Wycena kontraktów terminowych opiera się na dwóch regułach: zasadzie braku arbitrażu i prawie jednej ceny ([33] §1.2).

Niech K0 oznacza zainwestowane środki, a K1 przyszłą wypłatę (modelowaną jako zmienna losowa).

Kurs teoretyczny instrumentów pochodnych najczęściej wyznacza się w oparciu o tzw. model rynku doskonałego ([19] §1.7). Zakładamy mianowicie, że:

1. Stopy procentowe lokat i kredytów bankowych są jednakowe (pomijamy marże).

2. Wysokość zaciąganych przez inwestorów kredytów bankowych nie jest w żaden sposób ograniczona.

3. Wszystkie aktywa są doskonale podzielne. Można kupować i sprzedawać dowolne ilości wszystkich instrumentów (zarówno bardzo małe, jak i bardzo duże). Zapewniona jest więc idealna płynność obrotu.

4. Dopuszczalna jest nieograniczona krótka sprzedaż wszystkich instrumentów (w szczególności akcji). Wszystkie transakcje są odwracalne. Jeżeli dopuszczalna jest transakcja, która generuje przepływy gotówki równe C⁢Fi w chwilach ti, to dopuszczalna jest też transakcja generująca przepływy gotówki -C⁢Fi w tych samych momentach czasu ti.

5. Inwestorzy nie ponoszą żadnych dodatkowych kosztów związanych z zawieraniem transakcji i nie są wymagane depozyty zabezpieczające.

6. Zyski z inwestowania w dowolne instrumenty finansowe nie są obciążone podatkami.
   

Koszty transakcyjne, depozyty i inne ograniczenia odgrywają w modelach rynku finansowego podobną rolę jak tarcie w statyce. Dlatego też rynek doskonały nazywa się rynkiem pozbawionym tarcia (frictionless market).

Dowód.
Załóżmy, że na naszym rynku nie obowiązuje prawo jednej ceny. Wówczas dopuszczalne są dwie transakcje A i B, które (prawie na pewno) generują tę samą wypłatę

w tym samym momencie czasu t1, ale w transakcję A trzeba zainwestować więcej niż w B

Z założenia 4 modelu rynku doskonałego wynika, że dopuszczalna jest transakcja C: Inwestor zawiera transakcję B, transakcję odwrotną do A (krótko sprzedaje A) oraz lokuje w banku kwotę KA,0-KB,0. Wówczas

czyli nakłady potrzebne do zawarcia C są zerowe.

W momencie t1 inwestor rozlicza transakcję B, transakcję odwrotną do A i wyjmuje pieniądze z banku wraz z odsetkami (okresowa stopa procentowa r). Zatem, prawie na pewno

Co jest sprzeczne z zasadą braku arbitrażu. Zatem na rynku doskonałym zasada braku arbitrażu pociąga za sobą prawo jednej ceny.

Uwaga. Aczkolwiek na rynku doskonałym z zasady braku arbitrażu wynika prawo jednej ceny, to w bardziej realistycznych modelach prawo jednej ceny może nie obowiązywać.

Na początek zajmiemy się wyceną kontraktów forward na rynku doskonałym. Ograniczamy się do dwóch przepływów gotówki: w momencie zawarcia transakcji i w momencie jej rozliczenia. Ponadto zakładamy, że wszystkie rozpatrywane transakcje mają ten sam czas życia T.

Będziemy rozpatrywali następujące transakcje ,,elementarne”:

1. ∙ zakup obligacji o stałym oprocentowaniu; r1 stopa zwrotu po czasie T;

2. ∙ zakup akcji spółki ABC; S0 cena w momencie początkowym, S1 cena po czasie T;

3. ∙ kupno lub sprzedaż kontraktu terminowego na akcje spółki ABC o czasie życia T; F0 cena terminowa w momencie początkowym, F1=S1 cena w momencie rozliczenia.
   

W momencie zawarcia transakcji wszystkie wielkości z wyjątkiem S1 są znane.

Dowód.
Będziemy analizować następujące dwie transakcje:
A1. Sprzedaż 1 kontraktu terminowego i kupno 1 akcji.
A2. Zakup obligacji za kwotę B

Rozliczenie.
Przepływy gotówki w momencie zawarcia transakcji A1 i A2

Przepływy gotówki w momencie rozliczenia A1 i A2

Rozliczenie kontraktu terminowego, sprzedaż akcji.

Wykup obligacji plus odsetki.

Zauważmy, że oba przepływy C⁢F1,1 i C⁢F2,1 są równe. Z prawa jednej ceny wynika, że C⁢F1,0=C⁢F2,0. Czyli

Co kończy dowód.

W dalszym ciągu ceny wyznaczone w oparciu o model rynku doskonałego będziemy nazywać cenami teoretycznymi. Uproszczenia modelowe powodują, że mogą się one trochę różnić od cen rynkowych wyznaczonych przez aktualny popyt i aktualną podaż na rzeczywistym rynku.

Dla uproszczenia pomijamy koszty transakcyjne. Tak jak poprzednio ograniczamy się do dwóch przepływów gotówki: w momencie zawarcia transakcji i w momencie jej rozliczenia. Ponadto zakładamy, że wszystkie rozpatrywane transakcje mają ten sam czas życia T.

Będziemy rozpatrywali transakcje złożone z następujących transakcji elementarnych:

1. ∙ zakup obligacji; r1 – stopa zwrotu po czasie T;

2. ∙ pożyczka w banku; r2 – oprocentowanie po czasie T;

3. ∙ zakup akcji spółki ABC; S0 – cena w momencie początkowym, S1 – cena po czasie T;

4. ∙ krótka sprzedaż akcji spółki ABC; d1 – depozyt, r – oprocentowanie depozytu po czasie T;

5. ∙ kupno lub sprzedaż kontraktu terminowego na akcje spółki ABC o czasie życia T; F0 – cena terminowa w momencie początkowym, F1=S1 – cena w momencie rozliczenia, d – depozyt, r – oprocentowanie depozytu po czasie T.
   

W momencie zawarcia transakcji wszystkie wielkości z wyjątkiem S1 są znane. Będziemy analizować następujące dwie pary i dwie pojedyncze transakcje:

A1. Sprzedaż 1 kontraktu terminowego i kupno 1 akcji.
A2. Zakup obligacji za kwotę B

B1. Kupno 1 kontraktu terminowego i zakup obligacji za kwotę B

B2. Kupno 1 akcji.
C. Sprzedaż 1 kontraktu terminowego, kupno 1 akcji i pożyczka z banku kwoty L

D. Kupno 1 kontraktu terminowego, krótka sprzedaż 1 akcji i zakup obligacji za kwotę B

(gdyby B okazało się ujemne, należy zastąpić zakup obligacji kredytem).

Pary A i B posłużą jako przykład ewentualnego zastosowania prawa jednej ceny. Natomiast inwestycje C i D – zasady braku arbitrażu.

Rozliczenie A.
Przepływy gotówki w momencie zawarcia transakcji A1 i A2

Przepływy gotówki w momencie rozliczenia A1 i A2

Zwrot depozytu wraz z oprocentowaniem, rozliczenie kontraktu terminowego, sprzedaż akcji.

Wykup obligacji plus odsetki.

Zauważmy, że oba przepływy C⁢F1,1 i C⁢F2,1 są równe. Gdyby obowiązywało prawo jednej ceny, to mielibyśmy C⁢F1,0=C⁢F2,0. Czyli

Oznaczmy przez FS cenę kontraktu terminowego, spełniającą powyższą równość. Mamy

Podsumowując, gdy F0=FS, to rynek jest w równowadze (obowiązuje prawo jednej ceny). W pozostałych przypadkach rynek nie jest w równowadze. Gdy F0>FS, to bardziej opłacalna jest inwestycja A1. Oznacza to zwiększoną liczbę ofert sprzedaży kontraktu terminowego, a zatem spadek ceny terminowej F0.

Rozliczenie B.
Przepływy gotówki w momencie zawarcia transakcji B1 i B2

Przepływy gotówki w momencie rozliczenia B1 i B2

Zwrot depozytu wraz z oprocentowaniem, rozliczenie kontraktu terminowego, wykup obligacji plus odsetki.

Sprzedaż akcji.

Zauważmy, że oba przepływy C⁢F1,1 i C⁢F2,1 są równe. Gdyby obowiązywało prawo jednej ceny, to mielibyśmy C⁢F1,0=C⁢F2,0. Czyli

Oznaczmy przez FK cenę kontraktu terminowego spełniającą powyższą równość. Mamy

Podsumowując, gdy F0=FK, to rynek jest w równowadze (obowiązuje prawo jednej ceny). W pozostałych przypadkach rynek nie jest w równowadze. Gdy F0<FK, to bardziej opłacalna jest inwestycja B1. Oznacza to zwiększoną liczbę ofert kupna kontraktu terminowego, a zatem wzrost ceny terminowej F0.

Biorąc pod uwagę, że oprocentowanie depozytu nie może przewyższać oprocentowania obligacji, otrzymujemy nierówność

Gdy powyższa nierówność jest ostra, to prawo jednej ceny nie obowiązuje. Mamy całe pasmo cen quasi-równowagi. Równość zachodzi tylko, gdy d=0 (nie ma depozytu) lub r=r1 (depozyt jest oprocentowany na poziomie oprocentowania obligacji). Wówczas prawo jednej ceny wyznacza teoretyczną cenę terminową

Rozliczenie C.
Przepływ gotówki w momencie zawarcia transakcji C

Przepływ gotówki w momencie rozliczenia

Zwrot depozytu wraz z oprocentowaniem, rozliczenie kontraktu terminowego, sprzedaż akcji i spłata kredytu wraz z odsetkami.

Oznaczmy przez FA⁢S cenę kontraktu terminowego, dla której zachodzi równość C⁢F1=0.

Zauważmy, że gdy F0>FA⁢S, to C⁢F1>0 i nasza transakcja jest transakcją arbitrażową. Wzmożone zainteresowanie transakcją C oznacza zwiększony popyt na kontrakty sprzedaży, a więc spadek ceny terminowej F0.

Gdy F0≤FA⁢S, to C⁢F1≤0 i nasza transakcja nie jest transakcją arbitrażową.

Rozliczenie D.
Przepływ gotówki w momencie zawarcia transakcji D

depozyt kontraktu terminowego, krótka sprzedaż, depozyt zabezpieczający krótką sprzedaż i zakup obligacji.

Przepływ gotówki w momencie rozliczenia

Zwrot depozytu wraz z oprocentowaniem, rozliczenie kontraktu terminowego, sprzedaż akcji i spłata kredytu wraz z odsetkami.

Oznaczmy przez FA⁢K cenę kontraktu terminowego, dla której zachodzi równość C⁢F1=0.

Zauważmy, że gdy F0<FA⁢K, to C⁢F1>0 i nasza transakcja jest transakcją arbitrażową. Wzmożone zainteresowanie transakcją D oznacza zwiększony popyt na kontrakty kupna, a więc wzrost ceny terminowej F0.

Gdy F0≥FA⁢K, to C⁢F1≤0 i nasza transakcja nie jest transakcją arbitrażową.

Zauważmy, że gdy r2≥r1≥r, to zachodzą następujące nierówności

Jak widać, pasmo cenowe wyznaczone przez zasadę braku arbitrażu jest szersze niż pasmo cen quasi-równowagi.

Natomiast, gdy oprocentowanie obligacji jest takie samo jak oprocentowanie kredytu, r1=r2, oraz nie ma depozytu d=d1=0, lub jest on oprocentowany na poziomie oprocentowania obligacji r=r1, to

W takim przypadku zasada braku arbitrażu wyznacza tę samą cenę teoretyczną, co prawo jednej ceny.

Wycena przedstawiona poniżej jest wyceną uproszczoną ([19] §1.7), dokonaną z pominięciem kosztów transakcyjnych, depozytów i marż. Ponadto zakładamy, że inwestor może ,,wkładać” i ,,pożyczać” pieniądze z rachunku bankowego, który będzie modelowany za pomocą deterministycznego procesu akumulacji K⁢t, t∈T0,T1. 1 włożona na rachunek bankowy w chwili t akumuluje do K⁢t1K⁢t w chwili t1. Podobnie, aby spłacić 1 pożyczoną w chwili t, trzeba w chwili t1 wpłacić K⁢t1K⁢t.

St i Ft oznaczają odpowiednio cenę instrumentu bazowego i kurs terminowy w chwili t. W dalszym ciągu będziemy zakładać, że oba instrumenty są nieskończenie podzielne.

Dowód.
Niech t0=t≥T0 – moment rozpoczęcia inwestycji, tn=T≤T1 – moment zapadalności kontraktu futures, a t0<t1<…<tn-1<T – momenty rozliczeń dziennych kontraktu.

Aby dokonać wyceny, porównamy dwie strategie.
A. Kupujemy 1 jednostkę instrumentu bazowego (np. 1 akcję) w chwili t0 i sprzedajemy ją w chwili tn.
B. Wkładamy na rachunek bankowy kwotę

w kolejnych momentach ti, i=0,1,…,tn-1 kupujemy kontrakty terminowe, tak aby po zakupie w chwili ti posiadać ich następującą ilość:

Straty z rozliczeń dziennych pokrywamy z rachunku bankowego, a zyski wpłacamy na ten rachunek. W momencie T wyjmujemy pieniądze z rachunku bankowego i rozliczamy kontrakt futures.

Rozliczenie strategii A.
Przepływ gotówki w momencie t0

Przepływ gotówki w momencie tn=T

Rozliczenie strategii B.
Przepływ gotówki w momencie t0

Przepływ gotówki w momencie tn=T

Ponieważ w momencie zapadalności T przepływy gotówki obu inwestycji są identyczne, to z prawa jednej ceny wynika, że w momencie t0 też są równe

Zatem

Czyli

Uwaga. Warto zauważyć, że jeżeli przyjmiemy, że stopa zwrotu r1 z obligacji o terminie zapadalności T zakupionej w chwili t jest wyznaczona przez deterministyczny proces akumulacji K⁢t

to otrzymane przez nas teoretyczne ceny terminowe kontraktów forward i futures na ten sam instrument bazowy są sobie równe.

Dowód.
Krok 1.
Wypłata z opcji jest nieujemna, zatem Ct≥0 i Pt≥0.

Krok 2.
Rozważmy następującą inwestycję:
Zakup 1 opcji call, K obligacji o terminie zapadalności T i wypłacie 1 oraz krótka sprzedaż 1 instrumentu bazowego.

Rozliczenie:

Ponieważ wypłata jest nieujemna, to C⁢Ft≤0, czyli

Co razem z udowodnioną powyżej nieujemnością ceny Ct daje prawą stronę pierwszego oszacowania.

Krok 3.
Rozważmy następującą inwestycję:
Zakup 1 opcji put, zakup 1 instrumentu bazowego oraz pożyczkę kwoty K⁢Bt⁢T-t.

Rozliczenie:

Ponieważ wypłata jest nieujemna, to C⁢Ft≤0, czyli

Co razem z udowodnioną powyżej nieujemnością ceny Pt daje prawą stronę drugiego oszacowania.

Krok 4.
Zauważmy, że wypłata z opcji put nie przekracza kwoty K, a z opcji call jest mniejsza niż ST. Zatem

Co daje lewe strony obu oszacowań.

Dowód.
Rozważmy następujące dwie inwestycje:
A. Zakup 1 opcji call i K obligacji o terminie zapadalności T i wypłacie 1,
B. Zakup 1 opcji put i zakup 1 instrumentu bazowego.

Rozliczenie A:

Rozliczenie B:

Zauważmy, że

Zatem obie inwestycje generują te same wypłaty. Czyli wymagają takich samych nakładów

Co kończy dowód.

Jeżeli założymy dodatkowo, że struktura terminowa jest płaska

gdzie r – stała intensywność oprocentowania, to oszacowania z lematu przyjmują postać:

a parytet kupna-sprzedaży możemy zapisać w następujący sposób:

(patrz [48] §4.5.3, §4.5.5).

Założenia dodatkowe:

1. 3. Struktura terminowa jest zadana przez deterministyczny proces akumulacji postaci

   K⁢t=K⁢0⁢er⁢t

   modelowany przez rachunek bankowy. W szczególności struktura terminowa jest płaska i nie zmienia się z upływem czasu.
   

2. 4. Proces cen instrumentu bazowego jest opisany geometrycznym ruchem
   Browna

   St=S0⁢exp⁡μ⁢t+σ⁢Wt,   0<t≤T,

   gdzie Wt proces Wienera ([21] §13.1). W szczególności dla ustalonego t>0 Wt ma rozkład normalny,

   E⁢Wt=0,⁢⁢⁢D2⁢Wt=t,

   a dryf μ i volatility σ są stałe.
   

Z zasady braku arbitrażu wyprowadza się następujący wzór na cenę opcji kupna zwany wzorem Blacka-Scholesa [19] s. 50, [48] s. 188)

gdzie F dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego N(0,1), oraz

Wzór na cenę opcji put otrzymujemy z parytetu kupna-sprzedaży.

Zauważmy, że w powyższych wzorach tylko pierwsze cztery argumenty są znane. Volatility σ należy wyznaczyć na podstawie badania rynku.

Szkic wyprowadzenia wzoru.
Dowodzi się, że z zasady braku arbitrażu wynika istnienie pewnej miary probabilistycznej Q takiej, że cena opcji jest równa zdyskontowanej wartości oczekiwanej wypłaty obliczonej w tej mierze

oraz ST=St⁢exp⁡Z gdzie Z ma rozkład normalny (w mierze Q)

Zatem zadanie sprowadza się do obliczenia całki