W poprzednim wykładzie, oprócz drugiej wartości charakterystycznej [stopy zwrotu μ0 bezryzykownej, gwarantowanej …], pojawiła się też trzecia (po E0=βγ i μ0) charakterystyczna wartość oczekiwana α-μ0⁢ββ-μ0⁢γ. (Oczywiście wartość ta pojawia się tylko wtedy, gdy napisany ułamek ma sens, np  gdy, jak w Uwadze 8.2, μ0<E0.) Na pionowej osi O⁢E→ mamy wtedy trzy wyróżnione wartości.

Punktem wyjścia było – przypominamy – wzbogacenie modelowania Blacka o wyidealizowany bank oferujący w obie strony jedną i tę samą (!) stopę zwrotu μ0. Albo równoważnie – dodanie do modelu Blacka ,,waloru bezryzykownego o stopie zwrotu μ0”.

Właśnie w Uwadze 8.2 (Wykład VIII) wspomnieliśmy, że w zmodyfikowanym modelu Tobina zawsze zakłada się dodatkowo, że μ0<βγ. Za chwilę wyjaśnimy, dlaczego.

Na początek postawmy pytanie, co można wtedy powiedzieć o tej trzeciej wyróżnionej wielkości α-μ0⁢ββ-μ0⁢γ?   Zauważamy bez trudu, że

Istotnie, podstawową nierówność z Lematu 6.1 (Wykład VI, α⁢γ-β2>0) zapisujemy inaczej jako α-μ0⁢β>βγ⁢β-μ0⁢γ. Teraz w procesie dzielenia tej nierówności stronami przez  β-μ0⁢γ  nie zmieniamy kierunku nierówności wtedy i tylko wtedy gdy β-μ0⁢γ>0, i właśnie to jest powiedziane w (9.1).

Zanim użyjemy równoważności (9.1), podsumujmy naszą dotychczasową wiedzę na temat zmodyfikowanego modelu Tobina.

Kluczową rolę zdaje się odgrywać w nim prosta krytyczna Tobina, utworzona z portfeli relatywnie minimalnego ryzyka (relatywnie = przy ustalonej wartości oczekiwanej). W sytuacji ogólnej przechodzi ona przez dwa charakterystyczne punkty-portfele mające wartości oczekiwane E=μ0 (punkt położony na osi zmiennej x0) i E=α-μ0⁢ββ-μ0⁢γ (punkt leżący na ,,blaszce” x0=0, istniejący tylko wtedy, gdy ułamek ma sens, tj gdy μ0≠E0). Wygląda ona wtedy tak [w wesji pdf rysunek trafia na następną stronę],

przy czym podprzestrzeń 0⁢Rk⁢x1,…,⁢xk jest przez nią trafiana w punkcie leżącym w hiperpłaszczyźnie H (dokładniej: w 0×H), jak zostało ustalone w [bardzo łatwym] Ćwiczeniu 8.2 w Wykładzie VIII.

Czy da się jeszcze powiedzieć coś więcej o tym punkcie spotkania prostej Tobina z 0×H⊂0×Rk?   Otóż tak,

Obserwacja. 9.1 Prosta krytyczna Tobina trafia podprzestrzeń 0×Rk w punkcie leżącym na prostej krytycznej Blacka:

w terminach wzoru (8.10) i oznaczeniach z Wykładu VI.

Dla dowodu wystarczy policzyć dwa minory 2×2 wchodzące do wzoru (6.2) na portfele krytyczne Blacka x⁢E w Twierdzeniu 6.1 (Wykład VI):

Ta obserwacja ma ważne konsekwencje geometryczne, gdyż M–obrazy prostych leżących w H~ i przecinających prostą krytyczną Tobina są zawsze, z powodu samej tylko krytyczności ich punktu przecięcia!, styczne do M–obrazu tej prostej Tobina, czyli do kątownika Tobina policzonego w Wykładzie VIII.

W szczególności stosuje się to do prostej krytycznej Blacka,²⁰Jest to tzw. the punch line  tego i być może wszystkich wykładów z APRK1. Anglosasi mawiają w takich sytuacjach ”And now there comes the punch line …” o ile tylko punkt przecięcia tych prostych istnieje. To znaczy – patrz końcówka Wykładu VIII – gdy μ0≠E0. Albo też, co jest dokładnie tym samym na mocy równoważności (9.1), gdy α-μ0⁢ββ-μ0⁢γ≠E0.

Wtedy jej M–obraz, czyli pocisk Markowitza, jest styczny w punkcie M⁢Σ-1⁢μ-μ0⁢eβ-μ0⁢γ do kątownika Tobina. Przy tym pocisk leży oczywiście wewnątrz tego kątownika – bo brzeg kątownika Tobina jest, jak już wiemy z Wykładu VIII, granicą minimalną w zmodyfikowanym modelu Tobina.
W tym miejscu bardzo zalecane jest obejrzeć dwie ilustracje, Figure V i Figure VII, w fundamentalnej (choć trudno dostępnej) pracy [23].

Dla dalszej dyskusji kluczowe jest, czy μ0<E0, czy też μ0>E0.

∙ W pierwszym przypadku rzędna punktu styczności

co pokazuje, że punkt styczności leży i na górnym ramieniu kątownika Tobina, i na górnym ,,wąsie” pocisku Markowitza. Czytelnik domyśla się już, że tylko ta sytuacja będzie dla nas ciekawa (maksymalizowany będzie współczynnik Sharpe'a, o którym wstępnie dowiedzieliśmy się już w Wykładzie I).

I czytelnik domyśla się także, co dzieje się w drugim przypadku.

∙A∙ Tak jest, wtedy, znowu używając (9.1),

więc punkt styczności leży zarówno na dolnym ramieniu kątownika Tobina, jak też na dolnym wąsie pocisku Markowitza – co z punktu widzenia analizy portfelowej jest zupełnie nieciekawe (punkt przecięcia prostych byłby portfelem nieefektywnym w aspekcie B, współczynnik Sharpe'a byłby wtedy minimalizowany). Ilustracją tej sytuacji jest Figure VII w [23]; patrz też ciekawe uwagi w przypisie 11 tamże, korygujące jeszcze wcześniejsze próby ilustrowania podejmowane przez innych autorów.

Jak tę wewnętrzną styczność pocisku Markowitza do kątownika Tobina można zobrazować geometrycznie, ograniczając się do portfelowo ciekawszej sytuacji (9.2)? Pierwsza historycznie ilustracja tego to właśnie Figure V w publikacji [23].

W tych wykładach za pierwszą próbę wizualizacji możnaby od biedy i ex post  uznać … Rysunek 1.3 w Wykładzie I. A oto jeszcze cztery próby  takiej wizualizacji, na czterech rysunkach idących jeden po drugim tu poniżej, pochodzących z prac licencjackich czterech różnych studentów naszego wydziału. (Nikt na Wydziale MIM UW, jak dotąd, nie zobrazował lepiej wewnętrznej styczności pocisku Markowitza do kątownika Tobina.)

Oznaczenia na każdym z rysunków są różne; nie ma zresztą jakiejś jednej kanonicznej terminologii przyjętej w ośrodkach badawczych, gdzie uprawiana jest analiza portfelowa. [W wersji pdf dwie z tych wizualizacji zajmują następną stronę, kolejna jest na jeszcze następnej stronie, zaś czwarta i ostatnia wizualizacja znajduje się na jeszcze jeszcze następnej.]

Dokładniejsze przyjrzenie się Rysunkowi 9.2 pokazuje, że portfel krytyczny Blacka

podany tu w postaci uzyskanej w (8.10) w Wykładzie VIII, w sytuacji (9.2) maksymalizuje wśród wszystkich portfeli Blacka x∈H współczynnik Sharpe'a

(powtórzenie wzoru (1.1) z Wykładu I). Jest to bezpośredni wniosek z Rysunku 9.2; porównaj też Rysunek 1.3 (i jego okolice) w Wykładzie I.

Natomiast w dualnej sytuacji (9.3), portfel (8.10), leżący niezmiennie na przecięciu prostych Blacka i Tobina, minimalizuje ten sam współczynnik wśród wszystkich portfeli Blacka, czego uzasadnienie jest zupełnie analogiczne i też geometryczne.

Wreszcie w sytuacji specjalnej μ0=E0, zagadnienie maksymalizacji (czy też analogicznie minimalizacji) współczynnika Sharpe'a nie ma rozwiązania wśród wszystkich portfeli Blacka. Istotnie, dla każdego portfela Blacka nietrudno wtedy wskazać inny portfel, którego współczynnik Sharpe'a jest większy (względnie mniejszy). Nie wchodzimy tu w szczegóły, jest to całkiem elementarne.

Będziemy odtąd mówić, nie wymieniając, czy nie nawiązując już wprost do wyidealizowanego banku, że w sytuacji (9.2) portfel xop jest optymalny w modelu Blacka ze względu na [panującą na rynku] stopę bezryzykowną μ0. Jest to pewien żargon matematyki finansowej, lecz dość szeroko rozpowszechniony. Pierwszy taką terminologię wprowadził Krzyżewski w [13]; mówił on o portfelu optymalnym w modelu Blacka względem μ0.

Dyskusja rozpoczęta w Wykładzie VIII i kontynuowana do tego miejsca w bieżącym, pozwala na sformułowanie

To twierdzenie jest już udowodnione; również, jeśli chodzi o jedyność portfela optymalnego. (W grę wchodzą bowiem tylko portfele Blacka mające M-obrazy na górnym wąsie pocisku Markowitza, więc leżące tylko na jednej półprostej E≥E0 w prostej Blacka, o początku w xmin. Zaś na tej półprostej maksymalny współczynnik Sharpe'a ma tylko portfel xop.)

Dynamika ilustrowana w Przykładzie 9.2 jest całkowicie zrozumiała, gdy rysunki takie jak [np] Rysunek 9.2 analizujemy pod kątem dążności μ0→E0-: punkt styczności, czyli M⁢xop, ucieka wtedy w górę (w kierunku `północno-wschodnim') po wąsie pocisku Markowitza do ∞.

Dyskusja portfeli optymalnych w teorii Blacka byłaby niepełna bez dyskusji portfeli efektywnych w zmodyfikowanym modelu Tobina, leżących na półprostej krytycznej Tobina zaczynającej się w portfelu 1, 0,…, 0T i przechodzącej przez 0,⁢xop⁢TT. Ta półprosta jest zaznaczona na czerwono na Rysunku 9.6 poniżej. One, i tylko one, są efektywne, gdyż tylko one przechodzą na górne ramię kątownika Tobina, tzn. σ,⁢ET:E-μ0=σ⁢α-2⁢μ0⁢β+μ0 2⁢γ. W szczególności odcinek portfeli między punktami charakterystycznymi na prostej Tobina 1, 0,…, 0T i 0,⁢xop⁢TT przechodzi afinicznie na odcinek o końcach 0,⁢μ0T i M⁢xop.²²Formalnie rzecz biorąc, nie powinniśmy w argumencie pod M opuszczać zerowej składowej xop,0=0. Te odcinki są pogrubione na Rysunku 9.6 poniżej.

Na rzucie wymienionego odcinka [czerwonego pogrubionego na Rysunku 9.6] na Rk⁢x1,…,⁢xk leży ważny z punktu widzenia interpretacji finansowych ,,portfel”

Uwaga. Jest częstym błędem w pracach licencjackich czy nawet podręcznikach lokować punkt yop na czerwonym pogrubionym odcinku na Rysunku 9.6. Punkty tam leżące są pewnymi portfelami krytycznymi Tobina i oczywiście spełniają warunek budżetowy. Ślad tego błędu jest też na, skądinąd bardzo starannym i czytelnym, Rysunku 9.2 powyżej.

Cudzysłów przed definicją (9.5) został więc użyty celowo; obiekt opisany wzorem (9.5) najczęściej nie jest portfelem. Dokładniej, oznaczając t⁢=def⁢∑i=1kxop,i-1, na czerwonym pogrubionym odcinku poniżej leży portfel krytyczny Tobina

[W wersji pdf odpowiedni rysunek przeskoczył aż na następną stronę.]

Chcemy te ogólne uwagi wstępne wesprzeć konkretnym przykładem. Jeśli portfel wypisany explicite w Wykładzie VI oznaczyć właśnie xop, wtedy (rezygnując z % na rzecz zwykłych ułamków) t=81.118-1=0.01233, zaś yop zdefiniowany wzorem (9.5) wynosi

Zgodnie we wzorem (9.6), do tak określonego wektora yop dochodzi ogromna część kapitału (tylko kapitału własnego inwestora, o czym niżej!), dokładnie (1-t=0.98767) –część zdeponowana w banku na bezryzykownym koncie procentującym μ0 w rozważanym okresie inwestycyjnym, patrz wzór (9.8) poniżej.

,,Portfel” yop jest nazywany w literaturze portfelem optymalnym Lintnera, por. [16] i [5]. Wyraża on, czy modeluje (koduje?) inwestowanie na giełdzie z ograniczoną w sensie Lintnera krótką sprzedażą; w danym przypadku – inwestowanie optymalne w sensie współczynnika Sharpe'a Sμ0.

Przed dalszymi wyjaśnieniami chcemy podkreślić występującą tu pozorną sprzeczność. Oto z jednej strony ,,portfel” yop niesie w sobie kompletną informację dotyczącą inwestowania w akcje: suma modułów jego składowych wynosi z definicji 1, czyli przedstawia on podział kapitału własnego inwestora na części inwestowane w poszczególne spółki giełdowe. Ponadto znaki wskazują na rodzaj tego inwestowania: + oznacza zajmowanie długiej pozycji w danym walorze, zaś - oznacza zajmowanie krótkiej pozycji.

Wszystko wydaje się pasować, dopóki nie uzmysłowimy sobie, że jednak yop nie jest portfelem, zaś staje się takim dopiero po dołożeniu czy też dostrzeżeniu lwiej części środków pieniężnych umieszczonych na bezryzykownym koncie w banku. Czy można w jakiś finansowo spójny sposób połączyć wymienione tu fakty i informacje?

Otóż tak, przy czym wyjaśnienie przychodzi z dwu stron.

Pierwsza jest algebraiczna i polega na uważnym przyjrzeniu się wielkości środków, które trafiają do banku:

Druga polega na przyjrzeniu się inwestowaniu w akcje z dopuszczeniem krótkiej sprzedaży w sensie Lintnera. Podkreślmy – jakiemukolwiek takiemu inwestowaniu, niekoniecznie inwestowaniu w portfel yop pochodzący od portfela optymalnego w modelu Blacka.

Otóż Lintner modeluje inwestowanie w portfel y z krótką sprzedażą następująco:

inwestor wkracza do Domu Maklerskiego ze swoim kapitałem L, który dzieli na części yi⁢L przeznaczone do zainwestowania w akcje spółek o numerach i, ∑i=1kyi=1. Jeśli zajmuje on długą pozycję w walorze i, wtedy yi>0. Jeśli krótką, wtedy yi<0. W tym drugim, ciekawszym przypadku inwestor:

• - deponuje w DM -yi⁢L swego kapitału, czyli równowartość akcji i-tej spółki pożyczonych przez DM;

• - następnie sprzedaje te dopiero co pożyczone akcje i uzyskane za nie -yi⁢L zamraża na cały okres inwestycyjny w DM, po angielsku: put in escrow;

• - na końcu okresu inwestycyjnego odbiera pieniądze put in escrow i odkupuje za nie pożyczone na początku akcje nr i (za mniejszą kwotę, niż zamroził – wtedy ma zysk, lub za większą – wtedy różnicę musi dołożyć z własnych środków i wówczas odnotowuje stratę), które następnie zwraca do DM;

• - wychodząc z DM odbiera swoje zdeponowane na okres inwestycyjny -yi⁢L.

Unifikacja spojrzeń na krótką sprzedaż Lintnera następuje przez zapisanie (9.7) w postaci

i następnie ekstrapolację tego wzoru do ogólniejszego

gdzie t⁢= 1+2⁢∑i:yi<0yi⁢=⁢∑i=1kyi+2⁢∑i:yi<0yi⁢=⁢∑i=1kyi.

Podkreślamy jeszcze raz – portfel y1,⁢y2,…,⁢ykT modelujący krótką sprzedaż Lintnera nie pochodzi teraz od żadnego portfela optymalnego. Jedyne ograniczenie, jakiemu podlega, to ∑i=1kyi>0, tzn. inwestor inwestuje więcej w długie pozycje niż w krótkie.²³  Nawet to ograniczenie à priori nie jest konieczne w podejściu Lintnera. Jednakże nasze interpretacje dotyczą tylko portfeli Lintnera, w których więcej niż połowa kapitału idzie w długie pozycje, a mniej niż połowa w pozycje krótkie.

Kluczowe dla zrozumienia sytuacji jest zauważenie, że zarówno początkowe pieniądze inwestora -yi⁢L zdeponowane w DM, jak i te ,,nowe” -yi⁢L zamrożone, czy też put in escrow  na okres inwestycyjny, procentują ze stopą zysku μ0! DM nie trzyma przecież takich depozytów u siebie, tylko w banku, który zawsze stosuje stopę μ0. Innymi słowy, dla każdej spółki nr i, w której inwestor zajmuje krótką pozycję (yi<0), przez okres inwestycyjny procentuje dla niego kwota 2⁢-yi⁢L. Łącznie procentuje tak zatem kwota L⋅[wielkość po prawej stronie wzoru (9.9)]. Czy inwestor Lintnera tego chce, czy nie, efekt jest taki, jakby 1-t-ta część jego kapitału procentowała bezryzykownie ze stopą μ0.

Natomiast pozostała t-ta część jego kapitału zachowuje się proporcjonalnie ze współczynnikiem t do zachowania na giełdzie portfela – już teraz prawdziwego portfela Blacka yeT⁢y :

Im mniejszy jest ,,portfel” Lintnera y, t małe dodatnie, tym większa jest ilość środków, 1-t w stosunku do kapitału inwestora, realnie lokowana w banku. Im większa skłonność do krótkiej sprzedaży, tym większa część środków bezryzykownie ,,pracuje” w banku. Taka jest istota ograniczonej krótkiej sprzedaży Lintnera.

Dla wygody słuchacza, któremu przypadła do gustu krótka sprzedaż w sensie Lintnera, proponujemy następujący krótki słownik:

Dla zamknięcia tematu ,,zmodyfikowany model Tobina” warto spojrzeć na oba typy kątowników: stary w teorii Blacka (mówimy krótko ”kątownik Blacka”) i nowy w teorii Tobina (”kątownik Tobina”) z jednego wspólnego punktu widzenia.

Mianowicie, zmodyfikowany model Tobina okazuje się leżeć ,,na granicy” pewnych  niezdegenerowanych modeli Blacka k+1×k+1 z parametrami

Dokładniej, dla tych modeli można policzyć klasyczne parametry z teorii Blacka αϵ,⁢βϵ,γϵ, uzyskując:

Wówczas wysokości dzióbków ich pocisków Markowitza zachowują się zgodnie z oczekiwaniami

Co z kątami między asymptotami tych pocisków, albo najkrócej: co z kątami w ich kątownikach Blacka? Liczymy tangensy połowy kątów w kątownikach Blacka dla tych modeli, wzór (6.6):

Do kompletu informacji brak jeszcze wiedzy na temat samych półoś aϵ oraz bϵ pocisków Markowitza, które mają do czegoś dążyć. Z poziomymi półosiami nie ma najmniejszego kłopotu,

gdy ϵ→0+. (Podobnie z pionowymi półosiami, gdy już – właśnie z Ćwiczenia 9.4 ! – znamy granicę tangensów kątów:

lecz nam wystarcza informacja o półosiach poziomych.)

Tak więc dany zmodyfikowany model Tobina istotnie jest granicą pewnych niezdegenerowanych modeli Blacka w wymiarze k+1, z naciskiem na ”pewnych”, specjalnie dobranych. Ich kątowniki Blacka dążą do kątownika Tobina, ok, lecz nawet więcej: same te pociski Markowitza dążą do kątownika Tobina.²⁵W tym momencie przypomina się nam Rysunek 4.5 w Wykładzie IV: pocisk Markowitza oglądany z tak daleka, że już nieodróżnialny od własnych asymptot.

Konkludując, [ktoś powie:] nic nowego pod słońcem; zmodyfikowany model Tobina może być w bardzo precyzyjnym sensie traktowany jako przypadek graniczny w teorii Blacka i współpracowników.

Chcemy teraz przenieść spojrzenie Tobina na model Blacka na – też Tobina – spojrzenie na model Markowitza! Pamiętamy, że w teorii Blacka portfel optymalny ze względu na stopę bezryzykowną podaną przez teorię Tobina wyłonił się całkiem naturalnie. Maksymalizowanie przez niego współczynnika Sharpe'a jest widoczne bezpośrednio i jest bardzo intuicyjne.

Inaczej będzie z portfelami optymalnymi w teorii Markowitza. Metody Analizy II bezpośrednio tam nie wystarczą, potrzebna będzie Optymalizacja II. Więcej nawet: do samego szukania granicy minimalnej Fmin w ogólnym przypadku też użyteczna będzie Optymalizacja II.

Kluczowe narzędzie dla całej pozostałej części kursu APRK1

Przypomnimy teraz ważne narzędzie z Optymalizacji II, tzw. twierdzenie Karusha-Kuhna-Tuckera, które oryginalnie opublikowane zostało w [14], tzn. w trudno dostępnej publikacji zbiorowej ,,Proceedings 2nd Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability” (1951) oraz było już zawarte w nieopublikowanej pracy magisterskiej [11] z [grudnia] roku 1939. Twierdzenie to prawie zawsze przypisywane jest tylko Kuhnowi i Tuckerowi; niżej (i w dalszych wykładach) czytelnik znajdzie niemało prób wyjaśnienia takiego stanu rzeczy.
Należy zaznaczyć, że oryginalne sformułowania twierdzenia, bardzo do siebie zbliżone, choć podane całkowicie niezależnie przez (a) Karusha oraz (b) Kuhna i Tuckera, były inne  niż przytoczone tu poniżej. Nie miały one charakteru `iff' (czyli, po nowo-polsku, `wteddy') i nie było w nich żadnych słów dotyczących wklęsłości bądź wypukłości. Były to tylko warunki konieczne ekstremów lokalnych warunkowych konkretnego typu; w istocie jeden warunek wspólny w obu pracach. Jest to znakomicie opisane w – dużo późniejszej – przeglądowej i historycznej pracy [12], gdzie szczególnie należy zwrócić uwagę na początek sekcji 2.3 na stronie 337, jako, że na pierwszy rzut oka warunek Karusha jednak różni się od warunku(ów) Kuhna i Tuckera.

Piszący kilkanaście lat później [w dużym przeglądowym artykule w Wiadomościach Matematycznych XII.1 (1969)] A. Turowicz i H. Górecki tak oceniali to twierdzenie: ”… Metody Dubowickiego–Milutina oraz Kuhna–Tuckera są tak doniosłe, że powinny być udostępnione inżynierom pracującym naukowo w specjalnym opracowaniu.” (O pracy magisterskiej Karusha nic wtedy, a może i później, nie wiedzieli.)

Dopiero po jakimś czasie dyskutowane twierdzenie zaczęło być używane w kategorii wypukłej, i wówczas już jako `wteddy'. Nie sposób obecnie odtworzyć łańcuszka tego swoistego głuchego telefonu, który w danym przypadku ulepszał, a nie pogarszał rezultat!
Oto wersja, jaka nam będzie potrzebna i (chwilowo) wystarczająca.

Jak już powiedziano, Twierdzenie 9.2 będziemy stosować w analizie portfelowej. Jednak dobrą rozgrzewką jest następujące zagadnienie, które też (m. in.) może być atakowane przy pomocy twierdzenia Karusha-Kuhna-Tuckera.