1. (15p.)

Rozważamy rodzinę modeli Blacka Σρ,⁢μ, gdzie

Σρ=931322⁢2⁢ρ12⁢2⁢ρ4,⁢μ=542,⁢0≤ρ≤12.

• ∙ Znaleźć (w podanym przedziale) wszystkie wartości parametru ρ, przy których prosta krytyczna jest równoległa do prostej boku e2⁢⁢e3¯ .

• ∙ Jaka jest wtedy odległość prostej krytycznej od prostej boku e2⁢⁢e3¯ ?

2. (15p.)

Wychodzimy od znanego przykładu

Σ=100010001,⁢μ=312.

Zwiększamy teraz ρ13 do pierwszej napotkanej wartości, przy której prosta krytyczna w takim modelu Blacka przechodzi przez wierzchołek 1,0,0T. Znaleźć łamaną wierzchołkową i łamaną efektywną w uzyskanym modelu Markowitza. Wykonać odpowiednie rysunki.

3. (10p.)

Rozważamy inny znany przykład modelu Markowitza

Σ=100011011,⁢μ=312.

Znaleźć w tym modelu portfel optymalny x~op ze względu na stopę bezryzykowną μ0=12 (optymalny, tzn. maksymalizujący współczynnik Sharpe'a).

——————————————————————————————————————–

Pytanie dodatkowe

, będące przedłużeniem zadania nr 1 (NIEOBOWIĄZKOWE):

• ∙ Czy M~-obraz prostej boku e2⁢⁢e3¯ jest wtedy przesunięciem równoległym pocisku Markowitza oglądanego na płaszczyźnie σ2,⁢E ?
  Jeśli tak, to o jaki wektor?
  Za odpowiedź na to pytanie można uzyskać do 8p., przy czym łączny wynik z kolokwium nie może przekroczyć 40p.

Przykładowe rozwiązanie Zadania 1 z kolokwium  (patrz też Ćwiczenie 5.1 w Wykładzie V, które mieści też w sobie Pytanie dodatkowe z kolokwium).

Prosta krytyczna ma [więc] równanie

gdzie c pozostaje do wyznaczenia. Piszemy to równanie w postaci wynikającej z Twierdzenia 5.1 w Wykładzie V:

Warunkiem koniecznym, by równania (12.1) i (12.2) były tym samym, jest równość współczynników przy x2 i x3 w (12.2), 2⁢2⁢ρ=6-6⁢2⁢ρ, stąd ρ=34⁢12, jedyne rozwiązanie, i przy tym leżące w przedziale 0,12.

Wtedy wnioskiem z (12.1) i (12.2) jest 10⁢c+2⁢2⁢34⁢12⁢1-c=0, albo c=-317. By znaleźć odległość prostej krytycznej x1=-317 od prostej boku e2⁢⁢e3¯, tzn. prostej x1=0, zauważamy, że przy zmianie wartości const (w x1=const) od 1 do 0, twierdzenie Pitagorasa mówi, że odpowiednie proste są odległe o 32. Zatem, z proporcjonalności, przy zmianie const od 0 do -317, odległość odpowiednich prostych wynosi -317⁢32=317⁢32.

Odpowiedź liczbowa do Pytania dodatkowego z kolokwium:
obraz prostej krytycznej x1=-317 (czyli pocisk Markowitza) oglądany na płaszczyźnie σ2,⁢E ma równanie

natomiast obraz prostej x1=0 ma równanie

Ten drugi obraz jest więc przesunięciem równoległym pierwszego o wektor 02312-9151=0968=00.13235..., jak na rysunku poniżej [w wersji pdf Rysunek 12.2 trafia na następną stronę].

Jeśli chodzi o związane z nimi gałęzie hiperbol,³⁹w zadaniu się o nie nie pytano to mają one, oczywiście, te same asymptoty przecinające oś O⁢E→ na wysokości 113, ze stosunkiem długości półoś ba=23. Jednak konkretne wartości długości półoś są różne: dla hiperboli (12.3) (niebieskiej na Rysunku 12.3 poniżej) wynoszą one a123=1.3358, b123=1.5424, zaś dla hiperboli (12.4) (czerwonej na Rysunku 12.3) wynoszą a23=1.3844, b23=1.5986. Oto te gałęzie [w wersji pdf Rysunek 12.3 przeskakuje na następną stronę]: