Przykłady obliczeń odwzorowania Markowitza w najprostszych sytuacjach – gdy okazuje się ono być liniowe lub kawałkami liniowe. (Od takich prostych przykładów zaczyna się najczęściej, bo rzadkie są sytuacje, gdy odchylenie standardowe portfela Markowitza da się policzyć bez wyciągania pierwiastka kwadratowego. Wykłady [13] też od tego zaczynały. Wielokąty wypukłe i odbicie w pionowej osi O⁢E→, które czytelnik zobaczy poniżej, pojawiały się już w [13]. Natomiast specyfiką bieżących wykładów jest wielokrotne używanie w różnych sytuacjach modeli ± doskonale skorelowanych. Dokładniej, szereg interesujących przykładów będzie się brał z odpowiedniego zaburzania  macierzy kowariancji postaci jak tu niżej w I i II. Np przykład dany w przypisie nr 3 w Wykładzie XI (w wersji html jest to przypis nr 31) – do macierzy ± doskonale skorelowanej dodana tam zostanie macierz Id.)

I. Załóżmy przez chwilę, że zmienne losowe R1,…,⁢Rk są wszystkie doskonale dodatnio  skorelowane, tzn ρi⁢j=1 dla 1≤i≠j≤k, albo też σi⁢j=σi⁢σj dla i≠j, tzn Σ=σ⁢σT. Wtedy xT⁢Σ⁢⁢x=xT⁢σ⁢σT⁢x=σT⁢x2, xT⁢Σ⁢⁢x=σT⁢x dla x∈Δk.
Zatem M⁢x=σT⁢xμT⁢x dla x∈Δk. Odwzorowanie Markowitza jest w tym przypadku liniowe (dokładniej: zapisuje się liniowymi wzorami; jego dziedzina Δk rzecz prosta nie jest przestrzenią liniową; nawet powłoka afiniczna dziedziny, czyli hiperpłaszczyzna H zdefiniowana w Wykładzie II wzorem (2.2) , nie jest przestrzenią liniową).

II. Zmienne losowe R1,…,⁢Rk rozpadają się na dwie grupy R1,…,⁢Rr  oraz  Rr+1,…,⁢Rk gdzie 1≤r≤k-1. Zakładamy, że zmienne w każdej z grup są parami doskonale dodatnio skorelowane, zaś między grupami są doskonale ujemnie skorelowane. Innymi słowy macierz współczynników korelacji to   

W tej sytuacji σ2⁢x=xT⁢Σ⁢⁢x⁢=

oraz σ⁢x⁢=

dla x∈Δk. Zatem

Odwzorowanie Markowitza jest więc złożeniem liniowego przenoszącego Δk na pewien wielokąt wypukły położony po obu stronach osi O⁢E→ i ,,nakładki” R2⁢σ,⁢E→R2⁢σ,⁢E,  σE⟼σE.

Pierwsze z narzucających się tu pytań to

• Czym są zbiory osiągalne M⁢Δk w sytuacjach I i II?

• Czym są granice: minimalna Fmin i maksymalna Fmax dla M⁢Δk w sytuacjach I i II, gdzie te granice definiowane są, i to ogólnie, nie tylko w sytuacjach doskonałych, w sposób następujący

(Zbiory liniowe występujące w tych definicjach zawsze są ograniczone, bo M⁢Δk jest zbiorem zwartym w R2⁢σ,⁢E.)

Na temat zbiorów osiągalnych:

W sytuacji I

jest to więc l-kąt wypukły, 1≤l≤k, położony w prawej (otwartej) półpłaszczyźnie R2⁢σ,⁢E, bo σ1,…,⁢σk>0. Dlaczego ogólnie l-kąt, a nie po prostu k-kąt? Ponieważ niektóre (lub wiele z nich) obrazy wierzchołków sympleksu Δk mogą nie  być punktami ekstremalnymi tego zbioru wypukłego. Lub też, w sytuacji skrajnej, wszystkie te obrazy mogą się pokrywać, dając w wyniku po prostu punkt (1-kąt wypukły).

Niektóre z możliwych tu sytuacji są przedstawione na Rysunku 3.1 poniżej.

Natomiast w sytuacji II,

by uzyskać M⁢Δk, najpierw tworzymy pomocniczy wielokąt wypukły
conv⁢σiμi:i=1,2,…,r;-σjμj:j=r+1,…,⁢k, który – uwaga – położony jest po obu stronach osi O⁢E→. Dokładniej, chwilowo ignorujemy znak wartości bezwzględnej w aktualnym wzorze na M i stosujemy rachunek wypukły z sytuacji I. Jedyna różnica w porównaniu do I jest taka, że teraz dostajemy jakiś l-kąt wypukły, gdzie 2≤l≤k (nie dostajemy pojedynczego punktu, bo trafiamy w obie półpłaszczyzny). Szukany M⁢Δk jest obrazem tego l-kąta przy przekształceniu R2⁢σ,⁢E→R2⁢σ,⁢E, σE⟼σE, które zachowuje punkty w prawej półpłaszczyźnie, zaś punkty z lewej półpłaszczyzny odbija w pionowym lustrze do prawej.

Na temat granic minimalnych i maksymalnych:

Te pytania w sytuacji I są całkiem elementarne, nietrudno scharakteryzować (i należy to zrobić samemu!) rodziny łamanych, którymi są takie granice.

Jednak już w sytuacji II, nawet przy ustalonym dyskretnym parametrze r∈1, 2,…,⁢k-1, opisy granic stają się dosyć skomplikowane. Zatrzymajmy się na chwilę przy tych opisach.

Fmin jest wtedy łamaną o nie więcej niż k+1 bokach, przy czym ta ilość jest osiągana przy każdym k i każdym r (dlaczego?). k+1 jest więc najmniejszym ograniczeniem górnym ilości boków łamanej Fmin. Np na Rysunku 3.2, przy k=4 i r=2, łamana Fmin składa się z 5 boków. Tak samo jest w sytuacji przedstawionej w górnej części Rysunku 3.3 tuż poniżej, choć ten przykład jest subtelniejszy od poprzedniego i będzie w przyszłości wykorzystany w innym celu.

(To zadanie rozwiązują, z różnymi efektami, kolejne roczniki słuchaczy wykładów z APRK1 na Wydziale MIM. Stanowi ono dobry wstęp do poznania i rozumienia ,,parasolkowatej” natury granicy maksymalnej Fmax dla ogólnych  odwzorowań Markowitza – gdy odrzuci się sztuczne założenie ± doskonałej korelacji zmiennych stóp zwrotu.)

Dygresja nt podprzestrzeni zerowych form kwadratowych nieujemnie określonych.

Chodzi tu o zbiory wektorów, na których zerują się formy kwadratowe nieujemnie określone. Często, ustalając bazę w przestrzeni Rk (np bazę standardową e1,…,ek)), utożsamia się formy z macierzami nieujemnie określonymi k×k. Zaczynamy od prostego pytania

Trochę trudniej jest pokazać, że

Dokładniejszą informację może dać

Zauważmy jeszcze, tylko informacyjnie, że ogólnie zbiór wektorów zerujących daną formę kwadratową nie musi mieć struktury przestrzeni liniowej.

Gdy macierz kowariancji Σ jest dodatnio określona, wtedy (oczywiście) żaden portfel Markowitza nie ma zerowego ryzyka. Natomiast czasami, i to już przy k=2, można zmniejszać ryzyko portfela Markowitza poniżej wielkości min⁡σ1,⁢σ2. Tak jest w obu przykładach w Wykładzie I; porównaj w szczególności Rysunek 1.2 dotyczący jednego z nich. Czasami zaś nie można zejść poniżej min⁡σ1,⁢σ2, jak w przykładzie ,,5 stanów giełdy” w Wykładzie II, porównaj z kolei Rysunek 2.1. Od czego to zatem zależy? Przynajmniej przy k=2 chcielibyśmy mieć tu jasność.

Pełny opis zbioruM⁢Δ2.

Język naszego opisu to μ1,⁢μ2,⁢σ1,⁢σ2,⁢ρ⁢=ρ12. Liczby μi są rzeczywiste nie mniejsze niż -1 i różne, by portfele mogły mieć różne wartości oczekiwane. Liczy σi są dodatnie, natomiast ρ∈-1, 1. Podczas rachunku przyjmujemy domyślnie, że jeśli σ1=σ2, to wtedy ρ≠1.
Celem jest, czego domyślamy się już z dotychczasowych doświadczeń i na wykładzie i na ćwiczeniach, uzyskanie hiperboli na płaszczyźnie R2⁢σ,⁢E, względnie paraboli na płaszczyźnie R2⁢σ2,⁢E (parabola będzie nawet wtedy, kiedy hiperbola przy ρ=1 zdegeneruje się do pary prostych).

Obliczamy wariancję portfela, parametryzując najpierw parametrem x1:

podczas gdy

albo

i to wyrażenie będzie można podstawić do (3.1).

Trójmian wyrażający wariancję ma minimum w

z czego wyliczamy, dzięki (3.2), wartość oczekiwaną E0 odpowiadającą tej wartości x1=x1,0,

Patrząc teraz równocześnie na (3.1) i (3.2), widzimy, że szukana hiperbola musi mieć równanie postaci

przy czym w analizie portfelowej ciekawa jest tylko gałąź σ>0.
Trochę dodatkowych rachunków pozwala wyznaczyć wartość stałej po prawej stronie,

Gdy ρ=1 (więc ρ=-1 gdy σ1=σ2), w (3.4) mamy dwie proste krzyżujące się w 0E0.

Gdy ρ<1, w (3.4) mamy hiperbolę w płaszczyźnie R2⁢σ,⁢E, z półosiami długości

W każdym z tych przypadków obrazy portfeli Markowitza (które nas chwilowo jedynie interesują) to części wymienionych krzywych leżące w półpłaszczyźnie σ≥0 i w poziomym pasie położonym między E=μ1 oraz E=μ2.

Skrajne wartościE0, gdy uzmienniamy parametrρ.

Podstawiamy w (3.3) ρ=-1:

E0- jest więc punktem podziału wewnętrznego  odcinka o końcach μ1, μ2 w stosunku σ1:σ2.

Podstawiamy teraz w (3.3) ρ=+1:

E0+ jest więc punktem podziału zewnętrznego  odcinka o końcach μ1, μ2 w stosunku σ1:σ2 (i nie istnieje, gdy σ1=σ2, lecz ten przypadek od początku wykluczyliśmy).

Obserwacja. 3.1. Gdy ρ rośnie od -1 do 1, wtedy E0⁢ρ dane wzorem (3.3) zmienia się ściśle monotonicznie.

Np w sytuacji na rysunku poniżej, mimo braku numeracji obrazów wierzchołków, musi być albo μ1<μ2 i σ1<σ2, albo też μ1>μ2 i σ1>σ2, więc licznik ułamka w (3.6) przy każdej z tych możliwych numeracji jest ujemny  i E0⁢ρ ściśle maleje od E0- do E0+ [w wersji pdf Rysunek 3.4 przeskoczył na następną stronę].

Obserwacja. 3.2. Gdy σ1≠σ2, μ1≠μ2 i ρ rośnie od -1 do +1, wtedy rozwartość kąta między asymptotami hiperboli (3.4) ściśle rośnie od 2⁢⁢arctg⁢μ2-μ1σ1+σ2 do 2⁢⁢arctg⁢μ2-μ1σ2-σ1.

Krytyczna wartość współczynnika korelacji.

Postawmy sobie pozornie uboczne pytanie, kiedy (tj dla jakiej wartości ρ) E0=μ1, tzn. kiedy M⁢e1=σ1μ1 jest czubkiem gałęzi hiperboli (3.4). Według (3.3),

tzn.

tzn. σ1σ2=ρ, przy czym równość σ1=σ2 jest tutaj wykluczona, bo oznaczałaby (dodatkowo) ρ=1.

Rozumując symetrycznie, E0=μ2 pociąga za sobą, że ρ=σ2σ1<1.

Krytyczna wartość współczynnika korelacji, zdefiniowana powyższym wzorem, to bardzo ważne narzędzie w analizie portfelowej. Bywa ono pomocne w zupełnie niespodziewanych sytuacjach, także w przykładach i zadaniach z ilością spółek większą niż dwa (o czym studenci często nie pamiętają).

W obu przykładach w Wykładzie I wartości współczynników korelacji są podkrytyczne: w pierwszym można to sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, zaś w drugim kowariancja między stopami zwrotu jest ujemna.

Nasuwa się pytanie, które łuki hiperbol na Rysunku 3.4 powyżej odpowiadają nadkrytycznym wartościom ρ ?