Pod koniec poprzedniego wykładu poznaliśmy pojęcie krytycznej wartości współczynnika korelacji, oczywiście w danym  modelu Markowitza w wymiarze dwa, a także wartości podkrytycznych i nadkrytycznych tego współczynnika.

Aby jeszcze utrwalić pojęcie krytycznej wartości współczynnika korelacji,

• Komentarz do pierwszego ćwiczenia: widać wyraźnie, że tylko dla ρ podkrytycznych ryzyko w modelu Markowitza można zmniejszać poniżej wartości min⁡σ1,⁢σ2. Ta własność mogłaby też być definicją podkrytyczności: wartość ρ jest podkrytyczna w danym modelu Markowitza, gdy kres dolny ryzyk portfeli w tym modelu jest mniejszy od min⁡σ1,⁢σ2.

• Uwaga nt kanonicznych hiperbol (3.4) w Wykładzie III. Należy mocno podkreślać, że te hiperbole należą do pęku hiperbol zaczepionych w dwóch punktach i przy tym są wszystkie położone kanonicznie. Ze zmianą parametru ρ zmienia się, jak to już badaliśmy, punkt przecięcia ich asymptot oraz kąt rozwarcia asymptot. Jednak kanoniczne położenie pozostaje! Poniżej przytoczone są kopie rysunków z podręcznika [10], które nie respektują kanoniczności położenia hiperbol w takim pęku.

Pod pierwszym z rysunków zmieniony jest oryginalny podpis, bo jeszcze nie wiemy, co to jest krótka sprzedaż. Na rysunku powinna być jedna z kanonicznie położonych hiperbol (3.4) z Wykładu III.

Pod drugim z rysunków też zmieniony jest podpis. (Na nim także rzędna punktu przecięcia asymptot hiperboli wypadałaby poza przedział E0-,⁢E0+.)

Na koniec tej części proponujemy czytelnikowi zastanowić się nad zdegenerowanym przypadkiem μ1=μ2, który dotąd (od samego początku) wykluczaliśmy.

Dwa techniczne aspekty w analizie portfelowej: hiperbole i parabole.

Pamiętamy, że równanie (3.4) w Wykładzie III to równanie hiperboli, czasami zdegenerowanej, i że w takiej hiperboli w analizie portfelowej interesująca jest tylko prawa gałąź położona w półpłaszczyźnie σ>0 (i wręcz, w podejściu Markowitza, tylko niewielka część tej gałęzi). To samo równanie staje się równaniem paraboli, gdy spojrzymy na nie jako wiążące zmienne z płaszczyzny R2⁢σ2,⁢E. Pamiętamy też, że w tę płaszczyznę idzie zmodyfikowane odwzorowanie Markowitza M~. Jak ogólnie wiążą się ze sobą hiperbole i parabole?

To temat niemal bez dna. Z wielu dostępnych wątków wybieramy hasło ,,stożkowa” w encyklopedii WSiP-u [w wersji pdf odpowiedni rysunek jest dopiero na następnej stronie]:

To nie było trudne ćwiczenie. Jednak ma ono swoje drugie dno. Mianowicie asymptoty hiperboli zakodowane są niejako w niej samej oglądanej z daleka (im dalej, tym lepiej). Czy pamiętamy jeszcze gałąź hiperboli ilustrującej pierwszy przykład w Wykładzie I (Rysunek 1.2)? Ta sama gałąź oglądana z większej odległości wygląda tak [w wersji pdf Rysunek 4.4 jest dopiero dwie strony dalej]:

(fragment aktywny w podejściu Markowitza jest jasny i wyróżniony w całym ,,pocisku”). W ten sposób przykład rozpoczynający Wykład I został obejrzany i z bliska i z daleka. Zaczynamy już odczuwać w samej hiperboli obecność jej asymptot, prawda? Zróbmy jeszcze analogiczną rzecz z przykładem ,,5 stanów giełdy” z Wykładu II, który, przypomnijmy, z bliska już był ilustrowany na Rysunku 2.1 (tylko fragment ważny w podejściu Markowitza). Ten sam przykład oglądany z bardzo daleka wygląda następująco (cała gałąź, nie tylko fragment Markowitza; w wersji pdf Rysunek 4.5 jest dopiero dwie strony dalej):

Jest to wycinek oryginalnej pracy studenckiej; sam student dopisał na swoim wykresie, że `nie są to półproste' (tylko oglądane z daleka wąsy hiperboli! Omyłkowo też nazwał poziomą oś σ2 zamiast σ.) Z daleka sama hiperbola zanika i widzimy (niemal) tylko jej asymptoty. W dużej skali asymptoty całkowicie dominują hiperbolę.

Jak to wygląda dla parabol?

Seria doświadczeń – zastosowań wzoru (3.4) z Wykładu III.

Narysujmy uzyskane parabole na jednym rysunku: pierwszą z nich niebieską, drugą zieloną, trzecią czerwoną (górna część rysunku poniżej). Czujemy, że czegoś tu brakuje do pełnego obrazu; nie bardzo jednak wiemy, czego.

Teraz już możemy narysować wszystkie trzy obrazy na jednym rysunku, analogicznie jak w Przykładzie 4.1 i używając tych samych co tam kolorów (patrz dolna część Rysunku 4.6 powyżej). I tu czegoś brakuje do pełnego obrazu!

Ten brakujący element układanki to punkty krytyczne  odwzorowania

które w taki sposób  pierwszy scharakteryzował K. Krzyżewski w wykładach [13], gdzie – uwaga – dziedziną jest teraz cała płaszczyzna H, a nie tylko sympleks Δ3. To znaczy punkty, w których rząd pochodnej dM~(⋅):T⋅H→R2 nie jest maksymalny (czyli, tu, jest mniejszy od 2).
Należy podkreślić, że o portfelach krytycznych twórcy analizy portfelowej mówili od samego początku – patrz np strona z pracy [19] reprodukowana jako Rysunek 14.2 w Wykładzie XIV, albo strona 85 w tej samej [19] – tylko krytyczność portfela rozumieli (będąc ekonomistami, nie matematykami) w sensie warunkowej minimalizacji ryzyka, a nie w sensie AM II. Wybrana tutaj ahistoryczna (i bardziej matematyczna niż ekonomiczna) kolejność objaśnień ma, jak się wydaje, zdecydowaną przewagę dydaktyczną.

Pewien kłopot skrywa się w tym, że H nie jest zbiorem otwartym w R3, tylko jest rozmaitością kowymiaru 1, zresztą parametryzowaną jedną jedyną parametryzacją, np p:x1x2⟼x1x21-x1-x2 (mówimy, że H jest jednym płatem).

Trzeba wtedy zapisać M~ w tej parametryzacji, policzyć punkty krytyczne takiego odwzorowania, a potem zobaczyć, jakie punkty odpowiadają im na H.

Dla Przykładu 4.1 dostajemy w ten sposób

Warunek rk⁢⁢d⁢M~∘p⁢x1x2<2 oznacza det⁡d⁢M~∘p⁢x1x2=0, tzn. x1+x2=23.
To w parametrach, zaś na płaszczyźnie H odpowiadają im punkty x1x213:x1+x2=23.

Widzimy, że punkty krytyczne w Przykładzie 4.1 tworzą prostą, zwaną prostą krytyczną. Na tej prostej x1+x2=23, x1-x2=E-2, stąd x1=12⁢E-23, x2=43-12⁢E, co pozwala zapisać obraz tej prostej przy odwzorowaniu M~.
Istotnie, σ2=x1 2+x2 2+132=12⁢E-232+43-12⁢E2+132=13+12⁢E-22. Jest to zatem obraz prostej boku e1⁢⁢e2¯ przesunięty w poziomie o -16!

Teraz dopiero można ,,domknąć” górną część Rysunku 4.6 i – jako wartość dodaną! – zrozumieć zachowanie odwzorowania M~ na Δ3 [w wersji pdf Rysunek 4.7 jest dopiero na następnej stronie].
Obraz prostej krytycznej (będziemy mówili: pocisk Markowitza, tu: zmodyfikowany pocisk Markowitza) okazuje się styczny: do obrazu boku e2⁢⁢e3¯ na wysokości E=43 i do obrazu boku e3⁢⁢e1¯ na wysokości E=83. Dlaczego akurat na takich wysokościach? Bo są to wartości E w punktach przecięcia prostej krytycznej z odpowiednimi bokami: E⁢0,23,13T=43, E⁢23,0,13T=83.

Analogiczne obliczenia dla Przykładu 4.2, w którym z kolei bardziej naturalnie jest użyć parametryzacji p:x2x3⟼1-x2-x3x2x3, wyglądają następująco.

a więc rk⁢⁢d⁢M~∘p⁢x2x3<2⁢⟺⁢x2+x3=12.
Punkty krytyczne odwzorowania M~ znowu tworzą więc pewną prostą (!) 12x2x3:x2+x3=12, której M~-obrazem jest tym razem pionowa prosta σ2=122+x2+x32=122+122=12.

W świetle powyższych obliczeń, do czego ,,domykają” się wykresy w dolnej części Rysunku 4.6 ?