Pod koniec poprzedniego wykładu poznaliśmy klasę funkcji wielu zmiennych, które są pseudo-wklęsłe lub pseudo-wypukłe. Najważniejszą dla nas sprawą związaną z tymi funkcjami jest to, że zachodzi dla nich wersja twierdzenia Karusha-Kuhna-Tuckera! Czasami mówi się krótko, że to twierdzenie, i to w formacie `wteddy', jest też prawdziwe w kategorii pseudo-wypukłej. Podajemy je tutaj, bez dowodu jak i Twierdzenie 9.2, w nienajogólniejszej wersji – tylko przy ograniczeniach nierównościowych (bez równościowych, bo w zastosowaniu nasze funkcje będą niezmiennicze ze względu na skalowanie argumentu). Ponadto warunki nierównościowe są tylko w postaci liniowej. Większej ogólności nie potrzebujemy; byłaby tylko naszym wrogiem, nie zaś sojusznikiem.
(Większą ogólność czytelnik znajdzie już w pionierskiej pracy [18]. To właśnie tam, na stronie 281, zdefiniowane zostały funkcje pseudo-wklęsłe i pseudo-wypukłe, natomiast Theorem 1 na stronach 284-5 jest ogólną wersją twierdzenia typu K-KT w kategorii pseudo-wypukłej i w formacie `wteddy'. Nazwisko Karush nie pojawia się w [18]. Warto też zwrócić uwagę na `Section 3. Remarks on pseudo-convex functions' na stronach 288-9. Lokalne minimum jest zawsze dla tych funkcji globalnym minimum (!) i własność tę dziedziczy nawet pewna jeszcze szersza klasa funkcji ściśle quasi-wypukłych, także zdefiniowana w [18].)

Z punktu widzenia formalnego prawie nie ma tu różnic z wersją podaną w Wykładzie IX jako Twierdzenie 9.2. I wtedy i teraz mamy bowiem do czynienia z produktami pochodnymi od fundamentalnych rezultatów zawartych w pracach [11] i [14], o czym była już mowa w Wykładzie IX. Należy jednak pamiętać – powtarzamy to – że Karush oraz Kuhn z Tuckerem dawali tylko warunki konieczne dla ekstremum warunkowego z ograniczeniami nierównościowymi. Dopiero w kategorii wypukłej (Twierdzenie 9.2) bądź pseudo-wypukłej (Twierdzenie 14.1) stają się one warunkami równoważnymi, i to od razu na globalne ekstremum warunkowe.
Teraz do dzieła: wyruszamy na poszukiwanie w analizie portfelowej funkcji pseudo-wklęsłej określonej na dziedzinie wypukłej, i do tego mającej odpowiednie maksimum warunkowe.

Szczegółowa analiza funkcji prowadzącej do współczynnika Sharpe'a

Innym – a przy tym w analizie portfelowej najważniejszym! – przykładem funkcji, która nie jest ani wklęsła, ani wypukła, jest tzw. pre-współczynnik Sharpe'a. Dokładniej, mając dane Σ,⁢μ,⁢μ0, gdzie Σ>0, μ∦e (to nasze dawne założenie (5.2)) oraz: μ0<E0=βγ w aspekcie B, względnie μ0<max1≤i≤k⁢μi w aspekcie M, rozważamy funkcję

określoną na otwartym i wypukłym (co widoczne) zbiorze G⊂Rk.
Zauważamy od razu, że gdy x∈G oraz eT⁢x=1, wtedy S⁢x jest po prostu współczynnikiem Sharpe'a, przy stopie bezryzykownej wynoszącej μ0, portfela x. Jest tak zarówno w aspekcie B, jak i M.

Co prawda – szczegół dość istotny – w żadnym z aspektów nie liczymy tak współczynników Sharpe'a wszystkich dostępnych portfeli, a tylko tych, które mają ten współczynnik dodatni. Idzie jednak o jego maksymalizację i w każdym z aspektów jasno widać, że są portfele o tym współczynniku dodatnim.

Obserwacja. 14.1  Przy wymienionych wyżej założeniach, każda taka funkcja S [którą w analizie portfelowej chcemy maksymalizować] nie jest wklęsła na G.

Uzasadnienie.⁴⁷zadziwiająco niekrótkie, zastępujące inne, nie do końca przekonywujące, podane podczas samych wykładów (w [13] treść Obserwacji 14.1 była zadaniem z gwiazdką) Oznaczając dla krótkości ν=μ-μ0⁢e (ν≠0, bo (5.2)), mamy zwartą postać wzoru na funkcję S, S⁢x=νT⁢x⁢xT⁢Σ⁢⁢x-12, dzięki czemu szybko liczymy jej gradient:

Pokażemy, że w dziedzinie G niezwykle często zachodzi nierówność pojawiająca się w definicji ścisłej wypukłości funkcji różniczkowalnych,

Szukamy zatem takich ,,złych” par x,⁢y∈G×G, że

(porównaj (14.3)). Lub, równoważnie,

Lub jeszcze równoważnie,

Jak to spełnić? Okaże się, że da się to uzyskać przy dowolnym wektorze x∈G takim, że x∦Σ-1⁢ν, albo, co tutaj równoważne, Σ⁢x∦ν. Ustalmy dowolny taki właśnie wektor x.

Zmieniajmy teraz y, biorąc a⁢y zamiast y, a>0. Wtedy nowa lewa strona w (14.5) to (stara LHS)⋅a, podczas gdy prawa strona w (14.5) pozostaje niezmienna! Wystarczy więc, by stara LHS była dodatnia. Wtedy (biorąc dostatecznie duże a>1) już łatwo uzyskamy pożądaną nierówność dla poprawionej pary wektorów x i a⁢y. Jak więc zapewnić sobie νT⁢xxT⁢Σ⁢⁢x⁢xT⁢Σ⁢⁢y-νT⁢y>0 ?

Szukajmy takich wektorów y (jeszcze przed ich ewentualnym przeskalowaniem) w postaci y=x+h. Po podstawieniu i skróceniu wyrazów ma więc być νT⁢xxT⁢Σ⁢⁢x⁢xT⁢Σ⁢⁢h-νT⁢h>0 , albo równoważnie

Wektor w nawiasie jest niezerowy – po to właśnie zrobiliśmy założenie Σ⁢x∦ν. Łatwo zatem znaleźć taki wektor h, by zachodziła nierówność (14.6) i przy tym taki, by x+h∈G. (Np, wobec otwartości zbioru G, dobry jest każdy h spełniający (14.6) i dostatecznie mały co do długości; euklidesowej, czy też wyznaczonej przez iloczyn skalarny dawany macierzą Σ – bez znaczenia.)

To już koniec (at long last!) uzasadniania Obserwacji 14.1. Nierówność (14.5) zachodzi dla wektorów x oraz y=a⁢x+h wyspecyfikowanych w trakcie tego uzasadniania. Reasumując, pasują tu m. in. prawie wszystkie x∈G wraz z dobieranymi do tych x-ów z ogromną swobodą wektorami y=a⁢x+h.

Natomiast okazuje się, że takie funkcje S są pseudo-wklęsłe.

Maksymalizacja współczynnika Sharpe'a, w aspekcie M i przy silnych założeniach.

Aspekt M oznacza, że chcemy maksymalizować pre-współczynnik Sharpe'a S na zbiorze G∩x≥0. Nie ma więc tu żadnych ograniczeń równościowych (pracujemy z pre-współczynnikiem niezmienniczym ze względu na skalowania), zaś ograniczenia nierównościowe to właśnie x≥0 (jedna nierówność wektorowa skrywająca k nierówności skalarnych). W tej części zakładamy, że Σ>0. Zaraz puścimy w ruch budowaną od dawna maszynerię.

Jest niezmiernie ważne, że punkty maksymalizujące funkcję S na G przy podanych ograniczeniach w ogóle istnieją – że mamy czego szukać przy pomocy Twierdzeń 14.1 i 14.2.
Istotnie, z racji dodatniej jednorodności stopnia 0 funkcji S można rozważać tylko argumenty z G∩Δk, zaś skoro o maksymalizację S chodzi, to ,,nic złego nam nie dojdzie” gdy będziemy rozważać wszystkie portfele z Δk (bo wobec założeń o μ0 istnieją portfele x∈Δk, dla których S⁢x>0, więc maksymalizacja S i tak odbywać się będzie w części G⁢∩⁢Δk). Dalej to już standard z pogranicza analizy i topologii: ciągłość S na zwartym zbiorze Δk i twierdzenie Weierstrassa.
Tak więc maksimum funkcji S na G⁢∩x≥0 jest osiągane. Przechodzimy teraz do wyłuskiwania tych miejsc, gdzie to się dzieje. Będzie ich dużo, bo przecież wspomniana dodatnia jednorodność stopnia 0.

W Twierdzeniu 14.1 przyjmujemy l=k oraz ai=-ei, bi=0 dla i=1, 2,…,⁢k. Wtedy warunki (14.1) właśnie kodują nieujemność wszystkich składowych wektora x. (Spotykaliśmy się już z takim kodowaniem nieujemności składowych portfela Markowitza przy stosowaniu Twierdzenia 9.2. Można powiedzieć, że jest to dla nas chleb powszedni.)

Na mocy Twierdzenia 14.1, x0∈G∩x≥0 jest punktem (pre-portfelem) maksymalizującym S na G∩x≥0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją niedodatnie współczynniki λ1,…,⁢λk takie, że

1. ∇⁡S⁢x0=-∑i=1kλi⁢-ei  oraz

2. ∑i=1kλi⁢0--eiT⁢x0=0  (z warunku komplementarności).

Pierwszy z tych wzorów pokazuje, że gradient S w x0 jest niedodatni jako wektor i równocześnie mówi, że współczynniki λi są po prostu składowymi tego wektora gradientu. To pozwala dużo bardziej operatywnie zapisać drugi wzór, i łącznie w ten sposób

• ∙ ∇⁡S⁢x0≤0 oraz

• ∙A∙ x0T⁢∇⁡S⁢x0=0 .

Teraz należy rozszyfrować ∙ pamiętając, że ∇⁡S⁢x0=x0T⁢Σ⁢⁢x0-12⁢ν-νT⁢x0x0T⁢Σ⁢⁢x0⁢Σ⁢⁢x0. Pisząc jako
y0=νT⁢x0x0T⁢Σ⁢⁢x0⁢x0 pewną dodatnią wielokrotność portfela x0, ∙ oznacza

zaś ∙A∙ oznacza x0T⁢Σ⁢y0-μ+μ0⁢e=0, albo równoważnie

przy czym oczywiście y0≥0, eT⁢y0>0. To właśnie są nasze stare dobrze znajome związki (11.10).

Uzasadnienie sposobu szukania portfeli optymalnych x~op w teorii Tobina przy Σ>0 jest teraz zakończone. (W końcówce trochę szybko to poszło; czytelnik nie takiej końcówki się spodziewał po długim wstępie.) Jednak – uwaga – dalece nie jest zakończone przy ogólniejszych macierzach Σ≥0. Tym przypadkiem zajmiemy się niebawem.

W tym momencie narzuca się, tak: wręcz narzuca się pytanie, czy rozwinięta tu powyżej technika pracy z pre-współczynnikiem Sharpe'a S nie wyprodukowałaby jeszcze raz (niejako po drodze) wzoru na portfele optymalne xop w zmodyfikowanej teorii Tobina, tj przy z powrotem dopuszczanej nieograniczonej krótkiej sprzedaży i, oczywiście, dla Σ>0.

Odpowiedź jest twierdząca, bo przecież zerowanie się gradientu funkcji pseudo-wklęsłej w punkcie zbioru otwartego wypukłego jest równoważne jej maksymalizacji na tym zbiorze w tym właśnie punkcie: konieczność tego warunku to fakt ogólny z AM II, sięgający wstecz aż do Fermata (połowa XVII wieku), natomiast jego dostateczność wynika z samej definicji – patrz Definicja 13.1 w Wykładzie XIII.
Mając zatem jakiś y∈G taki, że

zapisujemy ten fakt w postaci

Skoro ten y spełnia (14.7), to wszystkie t⁢y:t⁢y∈G też spełniają (14.7). Zatem wszystkie y=t⁢Σ-1⁢ν, t>0, spełniają (14.7), a wśród nich ten dla t=eT⁢Σ-1⁢ν-1, tzn. portfel xop. Rozumiemy to tak, że wiele punktów w G maksymalizuje S, lecz wśród nich jest tylko jeden portfel — właśnie portfel xop.

Maksymalizacja współczynnika Sharpe'a, w aspekcie M i teraz przy słabszych założeniach.

Założenie (5.2) jest nie do podważenia – nie mogą wszystkie wartości oczekiwane stóp zwrotu z walorów giełdowych być takie same; mapa Markowitza musi być dwuwymiarowa! Za to do rozważenia jest osłabienie założenia Σ>0. W tej części Wykładu XIV zakładamy tylko, że Σ≥0. Jaką wtedy mamy wiedzę nt portfeli optymalnych?

Jeśli chodzi o aspekt B, to takie osłabienie wiedzy nt macierzy kowariancji, nawet bez zerowania się ryzyka niektórych portfeli, może prowadzić do nieistnienia portfeli optymalnych ze względu na jakąkolwiek ustaloną stopę bezryzykowną. Pamiętamy jeszcze Przykład 7.1 w Wykładzie VII, gdzie po przejściu od aspektu M do aspektu B portfele efektywne po prostu wyparowały. Tymczasem portfel optymalny względem jakiejś stopy μ0 musiałby być efektywny; optymalnych więc nie ma. Zresztą granica minimalna jest pionową prostą σ=12 jak na Rysunku 7.1, i współczynnik Sharpe'a każdego portfela krytycznego łatwo jest (graficznie) powiększyć.

Dużo ciekawszy jest aspekt M, kiedy to większość dotychczasowych rozważań przechodzi, co prawda tylko dla odpowiednio wybranych wartości μ0.
Po pierwsze, przy macierzy kowariancji nieujemnie określonej ryzyko portfeli Markowitza nie musi  schodzić do zera; widzieliśmy to już w ćwiczeniu w Uwadze 7.2. Wtedy dodatkowe ograniczenie dolne na μ0 zaproponowane w (14.8) poniżej jest puste. Często jednak ryzyko schodzi do zera (choćby w modelach doskonale ± skorelowanych), i wtedy w mianowniku wyrażenia definiującego współczynnik Sharpe'a może (czy: mogłaby) dziać się katastrofa. By jej uniknąć,⁴⁸by, jak mówią anglosasi, be on the safe side  zakładamy w dalszym ciągu, że

(piszemy max zamiast sup, bo znowu w grę wchodzi ciągła funkcja E(⋅) na zbiorze zwartym).

Uwaga. Jeśli w Δk nie ma portfeli o zerowym ryzyku, to dodatkowego dolnego ograniczenia na μ0 po prostu nie ma.

Pre-współczynnik Sharpe'a S zdefiniujemy teraz nie na całym zbiorze G zdefiniowanym w (14.2), tylko na o wiele mniejszym zbiorze [też, jak i G] wypukłym i otwartym G~ w Rk, G~⊂G. W dobrym określeniu tej dziedziny dla S tkwi teraz główna trudność. Szczególnie chodzi tu o wypukłość zbioru – funkcje pseudo-wklęsłe potrzebują wszak wypukłej dziedziny!
Uwaga. W ważnym fragmencie wykładu przedstawionym tu niżej mignie też przez chwilę jedna najprostsza możliwość, gdy nowy G~ będzie starym G. Nie o to nam jednak głównie chodzi …

Konstrukcja dziedziny pre-współczynnika Sharpe'a gdyΣ≥0.

Zauważamy, że zbiór Z1=x∈Δk⁢|⁢⁢νT⁢x>0 jest niepusty wypukły (co oczywiste) oraz nie zawiera portfeli o zerowym ryzyku, bo na nich (jeśli takowe w Δk są) funkcjonał νT jest ujemny – patrz (14.8).

Dla potrzeb dalszego rozumowania, niech Z⁢e⁢r⁢o=x∈H⁢|⁢σ⁢x=0. Ten zbiór stanowi przeszkodę, choć wyjątkowo może nawet być pusty przy macierzy Σ≥0 (znamy dobrze jeden taki przykład).
Jeśli zbiory Δk i Z⁢e⁢r⁢o są rozłączne, to liczby δ tu poniżej nie definiujemy. Natomiast jeśli mają one niepuste przecięcie, to zauważamy, że wartości funkcji liniowej E(⋅) na zbiorach Z1 oraz Z⁢e⁢r⁢o⁢∩Δk różnią się – patrz (14.8) – o pewną dodatnią wielkość. Te dwa zbiory wartości są od siebie oddzielone na osi liczbowej, natomiast funkcja E:H→R jest jednostajnie ciągła. Zatem i zbiory argumentów muszą być oddzielone w przestrzeni H:

Trochę większy kłopot jest z częścią zbioru Z⁢e⁢r⁢o położoną poza Δk — znowu: jeśli tylko jest ona niepusta. (Jeśli jest pusta, to z kolei nie definiujemy liczby δ′ poniżej.)

Mamy więc sytuację Z⁢e⁢r⁢o∖Δk≠∅.
Przypuśćmy wówczas, że dist⁢Z1,⁢⁢Z⁢e⁢r⁢o∖Δk=0.

Istnieją zatem ciągi portfeli xn⊂Z1⊂Δk oraz yn⊂Z⁢e⁢r⁢o∖Δk takie, że xn-yn→0 gdy n→∞. Sympleks Δk jest zwarty, więc istnieje podciąg portfeli xnm zbieżny do jakiegoś portfela x¯∈Δk gdy m→∞. Oczywiście też ynm-⁢x¯→0 gdy m→∞.
Wobec σ⁢ynm=0 dla m∈N, i z ciągłości funkcji σ(⋅) na H, mamy σ⁢x¯=0. W sytuacji, gdy Z⁢e⁢r⁢o⁢∩Δk=∅ (tj gdy nie ma liczby δ), sprzeczność jest już, bo jednak x¯∈Z⁢e⁢r⁢o∩Δk.

Jeśli zaś Z⁢e⁢r⁢o∩Δk≠∅ (liczba δ jest), wtedy sprzeczność jeszcze przez chwilkę dokuwamy: νT⁢x¯≥0, bo νT⁢xnm>0 dla m∈N. Ta własność hipotetycznego portfela Markowitza x¯  wraz z  wcześniejszą wiadomością σ⁢x¯=0 już dają sprzeczność z lewą nierównością w (14.8).
Tak, czy inaczej, portfel x¯ nie może istnieć. Tym samym udowodniliśmy ad absurdum, że

o ile tylko Z⁢e⁢r⁢o∖Δk≠∅.

Mamy więc dwie warunkowo zdefiniowane liczby: δ i δ′. Warunkowość oznacza tu, że być może któraś z nich jest nieokreślona, względnie nawet obie są nieokreślone (powtarzamy, że może  tak być nawet przy częściowo zdegenerowanej macierzy Σ).

Jeśli obie te liczby są nieokreślone, albo innymi słowy Z⁢e⁢r⁢o=∅, wtedy … nie dzieje się nic nowego pod słońcem⁴⁹zasada brzytwy Ockhama  i kładziemy G~=G. O tej rozczarowującej możliwości wspominaliśmy już w Uwadze wyżej.

Jeśli zaś przynajmniej jedna z tych liczb jest określona, to wnioskiem z (14.9) i/lub (14.10) jest

z naturalnym rozumieniem i rolą liczby r gdy jednej z liczb delta nie ma. Teraz już możemy skonstruować zbiór Z2, H⊃Z2⊃Z1, otwarty w H, wypukły i rozłączny z niebezpiecznym zbiorem Z⁢e⁢r⁢o:

gdzie B⁢x,⁢r to kula otwarta w hiperpłaszczyźnie H o środku w x i promieniu r (zawsze w użyciu jest odległość euklidesowa, dziedziczona w H z Rk).

Otwartość Z2 w H jest jasna, rozłączność ze zbiorem Z⁢e⁢r⁢o wynika z (14.11) (kule w (14.12) są, przypominamy, otwarte). Wypukłość Z2 wynika wprost z wypukłości Z1. Dokładniej, pożyteczne jest samodzielnie rozwiązać następujące ogólne

Wybór Z2 dokonany w (14.12) jest kluczowy. To pewna wypukła otoczka w H pewnej części sympleksu standardowego Δk. Może to jednak być bardzo cienka otoczka w H (r może być maleńkie dodatnie), niewiele większa od samej otaczanej części sympleksu.

Niech teraz G~ będzie po prostu stożkiem nad Z2,

(prawa inkluzja jest oczywista). Skoro zbiór Z2 był wypukły i otwarty w H, więc zbiór G~ zdefiniowany w (14.13) jest z kolei wypukły i otwarty w Rk. Właśnie na takiej dziedzinie G~ rozważamy teraz pre-współczynnik Sharpe'a S:G~∋x↦S⁢x. Dosyć ciężka walka została stoczona, by był on dobrze określony na całym otwartym i wypukłym G~ (pamiętna rozłączność Z2 z Z⁢e⁢r⁢o na poziomie hiperpłaszczyzny H).

Czy jest to właściwy punkt wyjścia do jego maksymalizacji na całym sympleksie standardowym, oczywiście z wyłączeniem portfeli mających zerowe ryzyko?⁵⁰Taka propozycja dziedziny dla S jest lekko niestandardowa. Ta dziedzina nie obejmuje przecież całego Δk bez portfeli zerowego ryzyka! Tak jest, lecz tak też było w łatwiejszej sytuacji Σ>0 na początku tego wykładu; nie będzie to przeszkadzać w naszej maksymalizacji S. To tylko cena (niejedyna, też założenie (14.8)), jaką musimy zapłacić, by mieć wypukłość dziedziny dla S.  Wyjaśnijmy to tutaj dokładniej. Lewą nierówność w (14.8) można przepisać w postaci

Skoro jest tak, to także

dla pewnego dostatecznie małego dodatniego σ0. Wobec tego maksymalizacja współczynnika Sharpe'a na zbiorze x∈Δk⁢⁢⁢σ⁢x⁢0 jest tym samym, co jego maksymalizacja na zbiorze x∈Δk⁢|⁢σ⁢x≥σ0 – bo odpadają tylko pewne ujemne wartości funkcji, która przyjmuje też⁵¹zresztą dokładnie na zbiorze Z1 zdefiniowanym wcześniej wartości dodatnie. Na ostatnim zapisanym tu zbiorze ten współczynnik jest funkcją ciągłą, zaś sam zbiór jest zwarty. Przeto jego kres górny na tym zbiorze jest skończony i jest osiągany. To właśnie było nam potrzebne, bo tym samym kres górny współczynnika Sharpe'a na x∈Δk⁢⁢⁢σ⁢x⁢0 jest skończony i osiągany! Przy tym, rzecz prosta, jest on osiągany w punkcie, lub punktach, zbioru Z1, który posłużył nam wcześniej do zaproponowania okrojonej dziedziny dla pre-współczynnika S.
Idziemy teraz za ciosem, bez straty ogólności pozostajemy w naszej dziedzinie dla S i z dodatniej jednorodności stopnia 0 funkcji S dostajemy, że

∗      kres górny S na G~∩x≥0 jest skończony i jest osiągany.

Gdy to Twierdzenie 14.3 jest już udowodnione, najwyższa pora na ilustrację, jak konkretnie tamte słynne warunki (11.10) pracują w sytuacji, gdy macierz kowariancji jest tylko nieujemnie określona.
W ćwiczeniu poniżej ograniczenie dolne na μ0 w (14.8) jest puste, bo Z⁢e⁢r⁢o∩Δ3=∅. I nawet ,,gorzej”: po prostu Z⁢e⁢r⁢o=∅, więc w całej konstrukcji dziedziny dla S powyżej można było wziąć G~=G itd. Tym niemniej macierz Σ jest tam tylko nieujemnie określona …

Algorytm z Wykładu XI nie działa w sensie dosłownym – nie możemy wszak odwracać macierzy Σ. Mimo to, zgodnie z Twierdzeniem 14.3, warunki (11.10) jednak dobrze kodują portfele optymalne w aspekcie M. Rozwiążemy te warunki (lecz dopiero w … Rozwiązaniu ćwiczenia!) ,,całościowo”, czyli łącznie i z marszu rozwiążemy odpowiednie liniowe zagadnienie komplementarności. Do dzieła zatem.

Na koniec tych rozważań o portfelach optymalnych ze względu na stopę(y) μ0 w aspekcie M, przeprowadźmy jedną dłuższą analizę ich zachowania i zmienności w trochę podkręconym przykładzie Krzyżewskiego. Mianowicie, przy niezmienionej tamtej macierzy kowariancji, przesuńmy wszystkie wartości oczekiwane o wielkość 3 w górę – rodzaj przesunięcia równoległego stóp, pojęcia występującego m. in. w kursie Inżynierii Finansowej. Tzn. rozważamy teraz model Markowitza

wzbogacony o stopę wolną od ryzyka μ0 zmieniającą się od 0 do 3313. Te wartości graniczne stopy bezryzykownej są uzasadnione geometrią przykładu i są po prostu wysokościami, na których styczne do granicy minimalnej w obrazach portfeli e3 i e1 przecinają pionową oś O⁢E→. (W samym przykładzie Krzyżewskiego przedział wartości dla stopy bezryzykownej zaczynałby się w -3 — dość nieciekawej stopie zwrotu pozbawionej ryzyka.)

Wiemy, że i tutaj cała granica minimalna jest efektywna, bo to stary przykład Krzyżewskiego, tylko ,,kopnięty” o 3 w górę. Portfele optymalne przy zmienianiu stopy μ0 przebiegają więc całą łamaną wierzchołkową, która jest, oczywiście, identyczna jak w przykładzie Krzyżewskiego – patrz Rysunek 7.5 w Wykładzie VII.

Gdy więc przejeżdżamy wartością μ0 przedział 0, 3, wtedy portfele optymalne x~op jadą (bądź stoją) kolejno po (w) częściach łamanej z Rysunku 7.5 położonych na ścianach: (a) 3,  (b) 1, 3,  (c) 1, 2, 3,  (d) 2, 3,  (e) 2,  (f) 1, 2,  (g) 1.
Skomentujemy prawdziwe ruchy portfela optymalnego oraz jego postój w wierzchołku e2. Nie przytaczamy szczegółowych obliczeń – mogą to być (bardzo zalecane) dla czytelnika ćwiczenia sprawdzające.

Ad (b). Dzieje się tak dla 0<μ0≤1713, zaś wartość oczekiwana portfela optymalnego E~op zmienia się wtedy między 2 i 3617. Sam zaś ten portfel to

Jego składowe są wyrażone funkcjami wymiernymi (homografiami) od μ0. Jest to całkiem naturalne, bo przecież jego wartość oczekiwana jest pewną homografią od μ0.

Ad (c). Dzieje się tak dla 1713<μ0<43, zaś E~op zmienia się wtedy między 3617 i 73. Natomiast

Ad (d). Dzieje się tak dla 43≤μ0<32, zaś E~op zmienia się wtedy między 73 i 3. Natomiast

Ad (e). Portfel optymalny stoi na e2, podczas gdy μ0 rośnie od 32 do 2. Dostajemy proste nadstyczne w punkcie M⁢e2 do granicy efektywnej, wszystko oczywiście w aspekcie M. (M⁢e2 jest punktem załamania – kinkiem – na granicy minimalnej.)

Ad (f). Dzieje się tak dla 2<μ0<3313, zaś E~op zmienia się wtedy między 3 i 4. Natomiast

Spróbujmy raz jeden zobrazować wszystkie te portfele optymalne dynamicznie na jednym wspólnym rysunku, na osi odciętych odkładając wartości μ0, zaś na pionowych prostych, nad odpowiednimi wartościami stopy μ0, zaznaczając różnymi kolorami wkłady  odpowiednich walorów do portfela optymalnego. Konkretnie: kolorem ciemnozielonym zaznaczając wkład waloru 1, czerwonym – waloru 2, niebieskim – waloru 3. Oto wynik takiego obrazowania:

[w wersji pdf chochlik drukarski przerzucił diagram na następną stronę]

Łamana efektywna jest tu, jak wiemy, bardzo bogata. Jej wizualizacja graficzna podana w funkcji parametru μ0 trochę rozczarowuje – widać chyba mniej, niż na Rysunku 7.5. W ramach porównywania tamtego rysunku z obecnym Rysunkiem 14.1, można zadać sobie pytanie (oczywiście kontrolne), czy na obecnym umiemy wskazać punkty, w których, na dawnym, prosta krytyczna przecina boki sympleksu standardowego.
Jest to nietrudne w przypadku portfela krytycznego niemającego waloru numer 2 (x2=0): nad odciętą μ0=1713 widzimy charakterystyczny punkt potrójny.⁵³może komuś przypominają się lekcje fizyki w liceum, np punkt potrójny wody …
Jest to trudniejsze w przypadku portfela krytycznego niemającego waloru numer 1 (x1=0). Czytelnik widzi na pewno lekki kink na Rysunku 14.1 na granicy między obszarami niebieskim i czerwonym. Ma on odciętą μ0=43 i rzędną 23. Taką samą odciętą 43 ma punkt o rzędnej 1 – wspólny punkt narożny obszarów: małego zielonego i czerwonego. Oba wymienione punkty trzeba myślowo skleić ze sobą; dostanie się wtedy drugi punkt potrójny na diagramie.

Łamane wierzchołkowe revisited i początek dyskusji algorytmu CLA

Łamane wierzchołkowe – te odpowiedniki w modelach Markowitza prostych krytycznych Blacka – mogą być, jak już wiemy, bardzo skomplikowane. Szukanie portfeli relatywnie minimalnego ryzyka w modelach Markowitza jest żmudne – porównaj algorytm, czyli de facto metodę prób opisaną w Wykładzie X (bazującą na twierdzeniu Karusha-Kuhna-Tuckera). Również podzbiór łamanej wierzchołkowej – łamana efektywna obsługująca granicę efektywną – może być bardzo złożony, jak pokazują przykłady znalezione przez studentów naszego wydziału⁵⁴P. Grodzki i J. Gruszczyński, patrz też lista osiągnięć studentów podana pod koniec Wykładu VII w roku 2008.

Komentatorzy pracy Markowitza z 1952 czynili mu z tego zarzuty, określając całą rzecz jako mało praktyczną. Jak bowiem w praktyce [wtedy, prawie 60 lat temu] znajdywać tak złożone obiekty? Markowitz odpowiedział artykułem [20] i [pierwszą] książką [21]. Mianowicie ukonkretnił i wyszlifował prawdziwy klejnot, tzw. algorytm prostej krytycznej (Critical Line Algorithm – CLA) zręcznie wyłuskujący te ściany sympleksu, przez które przebiega łamana efektywna, czy łamana wierzchołkowa, zależnie od wariantu.
Należy jednak zaznaczyć, że pierwsze, i od razu przełomowe uwagi na ten temat zawarł on już w [19]! Kluczowa w tym aspekcie jest tam strona 87. Proszę ocenić samej/samemu, reprodukcja poniżej.

[W wersji pdf Rysunek 14.2 jest dopiero pół strony dalej …]

Natomiast jak po latech oceniał to sam Markowitz? Odpowiedź jest na stronie 38 w jego drugiej książce [22]: `The general portfolio selection model […] was presented in [20], along with the critical line algorithm for computing efficient sets.' Te słowa nie wymagają żadnego dodatkowego komentarza odnośnie pierwszeństwa w odkryciu algorytmu prostej krytycznej w analizie portfelowej.

Przy ilości spółek w modelu k≈200, zamiast ogromnej ilości ścian do rozważenia, algorytm CLA zwykle wskazuje tych kilkaset istotnych, na których dzieje się wszystko, co ważne dla analizy portfelowej i decyzji inwestycyjnych o nią opartych.
(W [22] na stronie 157 czytamy: `Fortunately we can find these few hundred [critical lines], and their efficient portions, without enumerating all critical lines.')

W naszym opisie algorytmu CLA będziemy stale zakładać, że Σ>0 i (5.2). Potem dojdą jeszcze inne niezbędne założenia. Wszystko polegać będzie na zręcznym, innym niż do tej pory szukaniu portfeli relatywnie minimalnego ryzyka xE bez eksponowania parametru E.

Zanim to ukonkretnimy i rozwiniemy, chcemy jeszcze przywołać słowa Sharpe'a z [26]. Zamiast bardzo długiego w tym przypadku cytatu, oto dwie odpowiednie strony z tamtej pracy. Ich lektura, i to teraz, dosłownie na poczekaniu, może być dla czytelnika pierwszym spotkaniem i pochyleniem się nad algorytmem Markowitza. Wyjaśnienia, które nastąpią później, w tym i w następnym (ostatnim) wykładzie, będą inaczej odbierane, gdy czytelnik będzie coś pamiętał ze wstępnego opisu Sharpe'a.

[W wersji pdf idący teraz Rysunek 14.3 przeskoczył aż na następną stronę, zaś zaraz po nim idący Rysunek 14.4 – na jeszcze następną. Zapoznać się z nimi należy przed zagłębieniem się w konkrety opisu algorytmu.]

Zagłębiamy się już teraz w konkrety opisu algorytmu. Przypuśćmy, że szukamy takich portfeli na ścianie IN⊂1, 2,…,⁢k,  #⁢IN≥1 (wierzchołki sympleksu są teraz dopuszczalne!), tzn. rozwiązujemy zagadnienie

przy jakichś rzeczywistych λ,⁢λE zależnych od szukanego x. Markowitz doszedł do wniosku, że λE należy traktować jako niezależny parametr oraz szukał pełnego układu k równań, a nie jedynie #⁢IN równań. Sztuczne #⁢OUT równań wprowadził on w zaskakująco prosty sposób.

Równania (14.15) zapisujemy teraz jako układ

do którego dołączamy równanie budżetowe eINT⁢x=1. Łącznie dostajemy układ k+1 równań z k+1 ,,niewiadomymi”, wśród których jest #⁢OUT wiadomych xj=0,⁢j∈OUT:

W podejściu Markowitza kluczowe są macierze MIN⁢=def⁢ΣINeINeINT0 układów równań (14.17).