W Przykładach 4.1 i 4.2 w Wykładzie IV (w których ilość spółek była jednakowa i równa 3) zbiory punktów [albo portfeli w pewnym ogólniejszym sensie niż u Markowitza, który poznamy już w tym wykładzie] krytycznych okazują się być prostymi. Czy tak jest tylko w wymiarze k=3 ? Od czego to zależy? Przyjmijmy już bez zwłoki ogólną

(Patrz też uwagi przy pierwszym pojawieniu się tego pojęcia w Wykładzie IV. Markowitz do scharakteryzowania krytyczności portfela używał trochę innych słów, lecz miał na myśli to, co w tej definicji. Trochę nie zachowując proporcji, przypomnijmy dla porównania, że Leibniz przez dłuższy czas swój drugi rachunek nazywał calculus summatorius. Później Jakob I Bernoulli wprowadził słowo integral – i Leibniz to przyjął. Dalej używał już nazwy calculus integralis.)

Będziemy niedługo szczegółowo badać, powtarzając zresztą rozumowanie kilku noblistów z dziedziny ekonomii, czym ogólnie w analizie portfelowej może być zbiór punktów krytycznych. Wcześniej chcemy jednak zebrać więcej materiału doświadczalnego nt krytyczności punktów. W pierwszej kolejności idzie

Chwilowo liczymy tu tylko obrazy boków, mając już zresztą do wyboru dwie metody. Albo podstawienie do wzoru (3.2) z Wykładu III, albo też jak w Przykładzie 4.2, np dla boku e1⁢⁢e2¯:

co wstawiamy do formy kwadratowej wariancji:

Tak dostajemy M~-obraz prostej zawierającej bok e1⁢⁢e2¯: jest to parabola σ2=10⁢E2+6⁢E+3. Analogicznie licząc, dostajemy

Co z punktami krytycznymi w tym modelu? Czy także tutaj ich zbiór tworzy prostą? I jaki jest obraz tego zbioru? W przyszłości odpowiedzi na takie pytania będą automatyczne; tu podajemy je wprost. Odpowiedź na pytanie pierwsze jest twierdząca. Oto ta prosta, tylko lekko zahaczająca sympleks standardowy Δ3:

Przykład ten, bardzo ważny, będzie jeszcze rozbudowywany (łącznie z dyskusją obrazów boków sympleksu i prostej krytycznej) w dalszych wykładach. Tymczasem bogactwo geometrycznych możliwości pokazuje

Okazuje się, że zbiory punktów krytycznych znowu zawsze są tu prostymi! Przy tym ewoluują one w dość ciekawy sposób. Oto ta ewolucja; autor: A. Zalewska (przypominamy, że zbiory punktów krytycznych w analizie portfelowej są podzbiorami płaszczyzny H).

Ewolucja prostych krytycznych w Przykładzie 5.2 (w programie Mathematica; należy oglądać i analizować na komputerach z dostępnym tym programem)

Jak ta ewolucja prostych w płaszczyźnie H odwzorowuje się na płaszczyznę obrazu?  To jest, jak to wygląda po obłożeniu [bardziej graficznie poglądowym niż M] odwzorowaniem M~ ?  Autorem także jest A. Zalewska.

Ewolucja obrazów prostych krytycznych w Przykładzie 5.2, przy zmodyfikowanym przekształceniu Markowitza

Ktoś może powiedzieć, że Rysunek 5.2 jest mało kanoniczny – nie jest przecież na płaszczyźnie R2⁢σ,⁢E. Oto, jak wygląda on całkiem kanonicznie, tj po obłożeniu znanym i wspominanym już w tych wykładach dyfeomorfizmem⁵jakim ? przenoszącym parabole na hiperbole (prawa autorskie należą tu do tego samego co poprzednio studenta WNE UW) [w wersji pdf Rysunek 5.3 jest dopiero dwie strony dalej]:

Należy wspomnieć, że sytuacja pokazana na Rysunkach 5.2 i 5.3 – przyklejanie się obrazu sympleksu standardowego do pocisku Markowitza tylko w jednym punkcie położonym w górnej  połowie pocisku (dla E>E0) – była postulowana i poszukiwana przez szereg lat trwania wykładów z APRK1 na Wydziale MIM UW. Przełom przyniosło dopiero w roku akademickim 2007/08 uzmiennienie współczynnika ρ23 w przykładzie Mordona (Przykład 5.2 powyżej), które nie byłoby możliwe bez samego tego przykładu!

W dalszym ciągu⁶i już do końca w tych wykładach; czasem będziemy nawet zakładać więcej zakładamy, że

tzn., że nie wszystkie wartości oczekiwane μi stóp zwrotu Ri (i=1, 2,⁢…,⁢k) są równe. Będziemy to krótko notować jak już tu wyżej:

Skoro proste krytyczne (czy ogólniej: zbiory punktów krytycznych w analizie portfelowej) są tak ważne, to jak bardziej operatywnie sprawdzać, czy punkt x∈H (czy też x∈Δk) jest krytyczny w analizie portfelowej? Innymi słowy, jak sprawdzać, czy odwzorowanie M~:H→R2 jest krytyczne w x.

To twierdzenie pojawiało się w pierwszych wersjach wykładów [13], zaś później – w szczególności w wersji z roku 2000 – już tylko jako zadanie z gwiazdką.⁷Cóż to były za czasy! Obecnie jego zwarty dowód dany tu niżej jest za długi do wyłożenia w realnym czasie wykładu. Przy tym zadanie z gwiazdką dotyczyło równoważności spojrzenia Markowitza (relatywna minimalizacja ryzyka, ale w aspekcie B) i Definicji 5.1; Twierdzenie 5.1 w takiej operatywnej postaci jw w ogóle tam nie występowało. To pokazuje przy okazji całkiem odmienne filozofie wykładów Krzyżewskiego i tu prezentowanych: w bieżących to twierdzenie jest zupełnie podstawowym narzędziem. Jeśli zaś chodzi o gwiazdkę przy zadaniu w [13], to mniej więcej obejmuje ona dowód Twierdzenia 5.1.

W tej chwili mamy już dwa opisy krytyczności punktów z H (nie tylko klasycznych portfeli Markowitza z Δk⊂H !): definicyjny i dany poprzez to dopiero co udowodnione twierdzenie. Jest najwyższa pora wyjaśnić, co dla nas znaczą wszystkie  punkty x∈H, tj takie x∈Rk, że eT⁢x=x1+x2+⋯+xk=1, spośród których tylko nieliczne są, przy ustalonych parametrach modelu, krytyczne.

Odpowiedź będzie modelowaniem tzw.  nieograniczonej krótkiej sprzedaży (ang. unrestricted short selling) wg podejścia Blacka i współautorów z wczesnych lat 1970ch – porównaj szczególnie strony 11 oraz 39 w [22].

Portfel inwestora w modelu Blacka, a więc – powtarzamy – z dopuszczalną nieograniczoną krótką sprzedażą

• Inwestor wkracza do Domu Maklerskiego (dalej DM) z kwotą L>0 (np złotych czy funtów).

• Po okazaniu kwoty L, pożycza w DM według swojego uznania akcje spółek o numerach j∈J⊂1, 2,…,⁢k. Konkretnie, tyle akcji spółki j-tej, że (albo: by) ich obecna wartość jest (była) Aj, dla j∈J.

• Pożyczone akcje spółek o numerach j∈J natychmiast, tego samego dnia, sprzedaje na giełdzie. W wyniku tego ma teraz L+∑j∈JAj złotych (czy funtów, …).

• Za wszystkie te środki od razu kupuje akcje spółek o numerach i∈I⊂1, 2,…,⁢k⁢⁢\⁢⁢J. Konkretnie, tyle akcji spółki i-tej, że (albo: by) ich obecna wartość jest (była) Ai, i∈I, przy czym, oczywiście,

  L+∑j∈JAj=∑i∈IAi.

  (5.3)

Można się już domyślać, jaka będzie dalsza strategia inwestora – od tego zaczniemy następny wykład. W tej chwili chcemy `tylko' matematycznie zakodować opisaną działalność inwestora.
W tym celu zapisujemy równość bilansową (5.3) trochę inaczej

i oznaczamy xi=AiL dla i∈I, oraz xj=-AjL dla j∈J. Dla indeksów l∈1, 2,…,⁢k⁢⁢\⁢⁢I∪J kładziemy xl=0. Portfel inwestora jest teraz zakodowany jako wektor x=xνν=1k. Mamy, dzięki (5.4), x∈H. Mówimy, że w spółkach o numerach i∈I inwestor zajął długie pozycje (jest to zakodowane poprzez dodatni znak xi: xi>0), zaś w spółkach o numerach j∈J zajął krótkie pozycje (zakodowane poprzez ujemny znak xj: xj<0).