więc dostajemy tu jedyne rozwiązanie x,⁢λ,⁢λE⁢E, na temat którego rozwiązujemy następnie układ nierówności x1⁢E>0,⁢⁢x2⁢E>0,⁢…,⁢⁢xk⁢E>0. Wynikiem jest jakiś przedział otwarty wartości E (być może pusty) i odpowiadające portfele x⁢E. Macierz Lagrange'a, która tu została przywołana i użyta, to tylko przeformułowanie i pewne uzwarcenie metody Blacka i noblistów z Wykładu VI. Portfele x⁢E ewentualnie  wyłaniające się w tym etapie są tożsame z portfelami Blacka (6.2) z Wykładu VI leżącymi wewnątrz sympleksu Δk. Na dalszych etapach tak już być nie musi (i najczęściej nie będzie); jednak patrz też Ćwiczenia 11.1 i 11.2 oraz Uwaga 11.2 w Wykładzie XI. Uzwarcenie metody dawane przez macierz Lagrange'a będzie nam pomocne w dalszych etapach.
Wreszcie nazwa tego etapu, ∅, oznacza, że pusty jest w nim zbiór indeksów zmiennych, które przyjmujemy za zero.

Ogólniej, etap OUT, gdzie OUT⊂1, 2,…,⁢k, 0≤#⁢OUT≤k-2, polega na szukaniu
x∈Δk:xj=0 dla j∈OUT, natomiast xi>0 dla i∈IN⁢=def⁢1, 2,…,⁢k⁢⁢\⁢⁢OUT, spełniających warunki w omawianej tu wersji twierdzenia K-KT, tzn.

dla jakichś λ,⁢λE∈R. Równości w (10.5) wynikają z warunku komplementarności, zaś nierówności w (10.5) wynikają z warunku na gradient minimalizowanej funkcji. Oznacza to konkretnie, że w takim etapie OUT najpierw rozwiązujemy układ 2+#⁢IN≥2+2=4 równań liniowych

gdzie ΣIN to macierz Σ po wyrzuceniu wierszy i kolumn o numerach z OUT oraz eIN, μIN to wektory e,⁢μ po odrzuceniu składowych o numerach z OUT.

Ważne jest, że ΣIN>0 oraz μIN∦eIN, a więc stosuje się teoria Blacka i współautorów, tyle, że w wymiarze #⁢IN, nie zaś k. Tu właśnie pracuje zestaw założeń (10.3), Σ>0 i #⁢IN≥2.

Tym sposobem wiemy, że rozwiązania xIN,⁢λ,⁢λE⁢E układu (10.6) istnieją i są jedyne. Z pomocą przyszedł nam, dosyć niespodziewanie, Wykład VI.
Mając już te rozwiązania, rozwiązujemy następnie ze względu na E układ nierówności

W wyniku otrzymujemy przecięcie k półprostych domkniętych i/lub otwartych, czyli, ogólnie rzecz biorąc, przedział  postaci , lub ⁢, lub ⁢, lub ⁢⁢, albo też ∅.

Tak przebiegamy wszystkie 2k-k-1 etapów, w których #⁢IN≥2. (Przypominamy, że takie ograniczenie z dołu na liczebność zbiorów IN było ważne i gwarantowało, oczywiście przy założeniu (10.3), nierównoległość zredukowanych wektorów μIN oraz eIN, a w efekcie możliwość stosowania na każdym etapie OUT klasycznej teorii Blacka i współautorów.)

Zanim sformułujemy zapowiadane twierdzenie ogólne, przyjrzymy się jeszcze autentycznie przełomowemu przykładowi modelu Markowitza w wymiarze 4, pochodzącemu od K. Więcha [29], w którym każdy  etap OUT przynosi niepusty zbiór rozwiązań E. Przykład ten był (tylko) anonsowany w Wykładzie VII. Mianowicie

Wówczas po wykonaniu wszystkich 11=24-4-1 etapów OUT uzyskuje się następujące rozwiązania:

Nawet w tej chwili (w roku akademickim 2009/10) przykład ten wygląda wspaniale, a co dopiero w roku 2001, gdy się pojawił. Proszę np zwrócić uwagę, jaką formalną symetrię środkową ma ciąg typów przedziałów wartości E w lewej kolumnie:

Ogólne twierdzenie na temat zbiorów portfeli relatywnie minimalnego ryzyka w modelach Markowitza musi … poczekać jeszcze chwilę, bo właśnie teraz nadarza się najlepsza okazja, by ugruntować jednocześnie i model Więcha i twierdzenie K-KT.
Portfeli minimalnego ryzyka szukaliśmy dotąd przy pomocy tego twierdzenia w modelach ± doskonale skorelowanych (Ćwiczenia 10.1 i 10.2 powyżej). Natomiast w modelach niezdegenerowanych – jak ten koronny przykład Więcha – jeszcze nie.