Przystępujemy do opisu działania CLA; komentarze objaśniające będą podane później, by nie zaciemniać głównej, pięknej pętli algorytmu.

Zakładamy już do końca, że Σ>0 oraz ≠μ1,⁢μ2,⁢…,⁢μk. To pociąga, że macierze ΣIN, a także MIN, są odwracalne dla wszystkich ∅≠IN⊂1, 2,…,⁢k – patrz Twierdzenie w Wykładzie XIV. Algorytm CLA odnajduje, na nowo i niezależnie od metody prób opartej na twierdzeniu Karusha-Kuhna-Tuckera (patrz Wykład X), łamaną wierzchołkową Ł¯ zbudowaną z portfeli relatywnie minimalnego ryzyka. Względnie– w oryginalnej prezentacji Markowitza w [22] – tylko łamaną efektywną, co jest różnicą mało istotną z punktu widzenia metodologii CLA. Najczęściej sprawnie i bezbłędnie odnajduje on tych ,,kilkaset boków” Ł¯, jak wyraża się Markowitz, spośród setek tysięcy czy milionów ścian sympleksu, przez które à priori mogłaby przebiegać Ł¯. Redukuje problem o potencjalnej złożoności wykładniczej od k do problemu w praktyce wielomianowego od k, i to wielomianowego – wydaje się, jest to otwarte pole do badań – bardzo niskiego stopnia.

Skoncentrujmy uwagę na jednej ustalonej ścianie IN, w której leży jeden z boków Ł¯. W tym obecnym spojrzeniu może to nawet być jeden z wierzchołków sympleksu Δk, oczywiście taki, przez który przechodzi Ł¯. Tzn. #⁢IN=1 jest możliwe.
Zakładamy, że algorytm już doszedł do boku Ł¯ leżącego w IN i biegnie po nim (lub stoi, gdy #(IN)=1), zmniejszając przy tym wartość parametru λE.
Jak długo to się dzieje, tzn. jak długo utrzymuje się relatywna optymalność portfeli – punktów na tym boku? Oczywiście, z twierdzenia K-KT, dopóki

oraz

Dodatniość, względnie nieujemność, może przy zmniejszaniu λE popsuć się tylko w tych wyrażeniach, w których współczynniki przy λE są dodatnie. Wynikają stąd naturalne dolne ograniczenia

oraz

Kresem dolnym optymalności portfeli na ścianie IN, wyrażonym w terminach parametru λE, jest zatem

gdzie też oczywiście i∈IN, j∈OUT. Gdy #⁢IN=1, IN=i, wtedy nie ma aktywnej nierówności na temat xi, są tylko pewne nierówności na temat ηj, j≠i, związane z optymalnością wierzchołka numer i oraz związanymi z tym możliwymi wartościami parametru λE.⁵⁶wtedy, jak wiadomo, rozwiązania warunków Karusha-Kuhna-Tuckera nie dają jednoznacznie wyznaczonych współczynników Lagrange'a λ i λE

Algorytm będzie ,,wiedział”, gdzie skierować się dalej (gdzie leży następny bok łamanej Ł¯) gdy zawsze tylko jedna liczba z tych wymienionych po prawej stronie równości (15.1) realizuje dane maksimum. W celu zapewnienia skuteczności algorytmu CLA będziemy to zakładali do końca wykładu. Dokładniej,

Komentarz po definicji: zakładając w dalszym ciągu niezdegenerowanie parametrów modelu, zakładamy w tym wykładzie więcej, niż jest potrzebne do sprawnego przebiegu algorytmu (choć i tak mniej, niż u Markowitza w [22]). Bo przecież nie wszystkie ściany IN muszą być odwiedzone przez konkretną łamaną Ł¯ oraz, dla jakiegokolwiek danego  IN, który występuje w konkretnym przebiegu algorytmu, nie wszystkie ułamki wymienione w (15.2) muszą być różne! Tylko największy  z nich musi być różny od wszystkich pozostałych.

Opis algorytmu CLA dla modeli z niezdegenerowanymi parametrami

A. Zaczynamy od IN=i, gdzie μi=max1≤l≤k⁢μl⁢=⁢Emax, tzn. od wierzchołka ei, w którym zaczyna się łamana wierzchołkowa Ł¯. Algorytm przez długi czas stoi na tym wierzchołku, podczas gdy parametr λE maleje od +∞ do wartości λlowi. Ta wartość progowa, na mocy niezdegenerowania parametrów modelu, jest równa -γjδj dla jednego jedynego j≠i, δj>0. Stąd wiemy, że następnym etapem będzie IN′=IN∪j=i,j, w którym parametr λE będzie się zmniejszał poniżej wartości λlowIN.

B. Załóżmy, że już trwa jakiś etap IN w algorytmie, zaś λE zmniejsza się poniżej poznanej już poprzedniej wartości progowej. Afiniczne od λE wzory na xi, i∈IN, opisują bok Ł¯ na ścianie IN, dla λE poniżej poprzedniej wartości progowej aż do wartości λlowIN danej wzorem (15.1). Na mocy niezdegenerowania parametrów modelu, w (15.1) jest jeden jedyny indeks i∈IN lub j∈OUT taki, że λlowIN=-αiβi lub λlowIN=-γjδj.

Następny etap algorytmu to IN′=IN⁢\⁢i w pierwszym przypadku, względnie IN′=IN∪j w drugim, przy czym parametr λE zmniejsza się w nim poniżej λlowIN (do jakiejś wartości lub do -∞). W ten sposób rekurencyjnie podany jest już cały algorytm, opisujący bok po boku całą łamaną wierzchołkową Ł¯. Ostatni etap to, oczywiście, IN=i, μi=min1≤l≤k⁢μl⁢=⁢Emin, zaś λE zmniejsza się w nim od poprzedniej wartości progowej do -∞ (przyjmujemy, że maksimum pustego zbioru liczb wynosi -∞).

Komentarz po opisie algorytmu. Stosując algorytm CLA, rekurencyjnie wędrujemy po niektórych ścianach sympleksu Δk, włączając w to niektóre wierzchołki, cały czas ściśle kontrolując malejącą ewolucję wiodącego parametru λE. Po drodze uzyskujemy parametryczne opisy boków łamanej wierzchołkowej Ł¯ wraz z progowymi wartościami parametru λE odpowiadającymi wierzchołkom spójnej łamanej Ł¯.

Algorytm jest wydajny w 100⁢% – wędrujemy w nim dokładnie po tych ścianach Δk, przez które przebiega łamana Ł¯. Czasami zdarza się – o czym Markowitz w [22] wydaje się nie wiedzieć – że ten maksymalnie wydajny algorytm musi odwiedzić wszystkie 2k-1 niepuste ściany Δk. Tak właśnie dzieje się w przykładzie Więcha omówionym w Wykładzie X, i też w przykładzie Iwanickiego w wymiarze 5 omawianym tutaj poniżej (czy też w, tylko wzmiankowanym pod koniec Wykładu VII, nie–praw–do–po–dob–nym przykładzie Iwanickiego w wymiarze 6).

[w wersji pdf Rysunek 15.1 jest na następnej stronie]

Jeszcze bardziej intrygujący przykład podał w roku 2007 w swojej pracy licencjackiej [9] student A. Iwanicki; anonsowaliśmy to odkrycie już w Wykładzie VII.⁵⁸Iwanicki wyszedł od programu dla Critical Line Algorithm (w Visual Basicu) autorstwa G. P. Todda, podanego w [22], lecz udoskonalił go przez wprowadzenie pomysłowych shortcutów i dodanie własnej części probabilistycznej – losowanie próbek danych. Jego program wykonywał przez jedną noc najpierw dziesiątki, a potem nawet setki tysięcy przebiegów algorytmu CLA na próbnych danych! Przykład podany w tekście wykładu został znaleziony po około 8 dobach poszukiwań netto. Bez algorytmu CLA, i bez książki [22] jako wstępnego inputu, nie byłoby to możliwe.  Jest to najbogatszy możliwy przykład w wymiarze 5. Ma on granicę minimalną składającą się z 26 kawałków różnych hiperbol, zaś granica efektywna składa się w nim z (aż) 19 kawałków różnych hiperbol!

Zgodnie z tym, co wyżej zaanonsowane, łamana wierzchołkowa okazuje się mieć tu aż 25-5-1=26 boków, natomiast algorytm CLA odnajduje ją w 31=25-1 krokach IN,  1≤#⁢IN≤5. Kolejne kroki są następujące. (Przy wierzchołkach dających punkty załamania granicy minimalnej podajemy w nawiasach przedziały dla ,,nadstycznego” parametru λE; dyskusja nt tych przedziałów – patrz Stwierdzenie 15.1 niżej. Wielkości λhi są tożsame z wielkościami λlow w etapach bezpośrednio poprzedzających, porównaj Obserwacja 15.1, część ∙A∙, poniżej.)

Uzasadnienie poprawności algorytmu CLA wraz z dodatkowymi informacjami na jego temat.

Chcemy dokładniej przyjrzeć się, co się dzieje, gdy łamana wierzchołkowa Ł¯, odkrywana stopniowo przez algorytm CLA, zmienia

(A) ścianę IN, #⁢IN≥2, na inną ścianę IN′,⁢#⁢IN′≥2, względnie

(B) ścianę IN, #⁢IN≥2 na wierzchołek, np i, po którym z kolei łamana Ł¯ wchodzi w ścianę IN′,⁢#⁢IN′≥2.

W naszych rozważaniach pomocna będzie funkcja wypukła

której dotyczył już Wniosek 11.1 w Wykładzie XI.

Jako funkcja wypukła, ma ona wszędzie skończone pochodne jednostronne, zaś w punktach różniczkowalności ma pochodną o wartości 2⁢λE⁢E, gdzie λE(⋅) to funkcja związana z danym bokiem łamanej Ł leżącym na jakiejś ścianie ≥1-wymiarowej. (Przy rygorystycznym podejściu ta funkcja powinna być oznaczana symbolem λINE(⋅). Na ścianach IN, #⁢IN≥2, współczynniki Lagrange'a λ i λE są wyznaczone jednoznacznie jako funkcje portfela wierzchołkowego, a więc też jako funkcje E.) Wynika to wprost z Obserwacji 6.1 w Wykładzie VI; wspominaliśmy nie raz, że tamta obserwacja jest technicznie bardzo użyteczna.

W związku z tym globalna funkcja ΛE,

jest ściśle rosnąca i kawałkami liniowa, z możliwymi skokami w górę:

— w węzłach wyróżnionych, jak np w przykładzie Więcha na rysunku powyżej,

— co widzieliśmy przy okazji rozwiązywania zadania sprawdzającego z Wykładu X,

— oraz być może  w jakichś węzłach niewyróżnionych – tego jeszcze w tym momencie nie wiemy; w przykładzie Więcha – bez takich skoków w węzłach niewyróżnionych.

Odcinki, na których funkcja EΛE→λE⁢E jest liniowa, etykietujemy odpowiednimi zbiorami indeksów IN – nazwami ścian, których dotyczą. Węzły wyróżnione, w których jest skok funkcji ΛE, nazywamy pojedynczymi indeksami – numerami odpowiednich wierzchołków sympleksu. Przejście od parametru E do λE jest w takich węzłach rodzajem blow-upu: rozdmuchania punktu do odcinka [wartości parametru λE].

Niech dla IN : #⁢IN≥2, E⁢IN będzie jak w dowodzie w Wykładzie XI (zbiór wartości oczekiwanych wszystkich portfeli wierzchołkowych xE leżących na ścianie IN).

Niech ponadto, tym razem dla wszystkich IN niepustych, L⁢IN oznacza zbiór wszystkich wartości współczynników Lagrange'a λE w rozwiązaniach warunków K-kT dla portfeli wierzchołkowych leżących na ścianie IN.

Gdy #⁢IN≥2, jest to (wiemy to już!) przedział – obraz odpowiedniego przedziału E⁢IN w globalnej funkcji ΛE:

Natomiast gdy IN=i,

bo dla λE,⁢λE′∈L⁢i i s,⁢t>0, s+t=1, nierówności wektorowe

pociągają (też wektorową) nierówność

zaś warunki komplementarności

oczywiście pociągają warunek

Istotnie zatem s⁢λE+t⁢λE′∈L⁢i.

L⁢i jest zatem przedziałem, ok, lecz jakim konkretnie? To pytanie jest technicznie najtrudniejsze w całej dyskusji algorytmu CLA. Zajmiemy się nim za chwilę przy omawianiu sytuacji (B).

Wracamy teraz do alternatywy (A) versus (B) sformułowanej na początku dyskusji poprawności algorytmu CLA. (Rzecz dotyczy węzłów leżących w przedziale Emin,⁢Emax. Po Uwadze 15.2 wiemy już, że to jest po prostu alternatywa węzły niewyróżnione versus wyróżnione.)

Ad (A) Wobec ścisłej wypukłości funkcji (15.3) i geometrycznej interpretacji współczynnika λE, przedziały L⁢IN oraz L⁢IN′ są rozłączne. Chcemy uzasadnić, że ich domknięcia przecinają się w jednym punkcie, który zresztą okaże się leżeć w jednym z tych przedziałów: L⁢IN lub L⁢IN′.

Punkt E~ leżący w części wspólnej domknięć E⁢IN¯ i E⁢IN′¯ jest w sytuacji (A) węzłem niewyróżnionym – wiemy to z dowodu (podanego w Wykładzie XI) Twierdzenia 10.1 o łamanej wierzchołkowej z Wykładu X.
Pokażemy, że w węźle niewyróżnionym E~ globalna funkcja ΛE nie  ma skoku. Dla ustalenia uwagi niech np E~∈E⁢IN, E~∉E⁢IN′. Dla wartości E trochę mniejszych od E~ bierzemy, jednoznacznie określone w etapie IN′ dowodu z Wykładu XI, wielkości

oraz ich granice

tak jak w tamtym dowodzie w Wykładzie XI. Z warunków dawanych przez twierdzenie K-KT mamy

dla E trochę mniejszych od E~. Zatem również po przejściu granicznym E→E~-,

Portfel xE~ leży na ścianie IN, zaś współczynniki Lagrange'a dla portfeli wierzchołkowych leżących na ścianie IN są wyznaczone jednoznacznie. A więc, w szczególności, λ~E=λE⁢E~ liczone na boku leżącym na ścianie IN. Zatem to właśnie liczba λ~E okazuje się leżeć w części wspólnej domknięć przedziałów L⁢IN i L⁢IN′. Dokładniej,

przy czym  λ~E∈L⁢IN. Równocześnie

oraz λ~E∉L⁢IN′, bo, przypominamy, L⁢IN i L⁢IN′ są rozłączne.

W sytuacji przeciwnej w (A): E~∉E⁢IN, lecz E~∈E⁢IN′ byłoby, oczywiście, L⁢IN′∋sup⁡L⁢IN′ oraz λlowIN∉L⁢IN, natomiast równości (15.5)–(15.6) oczywiście pozostawałyby w mocy.

Wnioskiem z (15.5) i (15.6) jest równość

Co natomiast skrywa się za sytuacją (B) mogącą wystąpić w przebiegu algorytmu, czyli – znowu Uwaga 15.2 – co się skrywa za węzłami wyróżnionymi? By odpowiedzieć, zajmijmy się tą sytuacją szczegółowo.

Ad (B) Teraz w łamanej Ł wierzchołek ei=xE~, E~=μi, sąsiaduje z bokiem leżącym na ścianie IN, na którym wartości E są większe od μi=E~, oraz z bokiem leżącym na ścianie IN′, na którym wartości E są mniejsze od E~. Wartość E~ jest węzłem wyróżnionym w terminologii z Wykładu X.

Dla tego portfela wierzchołkowego ei nie ma  jednoznaczności współczynników Lagrange'a λ i λE – teoria Blacka się nie stosuje. Jednak oczywiście można robić przejścia graniczne przy E→E~- analogicznie, jak w sytuacji (A), dostając, w oznaczeniach z tamtej sytuacji,

gdzie λ~E=sup⁡L⁢IN′. I oczywiście też przy E→E~+, dostając analogicznie

gdzie tym razem λ~~E=inf⁡L⁢IN=λlowIN. Związki (15.8)–(15.9) pokazują zatem, że sup⁡L⁢IN′,⁢λlowIN∈L⁢i. Wobec własności (15.4),

W istocie jest lepiej. Mianowicie

Zauważmy, że ze Stwierdzenia 15.1 wynika

Jedną szczegółową ilustrację rachunków w tym ostatnim dowodzie (w ramach przykładu Iwanickiego w wymiarze 5 podanego już wcześniej w tym Wykładzie XV) podamy jeszcze później, po pewnym ogólniejszym podsumowaniu.

Pora na rekapitulację.  Przeprowadzona powyżej dyskusja algorytmu CLA pokazała, że w każdej z sytuacji (A) i (B), w opisie wzajemnych położeń zbiorów L⁢IN, obok liczb λlowIN zdefiniowanych już jakiś czas temu wzorem (15.1), ważną – niejako dualną – rolę odgrywają też liczby sup⁡L⁢IN. Naturalne jest w takiej sytuacji przyjąć następującą ogólną

(Podkreślamy, że w książce Markowitza [22] wielkości λlowIN i λhiIN definiowane są równocześnie. W tych wykładach – nie. Wiąże się to ze zbyt mocnymi warunkami niezdegenerowania zakładanymi u Markowitza. Nasze ,,niezdegenerowane parametry” są scharakteryzowane słabszymi warunkami; niżej piszemy o tym szerzej.)

Po przyjęciu takiego oznaczenia, w sytuacji (A) wzór (15.7) przybiera przejrzystą postać

Natomiast w sytuacji (B), równość (15.18) po wprowadzeniu tego nowego symbolu, oznacza

oraz

Zestawiając ten wniosek z poprzednim Wnioskiem 15.1, widzimy, że to dokładnie węzły wyróżnione okazują się być rzędnymi punktów załamania granicy minimalnej, zaś dany skok funkcji ΛE mierzy (co prawda na mniej kanonicznej płaszczyźnie wariancja – wartość oczekiwana i tylko z dokładnością do czynnika 2) wielkość takiego załamania.
Zapamiętajmy ten fakt; to jeden z kilku kluczowych momentów całego wykładu APRK1.

(We wszystkich literach greckich w (15.22) dla lepszej czytelności opuszczony jest dolny indeks `⁢IN′. Ponadto, gdy w momencie startu algorytmu IN=i0  i  μi0=Emax, wtedy ten kres górny przyjmuje się równy +∞).

Z przeprowadzonych dotąd rozważań wynika

Obserwacja. 15.1

∙λlowIN<λhiIN dla każdego IN⊂1, 2,…,⁢k pojawiającego się w danej realizacji algorytmu CLA.

∙A∙ Jeśli w realizacji algorytmu CLA po etapie IN bezpośrednio następuje etap IN′, to λlowIN=λhiIN′.

Punkt ∙ wynika z samego opisu etapów algorytmu CLA. Natomiast punkt ∙A∙, ogniskujący jak w soczewce całe piękno algorytmu CLA, wynika z równości (15.19), (15.20) i (15.21). Wzory na λlowIN (patrz (15.1) ) i na λhiIN′ (patrz (15.22), gdzie oczywiście IN trzeba zastąpić przez IN′) nie mają na pierwszy rzut oka nic wspólnego. A jednak zawsze wyrażają te same wielkości!

Jest bardzo pouczające przeanalizować ten punkt ∙A∙ Obserwacji 15.1 powyżej na wybranych fragmentach przebiegu algorytmu CLA w przykładzie Iwanickiego (już wcześniej przytoczonym).

Kolejność następowania etapów w tamtym przykładzie jest znana, bo też już była podana wcześniej. I otóż, z przybliżeniem do trzech miejsc dziesiętnych po przecinku,

Ta ostatnia równość (15.23) jest szczególnie godna uwagi. Z jednej strony można obliczyć nawet dokładniej, że

Z drugiej strony walory, których wartości oczekiwane sąsiadują z μ1=1.57204 to: walor drugi (sąsiadowanie z góry, μ2=4.21166) oraz walor czwarty (sąsiadowanie z dołu, μ4=-0.365159). Kuszące jest spróbować zastosować poznane wcześniej (jeszcze w dowodzie Stwierdzenia 15.1) wzory: σ11-σ14μ1-μ4 na λlow1,  oraz  σ11-σ12μ1-μ2 na λhi1. W efekcie dostalibyśmy poprawnie

lecz także

co już nie jest wartością występującą w (15.23). Czyżby rozwinięta wcześniej teoria przestawała pracować? Nic podobnego. Zapomnieliśmy tylko, że w aktualnym przebiegu CLA w przykładzie Iwanickiego, przed dojściem do wierzchołka 1 nie jesteśmy na krawędzi łączącej go z wierzchołkiem najbliższym w sensie wartości oczekiwanej (tj na krawędzi 1,2), tylko na krawędzi łączącej 1 z dalszym w sensie wartości oczekiwanej wierzchołkiem 3 (por. też (15.23) ).  Po uwzględnieniu tego przeoczenia

już jak trzeba.

W charakterze komentarza do Obserwacji 15.1 powyżej należy stwierdzić, że słowa ,,pojawiającego się w danej realizacji algorytmu” są w tej obserwacji kluczowe.

⋆ Np w znanym nam przykładzie Mordona [przytaczanym tu od nowa dla wygody czytelnika]

na ścianie 1, 3, przez którą nie  przebiega łamana wierzchołkowa⁶⁰  w tym doskonale rozpoznanym przykładzie przebieg algorytmu CLA to  1→1, 2⁢⁢(cała)⁢→2→2, 3⁢⁢(cała)⁢→3  wielkości λlowIN i λhiIN nabierają zaskakujących znaczeń. Dokładniej, wzory z Wykładu XIV dają formalnie na tej ścianie

Zatem, liczone czysto formalnie, λlow1,3=max⁡-311/311=-1,

Pouczające jest porównać to z pochodną funkcji σ2⁢E na tym boku. Tutaj σ2⁢x=9⁢x1 2+2⁢x1⁢x3+4⁢x3 2 oraz x1=E-23, x3=5-E3. Prowadzi to do

To wyrażenie jest równe -1 tylko przy E=2, a więc tylko w wierzchołku e3 sympleksu Δ3 (leżącym w domknięciu  ściany, której dotyczą tu obliczenia). Zatem wirtualne współczynniki λlow1,3=λhi1,3=-1 wychwytują ten jeden jedyny portfel na boku x2=0, który a) jest wierzchołkowy (tj leży na łamanej Ł) i b) w obrazie którego styczna do obrazu boku x2=0 jest tożsama  ze styczną do granicy minimalnej. Na rysunku poniżej, na – uwaga – płaszczyźnie R2⁢σ2,⁢E, ta wspólna styczna w punkcie M~⁢e3 jest niebieska, natomiast w punkcie M~⁢e1 :  styczna do granicy minimalnej jest zielona, zaś styczna do obrazu boku x2=0 jest czerwona. [W wersji pdf rysunek trafia na następną stronę.]

⋆A⋆ Jeszcze ciekawszy efekt może wystąpić na ścianie, której podprzestrzeń afiniczną (rozpinaną przez tę ścianę) łamana Ł w ogóle omija. Dzieje się tak np w wymiarze 5 ze ścianą 2, 4 w modelu z parametrami

Czysto formalnie, wzory z Wykładu XIV dawałyby na tej ścianie

A zatem, dalej czysto formalnie, byłoby λlow2,4=max⁡-14,⁢278/32=94, oraz

W tym przykładzie ściana 2, 4 okazuje się bardzo nieoptymalna z punktu widzenia relatywnego minimalizowania ryzyka w modelu i dla wirtualnych wielkości z algorytmu z nią związanych mamy λlow2,4>λhi2,4.⁶¹Warto zwrócić uwagę, że ograniczenia na λE pochodzące od dodatniości współrzędnych x-owych podlegają teorii użytej w dowodzie Stwierdzenia 15.1, i monotoniczność ograniczeń pochodzących od tych współrzędnych jest  zachowywana:

Podsumowanie algorytmu CLA.

Podczas dyskusji algorytmu CLA wydzieliśmy dwie sytuacje – dwa możliwe rodzaje przejść między kolejnymi etapami algorytmu, przy przyjętych przez nas założeniach niezdegenerowania (15.2).

Po pierwsze

(A).  IN⟶IN′,  gdzie  #⁢IN,⁢#⁢IN′≥2.

Jak wiemy, zbiory IN oraz IN′ różnią się wtedy tylko jednym elementem, zaś parametr λE zmienia się płynnie przy przejściu łamanej wierzchołkowej Ł¯ ze ściany IN na ścianę IN′. Dokładniej, λE przechodzi przy takim przejściu przez wartość λlowIN=λhiIN′ (odpowiadający temu węzeł – wartość E jest niewyróżniony, Wniosek 15.1 powyżej).

Po drugie

(B).  IN⟶i⟶IN′

Wiemy, że wtedy oba zbiory IN oraz IN′ są dwuelementowe i oba są – różnymi! – nadzbiorami singletonu i. W tej fazie algorytmu łamana wierzchołkowa biegnie po krawędzi IN, wpada w wierzchołek ei, zaś po chwili wybiega z niego po krawędzi IN′. Jeśli chodzi o parametr λE, to na boku łamanej Ł¯ będącym częścią lub całą krawędzią IN, zmniejsza się on (będąc cały czas związany zależnością z Obserwacji 6.1 ze stycznymi do obrazów punktów na boku IN) do swego kresu dolnego λlowIN=λhii — gdy punkt bieżący na tym boku dobiega do wierzchołka ei. Następnie parametr obniża się dalej, teraz parametryzując tylko nadstyczne  położenia prostych podpierających granicę minimalną w obrazie wierzchołka ei, który jest, jak wiemy, punktem załamania tej granicy. (Odpowiadający temu węzeł – wartość E=μi jest wyróżniony, Wniosek 15.2 powyżej.)
Parametr λE przebiega tak cały przedział L⁢i aż do jego lewego końca λlowi=λhiIN′. W tym momencie prosta podpierająca staje się znowu styczna – tym razem do obrazu krawędzi IN′. Dalsze zmniejszanie λE to parametryzowanie boku łamanej Ł¯ będącego częścią lub całą krawędzią IN′, znowu zgodnie z zależnością z Obserwacji 6.1 w Wykładzie VI.

Uwaga. Przypomnianego tu w (B) opisu zbioru L⁢i (patrz Stwierdzenie 15.1 powyżej) wykładowca nie znalazł w dostępnej literaturze. Został on włączony do wykładów dopiero w roku akademickim 2009/10.

Podany opis przebiegu algorytmu CLA obowiązuje, powtarzamy to, przy założeniu warunków niezdegenerowania (15.2). Zauważmy jednak na koniec, że można podać równoległy zestaw innych  warunków, też pociągający ten sam przebieg algorytmu, tzn występowanie w jego realizacji tylko sytuacji typu (A) oraz (B), co prawda przebieganych w przeciwnym porządku i kierunkach, niż poprzednio. Mianowicie, jeśli zakładać tylko, że

wtedy łamaną wierzchołkową Ł¯ można odzyskiwać od końca do początku: od Emin (i λE=-∞) do Emax (i λE=+∞). W dyskusji jej przebiegu, w pełni analogicznej do tej przedstawionej w Wykładzie XV, akcentuje się wtedy tylko progowe wartości λhiIN, IN – ściany aktywne, goszczące łamaną Ł¯. Warunki (15.24) gwarantują wtedy z naddatkiem brak kolizji przy zmianach ścian. Zatem Ł¯ wygląda wtedy tak samo jak przy obowiązywaniu warunków (15.2): doznaje tylko ewolucji typu (A) i/lub (B). Podkreślamy jeszcze raz, że każdy z zestawów warunków (15.2) i (15.24) sam w sobie jest słabszy niż ten, który podany jest na stronie 161 w [22].

Można zauważyć na koniec, że tak właśnie, na samym początku, w [19] Markowitz planował znajdować wszystkie portfele efektywne: zaczynać od portfela mającego minimum wariancji, natomiast kończyć na portfelu mającym maksimum wartości oczekiwanej. Można to dokładnie prześledzić w tekście na Rysunku 14.2 (reprodukcja strony 87 z [19]) w Wykładzie XIV.