3. Wykład III, 16.X.2009

Przykłady obliczeń odwzorowania Markowitza w najprostszych sytuacjach – gdy okazuje się ono być liniowe lub kawałkami liniowe. (Od takich prostych przykładów zaczyna się najczęściej, bo rzadkie są sytuacje, gdy odchylenie standardowe portfela Markowitza da się policzyć bez wyciągania pierwiastka kwadratowego. Wykłady [13] też od tego zaczynały. Wielokąty wypukłe i odbicie w pionowej osi OE, które czytelnik zobaczy poniżej, pojawiały się już w [13]. Natomiast specyfiką bieżących wykładów jest wielokrotne używanie w różnych sytuacjach modeli ± doskonale skorelowanych. Dokładniej, szereg interesujących przykładów będzie się brał z odpowiedniego zaburzania  macierzy kowariancji postaci jak tu niżej w I i II. Np przykład dany w przypisie nr 3 w Wykładzie XI (w wersji html jest to przypis nr 31) – do macierzy ± doskonale skorelowanej dodana tam zostanie macierz Id.)

I. Załóżmy przez chwilę, że zmienne losowe R1,,Rk są wszystkie doskonale dodatnio  skorelowane, tzn ρij=1 dla 1ijk, albo też σij=σiσj dla ij, tzn Σ=σσT. Wtedy xTΣx=xTσσTx=σTx2, xTΣx=σTx dla xΔk.
Zatem Mx=σTxμTx dla xΔk. Odwzorowanie Markowitza jest w tym przypadku liniowe (dokładniej: zapisuje się liniowymi wzorami; jego dziedzina Δk rzecz prosta nie jest przestrzenią liniową; nawet powłoka afiniczna dziedziny, czyli hiperpłaszczyzna H zdefiniowana w Wykładzie II wzorem (2.2) , nie jest przestrzenią liniową).

II. Zmienne losowe R1,,Rk rozpadają się na dwie grupy R1,,Rr  oraz  Rr+1,,Rk gdzie 1rk-1. Zakładamy, że zmienne w każdej z grup są parami doskonale dodatnio skorelowane, zaś między grupami są doskonale ujemnie skorelowane. Innymi słowy macierz współczynników korelacji to   

r k-r
r +1 -1
k-r -1 +1
 ,  albo jeszcze inaczej

Σ=σ1σr-σr+1-σkσ1σr-σr+1-σk
Uwaga 3.1

Chociaż tak skrajne rozbicie spółek giełdowych na dwie antagonistyczne grupy nigdy nie występuje w praktyce, to jednak coś trochę zbliżonego obserwowano na giełdzie w Tokio bezpośrednio po katastrofalnym trzęsieniu ziemi w mieście Kobe w styczniu 1995 roku. Wtedy korelacje między stopami zwrotu z akcji firm budowlanych i ubezpieczeniowych były między -0.6 i -0.2, podczas gdy w warunkach stabilnych prawie wszystkie współczynniki korelacji są między 0.5 i 0.7 .  (Średni współczynnik korelacji na NYSE wynosi 0.6 .)

W tej sytuacji σ2x=xTΣx=

xTσ1σr-σr+1-σkσ1σr-σr+1-σkx=σ1σr-σr+1-σkx2

oraz σx=

xTΣx=σ1σr-σr+1-σkx=σ1x1++σrxr-σr+1xr+1--σkxk,

dla xΔk. Zatem

Mx=σ1x1++σrxr-σr+1xr+1--σkxkμTx,xΔk.

Odwzorowanie Markowitza jest więc złożeniem liniowego przenoszącego Δk na pewien wielokąt wypukły położony po obu stronach osi OE i ,,nakładki” R2σ,ER2σ,E,  σEσE.

Pierwsze z narzucających się tu pytań to

  • Czym są zbiory osiągalne MΔk w sytuacjach I i II?

  • Czym są granice: minimalna Fmin i maksymalna Fmax dla MΔk w sytuacjach I i II, gdzie te granice definiowane są, i to ogólnie, nie tylko w sytuacjach doskonałych, w sposób następujący

Fmin=defzbiór lewych krańców zbiorów liniowych MΔkE=const,
Fmax=defzbiór prawych krańców zbiorów liniowych MΔkE=const.

(Zbiory liniowe występujące w tych definicjach zawsze są ograniczone, bo MΔk jest zbiorem zwartym w R2σ,E.)

Na temat zbiorów osiągalnych:

W sytuacji I

MΔk=Mconv100,010,,001=convM100,,M001
=convσiμi|i=1, 2,,k,

jest to więc l-kąt wypukły, 1lk, położony w prawej (otwartej) półpłaszczyźnie R2σ,E, bo σ1,,σk>0. Dlaczego ogólnie l-kąt, a nie po prostu k-kąt? Ponieważ niektóre (lub wiele z nich) obrazy wierzchołków sympleksu Δk mogą nie  być punktami ekstremalnymi tego zbioru wypukłego. Lub też, w sytuacji skrajnej, wszystkie te obrazy mogą się pokrywać, dając w wyniku po prostu punkt (1-kąt wypukły).

Niektóre z możliwych tu sytuacji są przedstawione na Rysunku 3.1 poniżej.

\par
Rys. 3.1. Zbiory osiągalne w modelu Markowitza przy stopach zwrotu doskonale dodatnio skorelowanych.

Natomiast w sytuacji II,

by uzyskać MΔk, najpierw tworzymy pomocniczy wielokąt wypukły
convσiμi:i=1,2,,r;-σjμj:j=r+1,,k, który – uwaga – położony jest po obu stronach osi OE. Dokładniej, chwilowo ignorujemy znak wartości bezwzględnej w aktualnym wzorze na M i stosujemy rachunek wypukły z sytuacji I. Jedyna różnica w porównaniu do I jest taka, że teraz dostajemy jakiś l-kąt wypukły, gdzie 2lk (nie dostajemy pojedynczego punktu, bo trafiamy w obie półpłaszczyzny). Szukany MΔk jest obrazem tego l-kąta przy przekształceniu R2σ,ER2σ,E, σEσE, które zachowuje punkty w prawej półpłaszczyźnie, zaś punkty z lewej półpłaszczyzny odbija w pionowym lustrze do prawej.

Przykład 3.1

Weźmy k=4, r=2 oraz σ1=4,σ2=1,σ3=1,σ4=4;μ1=1,μ2=2,μ3=5,μ4=6. Na Rysunku 3.2 tuż poniżej pokazane jest powstawanie zbioru MΔ4 we wspomnianych dwóch krokach; e1, e2, e3, e4 to, oczywiście, kolejne wierzchołki sympleksu Δ4.

\par
Rys. 3.2. Zbiór osiągalny w modelu Markowitza przy stopach ± doskonale skorelowanych.

Na temat granic minimalnych i maksymalnych:

Te pytania w sytuacji I są całkiem elementarne, nietrudno scharakteryzować (i należy to zrobić samemu!) rodziny łamanych, którymi są takie granice.

Jednak już w sytuacji II, nawet przy ustalonym dyskretnym parametrze r1, 2,,k-1, opisy granic stają się dosyć skomplikowane. Zatrzymajmy się na chwilę przy tych opisach.

Fmin jest wtedy łamaną o nie więcej niż k+1 bokach, przy czym ta ilość jest osiągana przy każdym k i każdym r (dlaczego?). k+1 jest więc najmniejszym ograniczeniem górnym ilości boków łamanej Fmin. Np na Rysunku 3.2, przy k=4 i r=2, łamana Fmin składa się z 5 boków. Tak samo jest w sytuacji przedstawionej w górnej części Rysunku 3.3 tuż poniżej, choć ten przykład jest subtelniejszy od poprzedniego i będzie w przyszłości wykorzystany w innym celu.

\par
Rys. 3.3. Trochę ciekawsze przykłady sytuacji ± doskonale skorelowanych.
Ćwiczenie 3.1

W sytuacji ± doskonale skorelowanej przy ustalonych wielkościach k i r, znaleźć najmniejsze ograniczenie górne (dlaczego takie istnieje?) ilości boków łamanej Fmax.

Wskazówka: 

Zanalizować przykład pokazany w dolnej części Rysunku 3.3 powyżej, gdzie przy k=6 i r=3 granica (tu łamana) maksymalna składa się z 10 boków.

Rozwiązanie: 

Pokazać, że poszukiwanym ograniczeniem jest funkcja od k i r zdefiniowana następująco

k-2+2r=2k-2gdy r=k-r,k-1+2minr,k-rgdy rk-r.

(To zadanie rozwiązują, z różnymi efektami, kolejne roczniki słuchaczy wykładów z APRK1 na Wydziale MIM. Stanowi ono dobry wstęp do poznania i rozumienia ,,parasolkowatej” natury granicy maksymalnej Fmax dla ogólnych  odwzorowań Markowitza – gdy odrzuci się sztuczne założenie ± doskonałej korelacji zmiennych stóp zwrotu.)

Dygresja nt podprzestrzeni zerowych form kwadratowych nieujemnie określonych.

Chodzi tu o zbiory wektorów, na których zerują się formy kwadratowe nieujemnie określone. Często, ustalając bazę w przestrzeni Rk (np bazę standardową e1,,ek)), utożsamia się formy z macierzami nieujemnie określonymi k×k. Zaczynamy od prostego pytania

Ćwiczenie 3.2

Czy macierze Σ w sytuacjach doskonale skorelowanych I i II są dodatnio określone ?

Rozwiązanie: 

Nie, gdyż mają one duże zbiory wektorów yRk zerujących odpowiadającą im formę kwadratową yTΣy. Z wcześniejszych obliczeń wiemy, że te zbiory są hiperpłaszczyznami liniowymi: i=1kσiyi=0 w sytuacji I, względnie i=1rσiyi-i=r+1kσiyi=0 w sytuacji II.

Trochę trudniej jest pokazać, że

Ćwiczenie 3.3

Σ0yRk|yTΣy=0 jest podprzestrzenią liniową Rk. Jest to właśnie tzw. podprzestrzeń zerowa  formy mającej macierz Σ.

Rozwiązanie: 

yTΣy=y~TΣy~=0y+y~TΣy+y~=2yTΣy~0 oraz też y-y~TΣy-y~=-2yTΣy~0. Te dwie nierówności dają łącznie yTΣy~=0, i dalej y+y~TΣy+y~=0.

Dokładniejszą informację może dać

Ćwiczenie 3.4

Ustalić (jeśli istnieje) związek między rzędem macierzy Σ0 i wymiarem jej podprzestrzeni zerowej.

Zauważmy jeszcze, tylko informacyjnie, że ogólnie zbiór wektorów zerujących daną formę kwadratową nie musi mieć struktury przestrzeni liniowej.

Przykład 3.2

Już forma kwadratowa na R2 mająca w bazie standardowej macierz 100-1, tj przyjmująca na wektorze y1,y2T wartość y1 2-y2 2, jest taka.

Gdy macierz kowariancji Σ jest dodatnio określona, wtedy (oczywiście) żaden portfel Markowitza nie ma zerowego ryzyka. Natomiast czasami, i to już przy k=2, można zmniejszać ryzyko portfela Markowitza poniżej wielkości minσ1,σ2. Tak jest w obu przykładach w Wykładzie I; porównaj w szczególności Rysunek 1.2 dotyczący jednego z nich. Czasami zaś nie można zejść poniżej minσ1,σ2, jak w przykładzie ,,5 stanów giełdy” w Wykładzie II, porównaj z kolei Rysunek 2.1. Od czego to zatem zależy? Przynajmniej przy k=2 chcielibyśmy mieć tu jasność.

Pełny opis zbioruMΔ2.

Język naszego opisu to μ1,μ2,σ1,σ2,ρ=ρ12. Liczby μi są rzeczywiste nie mniejsze niż -1 i różne, by portfele mogły mieć różne wartości oczekiwane. Liczy σi są dodatnie, natomiast ρ-1, 1. Podczas rachunku przyjmujemy domyślnie, że jeśli σ1=σ2, to wtedy ρ1.
Celem jest, czego domyślamy się już z dotychczasowych doświadczeń i na wykładzie i na ćwiczeniach, uzyskanie hiperboli na płaszczyźnie R2σ,E, względnie paraboli na płaszczyźnie R2σ2,E (parabola będzie nawet wtedy, kiedy hiperbola przy ρ=1 zdegeneruje się do pary prostych).

Obliczamy wariancję portfela, parametryzując najpierw parametrem x1:

σ2=σ2x11-x1=x11-x1σ1 2ρσ1σ2ρσ1σ2σ2 2x11-x1=σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 2x1 2+2ρσ1σ2-2σ2 2x1+σ2 2, (3.1)

podczas gdy

E=Ex11-x1=μ1-μ2x1+μ2,

albo

x1=E-μ2μ1-μ2 (3.2)

i to wyrażenie będzie można podstawić do (3.1).

Uwaga 3.2

Jest jeden jedyny przypadek, gdy (3.1) nie  wyraża kwadratowej zależności σ2 od x1:  σ1=σ2 i ρ=1. Wtedy znikają tam współczynniki przy x1 2 oraz x1, i przez to σ2x11-x1σ2 2. Ten przypadek wykluczyliśmy na początku rachunku.

Trójmian wyrażający wariancję ma minimum w

x1,0=σ2 2-ρσ1σ2σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 2,

z czego wyliczamy, dzięki (3.2), wartość oczekiwaną E0 odpowiadającą tej wartości x1=x1,0,

E0=E0ρ=μ1σ2 2+μ2σ1 2-μ1+μ2ρσ1σ2σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 2. (3.3)

Patrząc teraz równocześnie na (3.1) i (3.2), widzimy, że szukana hiperbola musi mieć równanie postaci

μ1-μ22σ2-σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 2E-E02=const,

przy czym w analizie portfelowej ciekawa jest tylko gałąź σ>0.
Trochę dodatkowych rachunków pozwala wyznaczyć wartość stałej po prawej stronie,

μ1-μ22σ2-σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 2E-E02=μ1-μ22σ1 2σ2 2σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 21-ρ2. (3.4)

Gdy ρ=1 (więc ρ=-1 gdy σ1=σ2), w (3.4) mamy dwie proste krzyżujące się w 0E0.

Gdy ρ<1, w (3.4) mamy hiperbolę w płaszczyźnie R2σ,E, z półosiami długości

a=σ1σ21-ρ2σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 2,b=μ1-μ2σ1σ2σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 21-ρ2. (3.5)
3Równanie położonej kanonicznie na płaszczyźnie R2x,y hiperboli o półosiach długości a i b to
x-x02a2-y-y02b2=1 .
Tutaj x=σ, x0=0, y=E, y0=E0.

W każdym z tych przypadków obrazy portfeli Markowitza (które nas chwilowo jedynie interesują) to części wymienionych krzywych leżące w półpłaszczyźnie σ0 i w poziomym pasie położonym między E=μ1 oraz E=μ2.

Skrajne wartościE0, gdy uzmienniamy parametrρ.

Podstawiamy w (3.3) ρ=-1:

E0-=E0-1=μ1σ22+μ2σ12+μ1+μ2σ1σ2σ1+σ22=σ2μ1+σ1μ2σ1+σ2σ1+σ22=σ2μ1+σ1μ2σ1+σ2,

E0- jest więc punktem podziału wewnętrznego  odcinka o końcach μ1, μ2 w stosunku σ1:σ2.

Podstawiamy teraz w (3.3) ρ=+1:

E0+=E0+1=μ1σ2 2+μ2σ1 2-μ1+μ2σ1σ2σ1-σ22=σ2μ1-σ1μ2σ2-σ1σ2-σ12=σ2μ1-σ1μ2σ2-σ1,

E0+ jest więc punktem podziału zewnętrznego  odcinka o końcach μ1, μ2 w stosunku σ1:σ2 (i nie istnieje, gdy σ1=σ2, lecz ten przypadek od początku wykluczyliśmy).

Obserwacja. 3.1. Gdy ρ rośnie od -1 do 1, wtedy E0ρ dane wzorem (3.3) zmienia się ściśle monotonicznie.

Prawa strona w (3.3) to funkcja homograficzna od ρ. Zapisujemy ją inaczej, jak (być może) robiliśmy to już kiedyś na zajęciach z Funkcji Analitycznych:

E0=μ1σ2 2+μ2σ1 2-μ1+μ2ρσ1σ2σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 2
=μ1+μ2σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 2+μ2-μ1σ1 2+μ1-μ2σ2 22σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 2
=μ1+μ22+μ2-μ1σ1 2-σ2 22σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 2. (3.6)

Ścisła monotoniczność E0ρ jest już teraz widoczna.

Np w sytuacji na rysunku poniżej, mimo braku numeracji obrazów wierzchołków, musi być albo μ1<μ2 i σ1<σ2, albo też μ1>μ2 i σ1>σ2, więc licznik ułamka w (3.6) przy każdej z tych możliwych numeracji jest ujemny  i E0ρ ściśle maleje od E0- do E0+ [w wersji pdf Rysunek 3.4 przeskoczył na następną stronę].

\par
Rys. 3.4. Pęk hiperbol parametryzowany zmieniającą się wartością ρ.

Obserwacja. 3.2. Gdy σ1σ2, μ1μ2 i ρ rośnie od -1 do +1, wtedy rozwartość kąta między asymptotami hiperboli (3.4) ściśle rośnie od 2arctgμ2-μ1σ1+σ2 do 2arctgμ2-μ1σ2-σ1.

Według (3.5), tg12kąt rozwarcia asymptot=ba=μ2-μ1σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 2 .

Krytyczna wartość współczynnika korelacji.

Postawmy sobie pozornie uboczne pytanie, kiedy (tj dla jakiej wartości ρ) E0=μ1, tzn. kiedy Me1=σ1μ1 jest czubkiem gałęzi hiperboli (3.4). Według (3.3),

μ2σ1 2-μ1+μ2ρσ1σ2=μ1σ1 2-2μ1ρσ1σ2,

tzn.

μ2-μ1σ1 2=μ2-μ1ρσ1σ2,

tzn. σ1σ2=ρ, przy czym równość σ1=σ2 jest tutaj wykluczona, bo oznaczałaby (dodatkowo) ρ=1.

Rozumując symetrycznie, E0=μ2 pociąga za sobą, że ρ=σ2σ1<1.

Wniosek 3.1

Czubek gałęzi hiperboli (3.4) pokrywa się z jednym z obrazów wierzchołków Δ2 wtedy i tylko wtedy, gdy

ρ(=ρkryt)=defmin{σ1σ2,σ2σ1}<1 .

Krytyczna wartość współczynnika korelacji, zdefiniowana powyższym wzorem, to bardzo ważne narzędzie w analizie portfelowej. Bywa ono pomocne w zupełnie niespodziewanych sytuacjach, także w przykładach i zadaniach z ilością spółek większą niż dwa (o czym studenci często nie pamiętają).

Ćwiczenie 3.5

Policzyć wartość ρkryt w przykładzie na Rysunku 3.4 powyżej.

Przykład 3.3

W przykładzie ,,5 stanów giełdy” z Wykładu II wartość współczynnika korelacji ρAB jest właśnie krytyczna:

ρAB=covRA,RBσAσB=σB 2σAσB=σBσA=ρkryt.

Ten efekt krytyczności ρAB widać wyraźnie na Rysunku 2.1 w Wykładzie II: czubek gałęzi hiperboli jest tam na wysokości 0.05 .

Definicja 3.1

Wartości -1ρ<ρkryt nazywamy podkrytycznymi, natomiast wartości ρkryt<ρ1 nazywamy nadkrytycznymi.

W obu przykładach w Wykładzie I wartości współczynników korelacji są podkrytyczne: w pierwszym można to sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, zaś w drugim kowariancja między stopami zwrotu jest ujemna.

Nasuwa się pytanie, które łuki hiperbol na Rysunku 3.4 powyżej odpowiadają nadkrytycznym wartościom ρ ?

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.