Oznaczmy przez Kk i Sk liczbę zleceń kupna i sprzedaży z limitem ceny k, a przez Sk+, Kk+, Sk- i Kk- liczby ofert sprzedaży i kupna z limitem większym lub mniejszym od k.

Oznaczmy przez M zbiór kursów równowagi. Załóżmy, że łącznie zostały złożone oferty kupna m i sprzedaży n akcji, n,m≥1.

Okazuje się, że zbiór kursów równowagi jest domkniętym przedziałem lub punktem. Rzeczywiście: Ustawiamy n+m limitów w ciąg rosnący

Dowód.
Krok 1. M⊃pm,pm+1.
Wybierzmy dowolny punkt k z przedziału pm,pm+1. Mamy następujący układ równań i nierówności

Zatem

Czyli k jest kursem równowagi.

Krok 2. k>pm+1⇒k∉M.
Gdy k>pm+1, to

Zatem

A stąd wynika, że nie wszystkie zlecenia sprzedaży z limitem mniejszym od k mogą być zrealizowane.
k nie jest kursem równowagi.

Krok 3. k<pm⇒k∉M.
Gdy k<pm, to

Zatem

Stąd nie wszystkie zlecenia kupna z limitem większym od k mogą być zrealizowane.
k nie jest kursem równowagi.

W zadaniu 10.1 m=17 i p17=p18=20 (dokładniej p16=…=p25=20). Zatem mamy dokładnie jeden kurs równowagi 20 tzn. M=20. Natomiast w zadaniu 10.2 mamy m=17 p17=10<20=p18, zatem M=10,20.

Wolumen obrotu przy ustalonym kursie x jest to liczba transakcji, która może być zawarta po tym kursie. Ponieważ każda transakcja wymaga udziału dwóch stron – kupującego i sprzedającego, to wolumen obrotu jest równy mniejszej z dwóch liczb:
– liczby ofert kupna po cenie nie mniejszej niż x,
oraz
– liczby ofert sprzedaży po cenie nie wyższej niż x

Dowód.
Niech k kurs równowagi.

Krok 1. x>k⇒V⁢o⁢l⁢x≤V⁢o⁢l⁢k.

Ponieważ x>k, a k jest kursem równowagi, to mamy następujący układ nierówności:

Zatem

Krok 2. x<k⇒V⁢o⁢l⁢x≤V⁢o⁢l⁢k.

Ponieważ x<k, a k jest kursem równowagi, to mamy następujący układ nierówności:

Zatem

W zadaniu 10.1 maksimum wolumenu obrotu wynosi 12 i jest ono przyjmowane na zbiorze M⁢a⁢x⁢V⁢o⁢l=20,30. Natomiast w zadaniu 10.2 maksimum wolumenu obrotu też wynosi 12, ale jest ono przyjmowane na zbiorze M⁢a⁢x⁢V⁢o⁢l=10,30.

Oznaczmy przez N⁢K⁢x i N⁢S⁢x odpowiednio liczbę zleceń kupna i sprzedaży spełniających limit ceny x, ale niemożliwych do zrealizowania, ponieważ brakuje zleceń przeciwnego typu,

Powtarzając rozumowanie z dowodu twierdzenia 10.2, otrzymujemy:

Oznaczmy przez N⁢R⁢x liczbę wszystkich zleceń spełniających limit ceny x, ale niemożliwych do zrealizowania, ponieważ brakuje zleceń przeciwnego typu,

Okazuje się, że kursy równowagi nie muszą minimalizować N⁢R. W przykładzie pierwszym N⁢R⁢15=2, podczas gdy dla kursu równowagi k=20 mamy N⁢R=8.

Dowód.
Niech M=pm,pm+1 będzie przedziałem i pm<k<pm+1. Oznacza to brak zleceń z limitem k. Wówczas

Zatem

Aby zakończyć dowód, wystarczy zauważyć, że dla x>pm+1 (na prawo od M) funkcja N⁢R⁢x jest niemalejąca, a dla x<pm (na lewo) nierosnąca.

Dowód.
Punkt a.
Wybieramy k1, takie, że
i. k>k1>pm+1,
ii. nie ma zleceń sprzedaży z limitem ceny w przedziale pm+1,k1.
Z i. wynikają następujące nierówności

Z ii. wynika równość

Zatem

oraz

Ponieważ wolumen obrotu maksymalizuje się zarówno dla k jak i dla pm+1 to

Z powyższych ,,ostrych” nierówności wynika, że suma ∑p≥kKp jest mniejsza niż oba pierwsze argumenty m⁢i⁢n, zatem jest równa drugiemu argumentowi pierwszego minimum

Podsumowując

co kończy dowód implikacji a. Implikację b. dowodzi się analogicznie.

Gdy złożone zlecenia kupna i sprzedaży dopuszczają tylko jeden kurs równowagi (M jednopunktowy), to można ustalić go jako kurs jednolity, po którym zawierane są wszystkie transakcje. W przeciwnym przypadku

wybór kursu jednolitego jest bardziej skomplikowany.

Przykłady możliwych algorytmów wyboru kursu jednolitego kj.

1. Średnia ważona.
Ustalamy liczbę k∈0,1

Ten schemat jest chętnie wykorzystywany w rozważaniach teoretycznych np. w ,,k-Double Auction Model”.

2. W zależności od kursu odniesienia.
Jako kurs jednolity wybieramy kurs równowagi najbliższy kursowi odniesienia ko

Ten algorytm daje ten sam wynik co schemat stosowany na giełdzie we Frankfurcie ([27] §11). Kurs odniesienia to zwykle ostatni kurs jednolity lub kurs ostatniej transakcji. Warto zauważyć, że jeśli ustalimy dyskretny zbiór dopuszczalnych notowań (limitów), to tak wyznaczony kurs równowagi należy do tego zbioru.

3. W zależności od liczby niezrealizowanych zleceń spełniających limit ceny i od kursu odniesienia ko.
Ustalamy dyskretny zbiór dopuszczalnych notowań Λ. Wybieramy te k∈M∩Λ, które minimalizują liczbę niezrealizowanych zleceń spełniających limit ceny. A następnie spośród nich ten, który minimalizuje moduł różnicy kursu jednolitego i kursu odniesienia:
i. N⁢R⁢kj→m⁢i⁢n,

ii. kj-ko→m⁢i⁢n,

WARSET (system komputerowy obsługujący Giełdę Papierów Wartościowych w Warszawie) wyznacza kurs jednolity taki sam jak ostatni z podanych algorytmów.

Algorytm ten może prowadzić do innych wyników niż algorytm zamieszczony w regulaminie giełdy ([36] §136), który nakazuje maklerowi kolejno:
1. Maksymalizować wolumen obrotu.
2. Minimalizować liczbę niezrealizowanych zleceń spełniających limit ceny.
3. Minimalizować moduł różnicy kursu jednolitego i kursu odniesienia.

Z drugiej strony w ,,szczegółowych zasadach obrotu giełdowego” ([44] §VI.7) jest zapisane, że ma to być kurs równowagi. Niestety nie zawsze kurs wyznaczony zgodnie z punktami 1, 2 i 3, jest kursem równowagi (patrz zadanie 10.4).

Dlatego w opisie WARSET-u ([47]) zaproponowano wprowadzenie czwartego punktu:
4. Wyznaczyć kurs równowagi najbliższy kursowi wyznaczonemu w punkcie 3.

Zauważmy, że alternatywnym rozwiązaniem byłoby dodanie punktu 2':
2'. Spośród kursów wyznaczonych w punktach 1 i 2 wybrać kursy równowagi.

Po fazie fixingu na otwarciu wszystkie niezrealizowane zlecenia, które nie zostały wycofane przez inwestorów, są umieszczane w arkuszu zleceń. Po uporządkowaniu zleceń według limitów arkusz wygląda następująco:

Załóżmy, że zostało złożone nowe zlecenie sprzedaży: s akcji z limitem ceny l⁢s.
∙ Jeżeli limit ceny l⁢s jest większy od najwyższego limitu kupna l⁢k1, to zlecenia nie można zrealizować i zostaje ono umieszczone w całości w arkuszu zleceń.
∙ Jeżeli limit ceny l⁢s jest nie większy od najwyższego limitu kupna l⁢k1, to zlecenia zostaje zrealizowane po kursie l⁢k1 – całkowicie, gdy s≤k1, lub częściowo, gdy s>k1. Zrealizowane zlecenia kupna zostają usunięte z arkusza. Gdy s>k1, to pozostałą część zlecenia sprzedaży traktuje się jak nowe zlecenie (s-k1 akcji z limitem ceny l⁢s) i powtarza powyższe kroki.

W przypadku zleceń kupna postępuje się podobnie.