4. Wykład IV, 23.X.2009

Pod koniec poprzedniego wykładu poznaliśmy pojęcie krytycznej wartości współczynnika korelacji, oczywiście w danym  modelu Markowitza w wymiarze dwa, a także wartości podkrytycznych i nadkrytycznych tego współczynnika.

Ćwiczenie 4.1

Prześledzić na Rysunku 3.4 (Wykład III), które narysowane tam gałęzie hiperbol odpowiadają wartościom współczynnika korelacji jakiego typu. (Widać tam wyraźnie hiperbolę z krytycznym współczynnikiem korelacji. Które z pozostałych hiperbol mają korelacje podkrytyczne, które zaś nadkrytyczne?)

Aby jeszcze utrwalić pojęcie krytycznej wartości współczynnika korelacji,

Ćwiczenie 4.2

Wyprowadzić wzór na ρkryt bezpośrednio z formuły () w Wykładzie III.

Wskazówka: 

Czubek hiperboli (3.4) będzie znajdował się na wysokości μ1 (tzn. będzie obrazem portfela e1) lub na wysokości μ2 (tzn. będzie obrazem portfela e2) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja dana wzorem () w Wykładzie III będzie miała minimum w x1=1 lub w x1=0.

Rozwiązanie: 

Rozwijając wskazówkę i używając wzoru na x1,0 z Wykładu III, musi być albo

σ2 2-ρσ1σ2σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 2= 1,

co po prostych przekształceniach daje

σ1 2-ρσ1σ2=0,

czyli

ρ=σ1σ2,

albo też

σ2 2-ρσ1σ2σ1 2-2ρσ1σ2+σ2 2= 0,

co od razu prowadzi do

ρ=σ2σ1.
  • Komentarz do pierwszego ćwiczenia: widać wyraźnie, że tylko dla ρ podkrytycznych ryzyko w modelu Markowitza można zmniejszać poniżej wartości minσ1,σ2. Ta własność mogłaby też być definicją podkrytyczności: wartość ρ jest podkrytyczna w danym modelu Markowitza, gdy kres dolny ryzyk portfeli w tym modelu jest mniejszy od minσ1,σ2.

  • Uwaga nt kanonicznych hiperbol (3.4) w Wykładzie III. Należy mocno podkreślać, że te hiperbole należą do pęku hiperbol zaczepionych w dwóch punktach i przy tym są wszystkie położone kanonicznie. Ze zmianą parametru ρ zmienia się, jak to już badaliśmy, punkt przecięcia ich asymptot oraz kąt rozwarcia asymptot. Jednak kanoniczne położenie pozostaje! Poniżej przytoczone są kopie rysunków z podręcznika [10], które nie respektują kanoniczności położenia hiperbol w takim pęku.

Pod pierwszym z rysunków zmieniony jest oryginalny podpis, bo jeszcze nie wiemy, co to jest krótka sprzedaż. Na rysunku powinna być jedna z kanonicznie położonych hiperbol (3.4) z Wykładu III.

\par
Rys. 4.1. Rzędna punktu przecięcia asymptot hiperboli wypadłaby poza przedział E0+,E0-, co niemożliwe.

Pod drugim z rysunków też zmieniony jest podpis. (Na nim także rzędna punktu przecięcia asymptot hiperboli wypadałaby poza przedział E0-,E0+.)

\par
Rys. 4.2. Para półprostych CA i CB nie jest położona kanonicznie.

Na koniec tej części proponujemy czytelnikowi zastanowić się nad zdegenerowanym przypadkiem μ1=μ2, który dotąd (od samego początku) wykluczaliśmy.

Ćwiczenie 4.3

Zanalizować zależność obrazu MΔ2 odwzorowania Markowitza od ρ-1, 1 w sytuacji μ1=μ2 (σ1 i σ2 mogą być równe lub różne – bez znaczenia; przyjąć na przykład, że są różne).

Wskazówka: 

Równanie (3.4) z Wykładu III jest teraz bezużyteczne, jednak cały czas można używać formuły (3.1) z Wykładu III na wariancję portfela σ2. Można np badać, jak zmienia się minimum wartości σ2 gdy zmienia się ρ, pamiętając, że ρ=σ1σ2 pociąga x1,0=1 itd.

Dwa techniczne aspekty w analizie portfelowej: hiperbole i parabole.

Pamiętamy, że równanie (3.4) w Wykładzie III to równanie hiperboli, czasami zdegenerowanej, i że w takiej hiperboli w analizie portfelowej interesująca jest tylko prawa gałąź położona w półpłaszczyźnie σ>0 (i wręcz, w podejściu Markowitza, tylko niewielka część tej gałęzi). To samo równanie staje się równaniem paraboli, gdy spojrzymy na nie jako wiążące zmienne z płaszczyzny R2σ2,E. Pamiętamy też, że w tę płaszczyznę idzie zmodyfikowane odwzorowanie Markowitza M~. Jak ogólnie wiążą się ze sobą hiperbole i parabole?

To temat niemal bez dna. Z wielu dostępnych wątków wybieramy hasło ,,stożkowa” w encyklopedii WSiP-u [w wersji pdf odpowiedni rysunek jest dopiero na następnej stronie]:

\par
Rys. 4.3. Strona z Encyklopedii Szkolnej ,,Matematyka” wydanej przez WSiP.
Ćwiczenie 4.4

Czy każde dwie hiperbole na płaszczyźnie są podobne?

Rozwiązanie: 

Nie, oczywiście nie; kąt między asymptotami hiperboli jest niezmiennikiem przy podobieństwach płaszczyzny. (Czy to jest jedyny niezmiennik, czy też jest jeszcze coś?)

To nie było trudne ćwiczenie. Jednak ma ono swoje drugie dno. Mianowicie asymptoty hiperboli zakodowane są niejako w niej samej oglądanej z daleka (im dalej, tym lepiej). Czy pamiętamy jeszcze gałąź hiperboli ilustrującej pierwszy przykład w Wykładzie I (Rysunek 1.2)? Ta sama gałąź oglądana z większej odległości wygląda tak [w wersji pdf Rysunek 4.4 jest dopiero dwie strony dalej]:

\par
Rys. 4.4. Zależność między ryzykiem i oczekiwaną stopą zwrotu dla mieszanych portfeli akcji spółek X i Y z Wykładu I jako część szerszej analogicznej zależności dyskutowanej w Wykładzie VI.

(fragment aktywny w podejściu Markowitza jest jasny i wyróżniony w całym ,,pocisku”). W ten sposób przykład rozpoczynający Wykład I został obejrzany i z bliska i z daleka. Zaczynamy już odczuwać w samej hiperboli obecność jej asymptot, prawda? Zróbmy jeszcze analogiczną rzecz z przykładem ,,5 stanów giełdy” z Wykładu II, który, przypomnijmy, z bliska już był ilustrowany na Rysunku 2.1 (tylko fragment ważny w podejściu Markowitza). Ten sam przykład oglądany z bardzo daleka wygląda następująco (cała gałąź, nie tylko fragment Markowitza; w wersji pdf Rysunek 4.5 jest dopiero dwie strony dalej):

\par
Rys. 4.5. Gałąź hiperboli nie do odróżnienia od swoich asymptot.

Jest to wycinek oryginalnej pracy studenckiej; sam student dopisał na swoim wykresie, że `nie są to półproste' (tylko oglądane z daleka wąsy hiperboli! Omyłkowo też nazwał poziomą oś σ2 zamiast σ.) Z daleka sama hiperbola zanika i widzimy (niemal) tylko jej asymptoty. W dużej skali asymptoty całkowicie dominują hiperbolę.

Jak to wygląda dla parabol?

Ćwiczenie 4.5

Czy każde dwie parabole na płaszczyźnie są podobne?

Wskazówka: 

Podać np podobieństwo przenoszące parabolę xx2:xR na parabolę xax2:xR, gdzie a0 jest ustalone.

Wniosek 4.1

Parabole są bardziej zakręcone i przez to lepiej niż hiperbole będą w tych wykładach nadawały się do rysunków eksponujących styczności różnych krzywych. W wielu sytuacjach praktycznych będziemy więc raczej posługiwali się parabolami (i zmodyfikowanym przekształceniem Markowitza M~) niż hiperbolami (i odzorowaniem Markowitza M).

Seria doświadczeń – zastosowań wzoru (3.4) z Wykładu III.

Przykład 4.1
Σ=100010001,μ=312.

Podstawiamy do wzoru (3.4) σ1=σ2=1, μ1=3,μ2=1, ρ=ρ12=0 i uzyskujemy obraz boku e1e2¯:σ2=12+12E-22 (oglądany, powtórzmy, na R2σ2,E).

Analogicznie, podstawiając do (3.4) odpowiednie wielkości,
obraz boku e2e3¯:σ2=12+2E-322,
obraz boku e3e1¯:σ2=12+2E-522.

Narysujmy uzyskane parabole na jednym rysunku: pierwszą z nich niebieską, drugą zieloną, trzecią czerwoną (górna część rysunku poniżej). Czujemy, że czegoś tu brakuje do pełnego obrazu; nie bardzo jednak wiemy, czego.

\par
Rys. 4.6. Obrazy boków sympleksu Δ3 w Przykładach 4.1 i 4.2.
Przykład 4.2
Σ=100011011,μ=312.

Korzystając z obliczeń już wykonanych w Przykładzie 4.1,
obraz boku e1e2¯:σ2=12+12E-22,
obraz boku e3e1¯:σ2=12+2E-522.

Obraz boku e2e3¯ jest inny. Zgodnie z wiedzą z Wykładu III, ten obraz ma bardzo proste równanie σ2=1 (bo σ2=σ3 oraz ρ23=1).

Teraz już możemy narysować wszystkie trzy obrazy na jednym rysunku, analogicznie jak w Przykładzie 4.1 i używając tych samych co tam kolorów (patrz dolna część Rysunku 4.6 powyżej). I tu czegoś brakuje do pełnego obrazu!

Ten brakujący element układanki to punkty krytyczne  odwzorowania

M~:HR2σ2,E,

które w taki sposób  pierwszy scharakteryzował K. Krzyżewski w wykładach [13], gdzie – uwaga – dziedziną jest teraz cała płaszczyzna H, a nie tylko sympleks Δ3. To znaczy punkty, w których rząd pochodnej dM~():THR2 nie jest maksymalny (czyli, tu, jest mniejszy od 2).
Należy podkreślić, że o portfelach krytycznych twórcy analizy portfelowej mówili od samego początku – patrz np strona z pracy [19] reprodukowana jako Rysunek 14.2 w Wykładzie XIV, albo strona 85 w tej samej [19] – tylko krytyczność portfela rozumieli (będąc ekonomistami, nie matematykami) w sensie warunkowej minimalizacji ryzyka, a nie w sensie AM II. Wybrana tutaj ahistoryczna (i bardziej matematyczna niż ekonomiczna) kolejność objaśnień ma, jak się wydaje, zdecydowaną przewagę dydaktyczną.

Pewien kłopot skrywa się w tym, że H nie jest zbiorem otwartym w R3, tylko jest rozmaitością kowymiaru 1, zresztą parametryzowaną jedną jedyną parametryzacją, np p:x1x2x1x21-x1-x2 (mówimy, że H jest jednym płatem).

Trzeba wtedy zapisać M~ w tej parametryzacji, policzyć punkty krytyczne takiego odwzorowania, a potem zobaczyć, jakie punkty odpowiadają im na H.

Dla Przykładu 4.1 dostajemy w ten sposób

M~px1x2=2x1 2+2x1x2+2x2 2-2x1-2x2+1x1-x2+2,detdM~px1x2=-6x1+6x2-4.

Warunek rkdM~px1x2<2 oznacza detdM~px1x2=0, tzn. x1+x2=23.
To w parametrach, zaś na płaszczyźnie H odpowiadają im punkty x1x213:x1+x2=23.

Widzimy, że punkty krytyczne w Przykładzie 4.1 tworzą prostą, zwaną prostą krytyczną. Na tej prostej x1+x2=23, x1-x2=E-2, stąd x1=12E-23, x2=43-12E, co pozwala zapisać obraz tej prostej przy odwzorowaniu M~.
Istotnie, σ2=x1 2+x2 2+132=12E-232+43-12E2+132=13+12E-22. Jest to zatem obraz prostej boku e1e2¯ przesunięty w poziomie o -16!

Teraz dopiero można ,,domknąć” górną część Rysunku 4.6 i – jako wartość dodaną! – zrozumieć zachowanie odwzorowania M~ na Δ3 [w wersji pdf Rysunek 4.7 jest dopiero na następnej stronie].
Obraz prostej krytycznej (będziemy mówili: pocisk Markowitza, tu: zmodyfikowany pocisk Markowitza) okazuje się styczny: do obrazu boku e2e3¯ na wysokości E=43 i do obrazu boku e3e1¯ na wysokości E=83. Dlaczego akurat na takich wysokościach? Bo są to wartości E w punktach przecięcia prostej krytycznej z odpowiednimi bokami: E0,23,13T=43, E23,0,13T=83.

\par
Rys. 4.7. Pierwsze spotkanie ze (zmodyfikowanym) pociskiem Markowitza ,,domykającym” wykresy w górnej części Rysunku 4.6.
Uwaga 4.1

Ktoś może się zapytać, skąd biorą się takie styczności jak na rysunku powyżej? Dlaczego pocisk Markowitza jest styczny do obrazów boków ciętych prostą krytyczną? (Te styczności mają, oczywiście, też miejsce na płaszczyźnie (R2(σ,E).) Dotykamy tu samej istoty krytyczności. Punkty cięcia prostych są krytyczne i dlatego  w ich obrazach mamy styczności obrazów prostych. Będziemy do tego wracać w dalszych wykładach i tego wielokrotnie używać.

Ćwiczenie 4.6

Co przekształcenie M~ w Przykładzie 4.1 robi z trójkątem Δ3 ? (Wiemy już, który bok przeprowadza na który łuk. Jeszcze nie wiemy, który kawałek wnętrza Δ3 przeprowadza na który kawałek płaszczyzny.)

Analogiczne obliczenia dla Przykładu 4.2, w którym z kolei bardziej naturalnie jest użyć parametryzacji p:x2x31-x2-x3x2x3, wyglądają następująco.

M~px2x3=2x2 2+4x2x3+2x3 2-2x2-2x3+1-2x2-x3+3,detdM~px2x3=4x2+4x3-2,

a więc rkdM~px2x3<2x2+x3=12.
Punkty krytyczne odwzorowania M~ znowu tworzą więc pewną prostą (!) 12x2x3:x2+x3=12, której M~-obrazem jest tym razem pionowa prosta σ2=122+x2+x32=122+122=12.

W świetle powyższych obliczeń, do czego ,,domykają” się wykresy w dolnej części Rysunku 4.6 ?

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.