Zanim podamy uzasadnienie algorytmicznej⁴⁰w sytuacjach niezdegenerowanych metody dochodzenia do portfeli optymalnych x~op opisanej w Wykładzie XI, pierwszą połowę tego wykładu chcemy poświęcić alternatywnemu  spojrzeniu na optymalność portfeli w aspekcie M. W tym spojrzeniu [dominujący w głównym nurcie analizy portfelowej] współczynnik Sharpe'a zostaje zastąpiony tzw. oczekiwaną użytecznością inwestora.
Jest to podejście pochodzące od J. von Neumanna i O. Morgensterna – ich podstawowe dzieło poświęcone tej tematyce to [24]. Podejście to wykładane jest bardziej systematycznie na kursach mikroekonomii (także na Wydziale MIM UW; również na WNE, SGH, w Szkole Koźmińskiego, na LSE …). Dla ogólnego i zgrubnego wyrobienia sobie poglądu na tę dziedzinę bardzo godny polecenia jest przeglądowy artykuł [15] dobrze nam znanych autorów Kuhna i Tuckera w zeszycie BAMS upamiętniającym J. von Neumanna.
Podejście z funkcjami użyteczności prowadzi, przy szukaniu portfeli – teraz optymalnych w sensie oczekiwanej użyteczności danego inwestora! – do bardzo naturalnego, kolejnego już w tych wykładach, użycia twierdzenia K-KT (czyli Twierdzenia 9.2 z Wykładu IX). Z tego (i z innych) powodu(ów) warto zrobić taki détour.

Gdzie wobec tego w tej chwili jesteśmy? Po Wykładzie XI tkwimy w pewnym rozkroku, jeśli tak można powiedzieć: jesteśmy w trakcie maksymalizowania współczynnika Sharpe'a w aspekcie M, lecz wykracza to poza optymalizację najbardziej przez nas lubianych [różniczkowalnych] funkcji wklęsłych i wypukłych. Mamy już zasygnalizowane – koniec Wykładu XI – co należy robić; przy tym przy Σ>0 – czysto algorytmicznie.

Podczas, gdy ta nowa (dla nas) mgła osiada,⁴¹właśnie dlatego nowy algorytm był podany od razu z marszu w Wykładzie XI – by w międzyczasie miało co osiadać jest najlepszy moment, by przypomnieć słowa dawnej oceny twierdzenia K-KT, wypowiedziane przez Góreckiego i Turowicza w Wiadomościach Matematycznych XII.1 (i przytoczone w Wykładzie IX w akapicie poprzedzającym Twierdzenie 9.2). Twierdzenie było zaiste doniosłe. Kuhn i Tucker nadali swojej pracy [14] taki, a nie inny tytuł celowo. Chcieli oni wyjść poza rozwiązywanie bardzo wtedy modnych zadań programowania liniowego (liniowa funkcja celu i liniowe ograniczenia równościowe i nierównościowe) – i zdołali to zrobić, zaś przed nimi i niezależnie – uczynił to Karush w [11]. Dlatego nonlinear programming.
Zapowiedziane powyżej zastosowanie twierdzenia K-KT w teorii użyteczności jest dość świeże w wykładach z APRK1 na Wydziale MIM UW – datuje się dopiero od roku akademickiego 2007/08.

W podejściu von Neumanna i Morgensterna uważa się (albo: przyjmuje), że każdy inwestor ma swoją funkcję użyteczności u, którą mierzy czy ocenia możliwy zysk X danego scenariusza inwestycyjnego. Powszechnie przyjmuje się – patrz np już pierwszy rozdział w [1] – że funkcje użyteczności u spełniają trzy aksjomaty (tj, że inwestorzy tylko po takie funkcje sięgają w swoich podświadomościach, albo dokładniej: tylko po takie funkcje sięgają ich podświadomości):

• A1. u jest rosnąca (inwestor jest nienasycony, ang. nonsatiation), u′>0;

• A2. u jest wklęsła (inwestor ma awersję do ryzyka, ang. risk aversion), u′′<0;

• A3. -u′′u′ jest malejąca (inwestor ma malejącą bezwzględną awersję do ryzyka, ang. decreasing absolute risk awersion).⁴²wielkość -u′′u′ bywa nazywana miarą Pratta-Arrowa awersji do ryzyka, czyli: w A3 postuluje się malejącość tej właśnie miary

Dyskutuje się jeszcze jeden (uzupełniający) aksjomat A4, dotyczący zachowania się względnej  awersji do ryzyka inwestora, porównaj [1, strony 24–26], co do zasadności którego nie ma jednak pełnej zgody wśród ekonomistów. Jeden z najbardziej wśród nich znanych, Bawa, ujął to w roku 1975 następująco: ”… decreasing absolute risk aversion is the most restrictive class of utility functions acceptable to most economists.”

Taki X jest zmienną losową z wachlarza (czasem mówi się też: uniwersum) możliwych scenariuszy inwestycyjnych (biznesowych) X:X∈X. Zwykle są one wszystkie określone na tej samej przestrzeni probabilistycznej Ω. Oczekiwana użyteczność danego scenariusza X, oznaczana  U⁢X, to wartość oczekiwana zmiennej losowej u⁢X:

dla X∈X. W teorii użyteczności przyjmuje się, że inwestor dąży do maksymalizacji oczekiwanej użyteczności U⁢X:

Jednak na takim poziomie ogólności nie jest to wszystko zbyt … użyteczne. Liczenie oczekiwanych użyteczności zależy przecież od całkowania po trudnych do dokładniejszego sprecyzowania przestrzeniach probabilistycznych. Także problem istnienia  scenariusza maksymalizującego oczekiwaną użyteczność jest w ogólności trudny.

Teoria użyteczności sama staje się użyteczna gdy oczekiwana użyteczność U⁢X zależy tylko od kilku dyskretnych parametrów związanych ze zmienną losową X. Najlepiej – jedynie od wartości oczekiwanej E⁢X i odchylenia standardowego σ⁢X:

przy czym, powtórzmy, U(⋅) cały czas spełnia (13.1), z funkcją użyteczności u spełniającą A1 – A3 +

Jak naturalny jest, w teorii użyteczności na styku z analizą portfelową, warunek (13.2), niech świadczy następujący dłuższy cytat z jednej z najważniejszych prac w analizie portfelowej [23]. (Dodajmy, że `individuals' uczestniczący w grze akcjami na giełdzie pojawiają się tam, jak deus ex machina, dopiero w cytowanym twierdzeniu, na dziewiątej stronie pracy.)

Theorem I (a mutual fund theorem). Given m assets satisfying conditions […], there are two portfolios (”mutual funds”) constructed from these m assets, such that all risk-averse individuals, who choose their portfolios so as to maximize utility functions dependent only on the mean and variance of their portfolios, will be indifferent in choosing between portfolios from among the m original assets or these two funds.

To prove Theorem I, it is sufficient to show that any portfolio on the efficient frontier can be attained by a linear combination of two specific portfolios because an optimal portfolio for any individual (as described in the theorem) will be an efficient portfolio.

Podczas kursu APRK2 przedstawiana jest dosyć szeroka klasa rozkładów zmiennych losowych X, dla których (13.2) ma miejsce. Teraz musimy się zadowolić tylko stroną praktyczną – zakładać (13.2) i rozważać konkretne sytuacje związanie z maksymalizowaniem pewnych funkcji od E,⁢σ, gdzie w domyśle E=E⁢X, σ=σ⁢X dla X∈X. Przy tym w analizie portfelowej, jak już wspominaliśmy w Wykładzie VII, wachlarz X to xT⁢R:x∈Δk w aspekcie M, względnie xT⁢R:x∈H⊂Rk w aspekcie B.

Co więcej można powiedzieć o pojawiających się w taki sposób funkcjach f⁢E,⁢σ? Dokładniej, co można powiedzieć o poziomicach takich funkcji, czyli krzywych obojętności inwestora (ang. indifference curves)?

Otóż wymienione wcześniej aksjomaty A1 – A3 implikują,⁴³po pewnych dodatkowych przybliżeniach, w tym: bliskich zaproponowaniu pewnej formy aksjomatu A4, porównaj też [1] że rozwikłania związków f⁢E,⁢σ=const, tzn. funkcje E=E⁢σ, są rosnące i wypukłe.
Właśnie te własności funkcji E=E⁢σ są implicite zakładane w konkretnych  zadaniach pojawiających się od pewnego czasu w kursie APRK1.

W tym rozwiązaniu wsparliśmy się wyciągniętym z kapelusza faktem geometrycznym, który znajdzie swoje objaśnienie dopiero ex post. Czy nie możnaby rozwiązywać takich zadań na ślepo, niejako automatycznie?

Odpowiedź brzmi TAK, ponieważ chodzi tu o maksymalizację funkcji F⁢x1,⁢x2,⁢x3 stojącej po prawej stronie (13.4), która jest wklęsła i różniczkowalna jako funkcja zmiennych x1,⁢x2,⁢x3∈R3. Maksymalizacja ma być warunkowa, przy ograniczeniu równościowym x1+x2+x3=1 i ograniczeniach nierównościowych x1≥0,⁢x2≥0,⁢x3≥0. Mieści się to dokładnie w zakresie stosowalności twierdzenia K-KT, skąd wyłania się

Twierdzenie K-KT jeszcze raz pokazało swoją siłę.

Zwracamy uwagę, że w tym podejściu funkcja oczekiwanej użyteczności U nie zawsze musi być podana explicite. Znane mogą być tylko jej poziomice, czyli krzywe obojętności inwestora, bez podania, jakim wartościom  U odpowiadają. Tak było np w zadaniu z egzaminu z APRK1 ze stycznia 2008.

Pierwsza część zadania

Teraz część druga zadania.

Część trzecia zadania.

Jako pewien test, czy ten nowy obszar zastosowań twierdzenia K-KT został już dobrze opanowany, spróbujmy wspólnymi siłami poszukać portfela Markowitza w modelu z parametrami

optymalnego ze względu na (skądś) znaną funkcję oczekiwanej użyteczności U⁢σ,⁢E=33⁢E-2⁢E2-2⁢σ2. No i na koniec policzyć też, ile ta maksymalna oczekiwana użyteczność wynosi: 50, 75, 100 ?

Mają to być oczekiwane użyteczności portfeli, a więc wprowadzamy funkcję wklęsłą i różniczkowalną F⁢x=33⁢⁢μT⁢x-2⁢μT⁢x2-2⁢⁢xT⁢Σ⁢⁢x i pamiętamy o ograniczeniu równościowym eT⁢x=1 oraz o standardowych ograniczeniach nierównościowych w Markowitzu xi≥0, i=1, 2, 3.

Szukamy zatem – właśnie technologia K-KT – takiego(ch) portfela(i) x, dla którego(ch) istnieje λ∈R taka, że ∇⁡F⁢x+λ⁢e≤0 w sensie wektorowym oraz spełniony jest warunek komplementarności xT⁢∇⁡F⁢x+λ⁢e=0.

Szukać będziemy etapami.

Etap 0. x1>0,⁢x2>0,⁢x3>0. Warunek komplementarności oznacza teraz wszystkie ”=” zamiast ”≤”, co, wobec rachunku (13.5) i łącznie z ograniczeniem równościowym oznacza

Rozwiązaniem jest x1,⁢x2,⁢x3,⁢λ=-1924,⁢6536,-172,-352, a więc Etap 0 na pewno nie da nam rozwiązania.

Etap 1.1. x1=0,⁢x2>0,⁢x3>0. Tym razem, znowu używając (13.5), warunek komplementarności prowadzi do układu równań

i dalej do x2,⁢x3,⁢λ=34,⁢14,-46. To już stwarza nadzieję na rozwiązanie, choć musimy jeszcze sprawdzić nierówność
∇⁡F⁢x+λ⁢e1≤0, tzn. nierówność 66-36⁢x2-48⁢x3+λ≤0.

Jest ona spełniona, 66-36⋅34-48⋅14-46=-19≤0, więc twierdzenie K-KT właśnie dało nam szukane rozwiązanie x=0,⁢34,⁢14T.

Liczymy (niemalże) w pamięci, że E⁢x=174 oraz σ2⁢x=112. Oczekiwana użyteczność portfela x, maksymalna w aspekcie M, to  U⁢σ⁢x,⁢E⁢x=33⋅174-2⁢1742-2⋅112=93.125.

Wreszcie, jako ostateczny test w zakresie teorii użyteczności, polecamy szczególnie Zadanie 2 w następującym przykładowym zestawie trzech zadań z analizy portfelowej (oferującym też jeszcze pytanie dodatkowe).

Przerywamy już tę (za) długo trwającą dygresję o teorii użyteczności; mogła ona trwać jeszcze dłużej, jeśli po drodze rozwiązywało się zadania.

Wracamy do sprawy najważniejszej, czyli do maksymalizowania współczynnika Sharpe'a w aspekcie M, no i do algorytmu, który ma to robić ,,za nas”.
Dużą część naszej dotychczasowej wiedzy puścimy w ruch w trakcie dyskusji jednej konkretnej sytuacji. Mianowicie

jednym z dobrze rozpoznanych, jeśli chodzi o łamaną wierzchołkową Ł, jest przykład

który wystąpił na egzaminie w VI. 2006 i – w innym kontekście – także na kolokwium w XII. 2007, no i także już w tym bieżącym wykładzie (w Przykładzie 13.2, w kontekście teorii użyteczności). Łamana Ł wygląda w nim następująco:

[w wersji pdf Rysunek 13.4 przeskakuje aż dwie strony dalej!]

Zaproponujemy tutaj portfel x~op, nie znając jeszcze konkretnej wartości μ0, której on odpowiada. μ0 poznamy chwilę później, używając już posiadanej wiedzy.
Niech x~op będzie środkiem `najwyższego' boku Ł, x~op=01767,  M⁢x~op=57⁢3347. Ten punkt leży na granicy efektywnej w odpowiednim modelu Markowitza (granica efektywna w aspekcie M tu zaczyna się dokładnie tam, gdzie zaczyna się aktywna w modelu Markowitza część pocisku Markowitza). Styczna do granicy efektywnej w M⁢x~op przecina pionową oś O⁢E→ na wysokości μ0,

gdzie α23,⁢β23 i γ23 są z teorii Blacka przy IN=2, 3. Dla tego modelu liczy się je niemalże w pamięci i wtedy

(przypadkowo też wysokość przełączenia się granicy minimalnej z pocisku Markowitza na obraz boku e1⁢⁢e3¯). Teraz już wiemy, że portfel x~op jest optymalny w tym modelu Markowitza ze względu na stopę bezryzykowną μ0=113.
Te słowa rzucają też snop światła na Rysunek 13.1 i dotąd tajemnicze rozwiązanie A problemu zaproponowanego w Przykładzie 13.2 (tamten rysunek jest ukryty w rozwiązaniu; trzeba w nie wejść, by go zobaczyć).

Zobaczmy, jak w tej sytuacji pracuje algorytm podany na Wykładzie XI.

Etap ∅ to [w pierwszej fazie, przed sprawdzaniem ostrych nierówności], z warunku komplementarności, poszukiwanie portfela xop optymalnego w Blacku (13.6) ze względu na tę samą μ0=113. Otóż ten portfel nie jest Markowitza. Istotnie, portfel 0,⁢27,⁢57T na przecięciu boku e2⁢⁢e3¯ i prostej krytycznej Blacka dla danych (13.6) jest optymalny w takim modelu Blacka ze względu na

a więc E⁢xop>337 i portfel xop leży na prostej krytycznej poza sympleksem Δ3.⁴⁵Jest ćwiczeniem sprawdzającym znaleźć ten portfel xop, patrz też Rysunek 13.4.

Etap OUT=1 to szukanie y=0,⁢y2,⁢y3T, y2,⁢⁢y3>0 i

co daje y2=19, y3=69, zaś nierówność na pierwszej składowej 19+69-3+113≥0 jest spełniona.
Algorytm kończy się więc na tym etapie, dając po normalizacji yeT⁢y=0,⁢17,⁢67T=x~op zgodnie z oczekiwaniami.

Nie jest to koniec naszych przykładów szukania portfeli optymalnych w aspekcie M. Takie portfele pojawią się jeszcze w następnym Wykładzie XIV.

Tymczasem jednak niecierpiące zwłoki są zręby ważnej teorii, sięgające wstecz do roku 1965 (praca O. L. Mangasariana [18]) niezbędne do tego, co wymienione w tytule tu poniżej.

Uzasadnienie algorytmicznej metody przedstawionej w Wykładzie XI.

Na samym początku potrzebny jest nam mały rozbieg – musimy cofnąć się do różniczkowalnych funkcji wypukłych i wklęsłych wielu zmiennych. Ten temat jest niestety traktowany trochę po macoszemu w kursie AM II (zresztą tam, jak wiadomo, prawie na nic nie starcza czasu). Jeśli f:G∩Rk⟶R, G otwarty wypukły, jest różniczkowalna, wtedy

Także w wersji ostrej, czy ścisłej,

Analogiczna, z nierównościami w przeciwnych kierunkach, jest charakteryzacja funkcji wklęsłych różniczkowalnych.
(Tej wiedzy zwykle nie uzyskuje się w kursie AM II, lecz dopiero na zajęciach z Optymalizacji. Tymczasem chodzi tu o zupełnie podstawowe intuicje geometryczne związane z funkcjami wklęsłymi/wypukłymi wielu zmiennych w ich punktach różniczkowalności – o podpieranie z góry/dołu wykresów takich funkcji przez afiniczne  przestrzenie styczne do tych wykresów.)

To przypomnienie stanowi motywację i punkt wyjścia do zdefiniowania ogólniejszych własności różniczkowalnych funkcji wielu zmiennych, niż wklęsłość/wypukłość.⁴⁶na poziomie definicji, sama wklęsłość/wypukłość funkcji nie wymaga różniczkowalności

Obserwacja. 13.1  Funkcja różniczkowalna wklęsła (wypukła) jest także pseudo-wklęsła (pseudo-wypukła).

Wynika to od razu z Definicji 13.1, po wykorzystaniu przypomnianych chwilę wcześniej charakteryzacji funkcji wklęsłych i wypukłych różniczkowalnych.