12. Wykład XII (kolokwium), 18.XII.2009

1. (15p.)

Rozważamy rodzinę modeli Blacka Σρ,μ, gdzie

Σρ=9313222ρ122ρ4,μ=542,0ρ12.
  • Znaleźć (w podanym przedziale) wszystkie wartości parametru ρ, przy których prosta krytyczna jest równoległa do prostej boku e2e3¯ .

  • Jaka jest wtedy odległość prostej krytycznej od prostej boku e2e3¯ ?

2. (15p.)

Wychodzimy od znanego przykładu

Σ=100010001,μ=312.

Zwiększamy teraz ρ13 do pierwszej napotkanej wartości, przy której prosta krytyczna w takim modelu Blacka przechodzi przez wierzchołek 1,0,0T. Znaleźć łamaną wierzchołkową i łamaną efektywną w uzyskanym modelu Markowitza. Wykonać odpowiednie rysunki.

3. (10p.)

Rozważamy inny znany przykład modelu Markowitza

Σ=100011011,μ=312.

Znaleźć w tym modelu portfel optymalny x~op ze względu na stopę bezryzykowną μ0=12 (optymalny, tzn. maksymalizujący współczynnik Sharpe'a).

——————————————————————————————————————–

Pytanie dodatkowe

, będące przedłużeniem zadania nr 1 (NIEOBOWIĄZKOWE):

  • Czy M~-obraz prostej boku e2e3¯ jest wtedy przesunięciem równoległym pocisku Markowitza oglądanego na płaszczyźnie σ2,E ?
    Jeśli tak, to o jaki wektor?
    Za odpowiedź na to pytanie można uzyskać do 8p., przy czym łączny wynik z kolokwium nie może przekroczyć 40p.

Przykładowe rozwiązanie Zadania 1 z kolokwium  (patrz też Ćwiczenie 5.1 w Wykładzie V, które mieści też w sobie Pytanie dodatkowe z kolokwium).

Prosta krytyczna ma [więc] równanie

x1=c, (12.1)

gdzie c pozostaje do wyznaczenia. Piszemy to równanie w postaci wynikającej z Twierdzenia 5.1 w Wykładzie V:

9c+3x2+x3513c+2x2+22ρx341c+22ρx2+4x321=0,albo
10c+22ρx2+6-62ρx3=0 . (12.2)

Warunkiem koniecznym, by równania (12.1) i (12.2) były tym samym, jest równość współczynników przy x2 i x3 w (12.2), 22ρ=6-62ρ, stąd ρ=3412, jedyne rozwiązanie, i przy tym leżące w przedziale 0,12.

Wtedy wnioskiem z (12.1) i (12.2) jest 10c+2234121-c=0, albo c=-317. By znaleźć odległość prostej krytycznej x1=-317 od prostej boku e2e3¯, tzn. prostej x1=0, zauważamy, że przy zmianie wartości const (w x1=const) od 1 do 0, twierdzenie Pitagorasa mówi, że odpowiednie proste są odległe o 32. Zatem, z proporcjonalności, przy zmianie const od 0 do -317, odległość odpowiednich prostych wynosi -31732=31732.

Uwaga 12.1

– ostrzeżenie do rozwiązania zadania 1 z kolokwium.
Studenci często szukają tej odległości prostych równoległych [leżących w położonej ukośnie płaszczyźnie H] używając rzutów tych prostych na płaszczyznę x2,x3 [uwaga – w wersji pdf rysunek jest na następnej stronie]:

\par
Rys. 12.1. .

Następnie, pracując w tej płaszczyźnie, udzielają różnych odpowiedzi: 2017-1, 22017-1, 122017-1. Ta ostatnia liczba jest odległością prostych na powyższym rysunku, jednak żadna z tych liczb nie jest odpowiedzią do pytania w zadaniu.

Odpowiedź liczbowa do Pytania dodatkowego z kolokwium:
obraz prostej krytycznej x1=-317 (czyli pocisk Markowitza) oglądany na płaszczyźnie σ2,E ma równanie

σ2=9151+34E-1132, (12.3)

natomiast obraz prostej x1=0 ma równanie

σ2=2312+34E-1132. (12.4)

Ten drugi obraz jest więc przesunięciem równoległym pierwszego o wektor 02312-9151=0968=00.13235..., jak na rysunku poniżej [w wersji pdf Rysunek 12.2 trafia na następną stronę].

\par
Rys. 12.2. Krzywa o równaniu (12.4) to czerwona parabola.

Jeśli chodzi o związane z nimi gałęzie hiperbol,39w zadaniu się o nie nie pytano to mają one, oczywiście, te same asymptoty przecinające oś OE na wysokości 113, ze stosunkiem długości półoś ba=23. Jednak konkretne wartości długości półoś są różne: dla hiperboli (12.3) (niebieskiej na Rysunku 12.3 poniżej) wynoszą one a123=1.3358, b123=1.5424, zaś dla hiperboli (12.4) (czerwonej na Rysunku 12.3) wynoszą a23=1.3844, b23=1.5986. Oto te gałęzie [w wersji pdf Rysunek 12.3 przeskakuje na następną stronę]:

\par
Rys. 12.3. Przesunięte równolegle parabole z Rysunku 12.2 stają się gałęziami hiperbol mających te same asymptoty.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.