Zagadnienia

13.1 Strategie inwestycyjne
- 13.1.1 Relacje quasi-porządku
13.2 Podejście mikroekonomiczne
- 13.2.1 Oczekiwana użyteczność
- 13.2.2 Własności oczekiwanej użyteczności
13.3 Ćwiczenia

13. Metody stochastyczne w finansach

Liczba godzin 6.
Zakres materiału:
Funkcja użyteczności. Kryterium oczekiwanej użyteczności. Dominacja stochastyczna. Podstawowe miary ryzyka.

13.1. Strategie inwestycyjne

W tym wykładzie analizie poddane zostaną inwestycje jednookresowe.

Rys. 13.1. Przepływy pieniężne.

W momencie T0 inwestor inwestuje kwotę k, a w ustalonym momencie T1 otrzymuje K jednostek monetarnych. Kwota k jest znana (deterministyczna), a K modelujemy jako zmienną losową.

Pytanie.
Jaką metodę (strategię) ma zastosować inwestor, aby wybrać najlepszą z wielu możliwych inwestycji?

Odpowiedź matematyka jest następująca:
Inwestor powinien wprowadzić na zbiorze wszystkich możliwych (dopuszczalnych) inwestycji relację określającą, które z nich są ,,lepsze”, a które ,,gorsze”.

W poniższym podrozdziale omówimy własności takich relacji, a w kolejnych zajmiemy się ich konstrukcją.

13.1.1. Relacje quasi-porządku

Zastosowanie standardowych relacji porządkujących (patrz [35] rozdział IX) wymaga od inwestora informacji niejednokrotnie niemożliwych do uzyskania dlatego znacznie bardziej praktyczne jest wprowadzenie relacji quasi-porządkujących.

Definicja 13.1

Relację ⪰ określoną na zbiorze X nazywamy quasi-porządkiem, jeżeli jest
a) zwrotna

∀x∈X⁢⁢⁢⁢x⪰x;

b) przechodnia

∀x,y,z∈X⁢⁢⁢⁢x⪰y∧y⪰z⟹x⪰z.

Z każdą relacją quasi-porządku ⪰ związane są trzy ,,pokrewne” relacje ⪯, ≻ i ≺.

x≻y⇔x⪰y∧¬y⪰x;

x⪯y⇔y⪰x;x≺y⇔y≻x.

Zauważmy, że dla dwóch różnych elementów x,y możliwe są cztery ewentualności, które się nawzajem wykluczają:

x≻y,y≻x,x⪰y∧y⪰x,¬(x⪰y)∧¬(y⪰x),

x jest lepszy, y jest lepszy, x i y są tak samo dobre lub x i y są nieporównywalne.

13.2. Podejście mikroekonomiczne

13.2.1. Oczekiwana użyteczność

Założenia:
1. Inwestor zna rozkłady prawdopodobieństwa ewentualnych inwestycji.
2. Inwestor postępuje w sposób racjonalny.

Inwestorowi przyporządkowuje się funkcję użyteczności (satysfakcji) ([30, 12])

φ:R⟶R∪-∞.

Inwestor postępuje w sposób racjonalny, jeśli wybiera inwestycję o największej oczekiwanej użyteczności wypłaty K

E⁢φ⁢K.

Do wyznaczania oczekiwanej użyteczności wykorzystuje się uogólnioną wartość oczekiwaną ([26] §1.1.3), która może przyjmować wartości zarówno skończone, jak i nieskończone (±∞). Uogólniona wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest zawsze określona, może być skończona lub równa +∞. W przypadku dowolnych zmiennych losowych korzysta się z rozkładu na część dodatnią i ujemną, czyli

E⁢φ⁢K=E⁢φ⁢K+-E⁢φ⁢K-.

Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej a

a=a+-a-,⁢⁢⁢ gdzie ⁢⁢⁢⁢a+=⁡adlaa≥0,0dlaa<0,⁢⁢⁢⁢⁢a-=⁡-adlaa≤0,0dlaa>0.⁢

Zauważmy, że tylko w przypadku, gdy E⁢φ⁢K+=E⁢φ⁢K-=+∞, oczekiwana użyteczność będzie nieokreślona (∞-∞).

Na funkcję użyteczności φ nakłada się następujące warunki:
1. φ jest niemalejąca: ,,inwestor preferuje większy zysk”.
2. φ jest wklęsła: ,,awersja do ryzyka”.

Uwaga. Funkcja φ jest wklęsła, a -φ wypukła, gdy zbiór

x,y∈R2:y≤φ⁢x

jest wypukły. Jest to równoważne następującemu warunkowi:
dla dowolnych nieujemnych wag λ1 i λ2 (λ1+λ2=1, λi≥0)

∀x,y⁢⁢⁢⁢φ⁢λ1⁢x+λ2⁢y≥λ1⁢φ⁢x+λ2⁢φ⁢y.

(Więcej informacji czytelnik znajdzie w książce [38], która jest znakomitym kompendium wiedzy o funkcjach wypukłych.)

Wklęsłość uzasadnia się tym, że tłumaczy ona pewne stylizowane fakty. Otóż każda funkcja wklęsła i niemalejąca spełnia następujące oszacowania:

∀x⁢y⁢⁢∀h⁢0⁢⁢⁢⁢φ⁢x+h-φ⁢x≥φ⁢y+h-φ⁢y≥0,

∀x⁢y⁢⁢∀h⁢0⁢⁢⁢⁢φ⁢x-φ⁢x-h≥φ⁢y-φ⁢y-h≥0,

∀x⁢⁢∀h>0⁢⁢⁢⁢φ⁢x-φ⁢x-h≥φ⁢x+h-φ⁢x≥0.

Możemy je zinterpretować w następujący sposób:
,,Ta sama kwota zysku bardziej cieszy, gdy mamy mniej.”
,,Taka sama strata bardziej boli, gdy mamy mniej.”
,,Strata bardziej boli, niż zysk cieszy.”

Zauważmy, że sformułowane powyżej kryterium oznacza, że z każdą funkcją użyteczności φ związaliśmy relację quasi-porządku na zbiorze K zmiennych losowych, które modelują możliwe wypłaty,

K1⪰φK2⇔E(φ(K1))≥E(φ(K2)).

Wypłata, dla której oczekiwana użyteczność jest nieokreślona, tzn.

E⁢φ⁢K+=E⁢φ⁢K-=+∞,

jest nieporównywalna z innymi wypłatami. Natomiast każde dwie wypłaty o określonej oczekiwanej użyteczności (skończonej lub nieskończonej) są porównywalne.

Wniosek 13.1

Jeżeli dla ustalonej funkcji użyteczności φ i dla każdej zmiennej losowej z K jest określona oczekiwana użyteczność, to relacja ⪰φ jest spójna

∀K1,K2∈KK1⪰φK2∨K2⪰φK1.

Przez Dφ będziemy oznaczać dziedzinę efektywną funkcji użyteczności φ, tzn. zbiór tych argumentów, dla których funkcja φ przyjmuje skończone wartości

Dφ=x∈R:φ⁢x>-∞.

Niech dφ oznacza kres dolny Dφ,

dφ=inf⁡x:x∈Dφ.

Ponieważ funkcja φ jest niemalejąca, to jej dziedzina efektywna może być:
i. zbiorem pustym (Dφ=∅);
ii. całą prostą rzeczywistą (Dφ=-∞,+∞, dφ=-∞);
iii. półprostą otwartą (Dφ=dφ,+∞);
iv. półprostą domkniętą (Dφ=dφ,+∞).

Przypadek i.
(φ stała równa -∞) jest nieciekawy z punktu widzenia zastosowań i w dalszym ciągu będziemy go pomijać.
Przypadek ii.
φ jest ciągła.
Przypadek iii.
Ciągłe jest obcięcie φ do dziedziny efektywnej.
Przypadek iv.
φ obcięta do dziedziny efektywnej może być nieciągła w punkcie dφ. Ma to miejsce gdy

limx→dφ+⁡φ⁢x>φ⁢dφ.

Będziemy wówczas przedstawiać funkcję φ jako sumę dwóch funcji niemalejących i wklęsłych, ciągłej na dφ,+∞ i stałej na dφ,+∞

φ⁢x=φ~⁢x+φ⁢dφ+-φ⁢dφ⁢κ⁢x-dφ;

gdzie φ⁢dφ+ prawostronna granica φ w dφ,

φ~⁢x=⁡φ⁢x dla x>dφφ⁢dφ+ dla x=dφ-∞ dla x<dφ,⁢

κ⁢x=⁡0 dla x>0-1 dla x=0-∞ dla x<0.⁢

Funkcje wklęsłe, ciągłe na swojej dziedzinie efektywnej, można scharakteryzować za pomocą funkcji liniowych.

Lemat 13.1

Jeśli funkcja wklęsła φ jest ciągła na Dφ, to istnieją ciągi liczb rzeczywistych ann=1∞ i bnn=1∞, takie, że

∀x∈Dφ⁢⁢⁢⁢φ⁢x=infn⁡an⁢x+bn.

Dowód – [23] lemat 5.2.1.

Zauważmy, że gdy zmienna losowa K przyjmuje z niezerowym prawdopodobieństwem wartości z dopełnienia Dφ, to oczekiwana użyteczność wynosi -∞ lub jest nieokreślona

PK∈R∖Dφ>0⟹E⁢φ⁢K=-∞∨E⁢φ⁢K=∞-∞.

Oznacza to, że inwestor z góry odrzuca możliwość wyboru inwestycji (strategii) o takiej wypłacie.

13.2.2. Własności oczekiwanej użyteczności

Omówimy teraz podstawowe własności oczekiwanej użyteczności. Szczególną uwagę zwrócimy na kryteria pozwalające stwierdzić, czy dla danej zmiennej losowej K jest ona określona. Dla ustalenia uwagi przyjmujemy, że zmienne losowe K, K1 i K2 z dalszej części rozdziału są zdefiniowane na tej samej przestrzeni probabilistycznej Ω,M,P. Na początek pokażemy, że oczekiwana użyteczność jest monotoniczna.

Twierdzenie 13.1

Jeśli prawie na pewno K1≥K2 (tzn. PK1<K2=0), a oczekiwana użyteczność K2 jest określona i większa od -∞, to oczekiwana użyteczność K1 jest określona i nie mniejsza niż oczekiwana użyteczność K2

E⁢φ⁢K1≥E⁢φ⁢K2.

Jeśli ponadto φ obcięta do dziedziny efektywnej jest ściśle rosnąca, a K1 i K2 są istotnie różne (PK1≠K2>0) oraz oczekiwana użyteczność K2 jest skończona, to

E⁢φ⁢K1>E⁢φ⁢K2.

Dowód.
Ponieważ K2 ma oczekiwaną użyteczność różną od -∞, to prawie na pewno nie przyjmuje wartości z dopełnienia dziedziny efektywnej φ. A skoro φ jest niemalejąca, to otrzymujemy następujące nierówności

φ⁢K1≥φ⁢K2>-∞⁢⁢⁢ p.n.

Zatem zmienna losowa φ⁢K1-φ⁢K2 jest prawie na pewno nieujemna i ma nieujemną wartość oczekiwaną (skończoną lub nieskończoną)

E⁢φ⁢K1-φ⁢K2≥0.

Ponieważ E(φ(K2)>-∞, to oczekiwana użyteczność K1 jest określona i jest od niej nie większa

E(φ(K1))=E(φ(K1)-φ(K2)+φ(K2))=E(φ(K1)-φ(K2))+E(φ(K2)≥

≥E(φ(K2).

Gdy K1 i K2 są istotnie różne, a φ obcięta do dziedziny efektywnej jest ściśle rosnąca, to

Pφ⁢K1-φ⁢K2>0>0.

Zatem

E⁢φ⁢K1-φ⁢K2>0.

Ponieważ oczekiwana użyteczność K2 jest skończona, to otrzymujemy ,,ostrą” nierówność

E⁢φ⁢K1>E⁢φ⁢K2.

Przeformułujemy teraz powyższe twierdzenie w terminach quasi-porządku.

Wniosek 13.2

Jeżeli oczekiwane użyteczności K1 i K2 są określone i prawie na pewno
K1≥K2, to

K1⪰φK2.

Ponadto, jeśli φ jest ściśle rosnąca, a Ki są istotnie różne i mają skończone oczekiwane użyteczności, to

K1≻φK2.

Zauważmy, że z powyższego twierdzenia wynika prosty warunek dostateczny istnienia oczekiwanej użyteczności.

Wniosek 13.3

Jeżeli prawie na pewno K nie przyjmuje wartości mniejszych niż pewna stała x należąca do efektywnej dziedziny φ, to oczekiwana użyteczność K jest określona i różna od -∞.

∃x∈Dφ⁢⁢⁢⁢K≥x⁢ p.n. ⟹⁢⁢⁢E⁢φ⁢K>-∞

Dowód.
Skoro x należy do dziedziny efektywnej φ, to użyteczność wypłaty x jest większa od -∞. Zatem z powyższego twierdzenia otrzymujemy, że oczekiwana użyteczność wypłaty K jest określona i nie mniejsza od φ⁢x. Czyli

E⁢φ⁢K≥E⁢φ⁢x=φ⁢x>-∞.

Teraz uogólnimy nierówność Jensena (patrz [21] §5.7 Twierdzenie 2, [8] str. 276).

Twierdzenie 13.2

Jeżeli zmienna losowa K ma skończoną wartość oczekiwaną (tzn. K∈L1) to spełnione są następujące warunki:
i. oczekiwana użyteczność K jest określona;
ii. E⁢φ⁢K≤φ⁢E⁢K;
iii. dla dowolnego σ-ciała F, F⊂M, jest określona oczekiwana użyteczność warunkowej wartości oczekiwanej E(K|F) i E(φ(K))≤E(φ(E(K|F)))≤φ(E(K)).
Ponadto, jeśli φ jest ściśle wklęsła, a K nie jest stała i φ⁢E⁢K>-∞, to
E⁢φ⁢K<φ⁢E⁢K.

Uwagi.
1. Funkcja wklęsła jest ściśle wklęsła, gdy na żadnym przedziale nie jest liniowa, tzn. gdy prosta styczna do wykresu ma z nim tylko jeden punkt wspólny.
2. Punkt iii. oznacza, że jeśli uśrednimy wypłatę, to jej oczekiwana użyteczność nie zmaleje.

Dowód.
Ad ii. oraz i.
Jeżeli K ma skończoną oczekiwaną użyteczność, to ii. wynika z nierówności Jensena dla funkcji -φ. Ponieważ zakładamy tylko istnienie skończonej wartości oczekiwanej K, to musimy pokazać istnienie oczekiwanej użyteczności.

Niech y=l⁢x,

l⁢x=φ⁢x0+a⋅x-x0,

bedzie równaniem prostej stycznej do wykresu φ⁢x w punkcie x0, x0>dφ. φ jest wklęsła, zatem jej wykres leży poniżej lub na prostej stycznej

∀x⁢⁢⁢⁢l⁢x≥φ⁢x.

Zatem zmienna losowa φ⁢K-l⁢K jest niedodatnia i ma wartość oczekiwaną (w R-∪-∞),

E⁢φ⁢K-l⁢K≤0.

Ale jak łatwo zauważyć, l⁢K ma skończoną wartość oczekiwaną

E⁢l⁢K=E⁢φ⁢x0+a⋅K-x0=φ⁢x0+a⋅E⁢K-x0.

Z tego wynika, że istnieje oczekiwana użyteczność K i spełnia nierówność

E⁢φ⁢K=E⁢φ⁢K-l⁢K+l⁢K=E⁢φ⁢K-l⁢K+E⁢l⁢K≤

≤E(l(K))=φ(x0)+a⋅(E(K)-x0).

Gdy E⁢K>dφ, to podstawiamy x0=E⁢K i otrzymujemy warunek ii. W przeciwnym przypadku, gdy E⁢K≤dφ, to albo z dodatnim prawdopodobieństwem K przyjmuje wartości z dopełnienia dziedziny efektywnej φ, wówczas oczekiwana użyteczność K jest równa -∞ i warunek ii. też jest spełniony

E(φ(K)))=-∞=φ(E(K)),

albo K jest prawie na pewno stała, K=dφ⁢⁢⁢⁢p.n., a zatem E⁢φ⁢K=φ⁢dφ=φ⁢E⁢K.

Ad iii.
Dowód punktu iii. jest trochę bardziej skomplikowany. K∈L1, a więc warunkowa wartość oczekiwana E(K|F) jest określona i też należy do L1,

E(E(K|F))=E(K).

Zatem jej oczekiwana użyteczność jest określona i nie większa niż φ⁢E⁢K (punkt (i)). Gdy oczekiwana użyteczność K jest równa -∞, to warunek (iii) jest automatycznie spełniony. W przeciwnym przypadku, gdy zarówno E⁢K i E⁢φ⁢K są skończone, korzystamy z nierówności Jensena dla warunkowej wartości oczekiwanej dla φ ([23, lemat 5.2.2])

φ(E(K|F))≥E(φ(K)|F)p.n.

Następnie korzystamy z twierdzenia o iterowaniu wartości oczekiwanej i otrzymujemy następującą nierówność

E(φ(E(K|F)))≥E(E(φ(K)|F))=E(φ(K)).

Co kończy dowód iii.

Gdy φ jest ściśle wklęsła, to

∀x⁢⁢⁢⁢x≠x0⇒l⁢x=φ⁢x0+a⋅x-x0>φ⁢x.

Ponadto rozkład K nie jest skupiony w jednym punkcie

PK≠x0>0,

zatem

Pl⁢K>φ⁢K>0.

A z tego wynika, że dla x0=E⁢K otrzymujemy

φ⁢E⁢K=E⁢l⁢K>E⁢φ⁢K.

Przeformułujemy powyższe twierdzenie w terminach quasi-porządku.

Wniosek 13.4

Jeżeli E⁢K i φ⁢E⁢K są skończone, to

E(K)⪰φK.

Ponadto, jeśli φ jest ściśle wklęsła, a K nie jest stała, to

E(K)≻φK.

Z powyższego twierdzenia wynika również następująca charakteryzacja niechęci (awersji) do ryzyka.

Wniosek 13.5

Inwestor, który planuje inwestycje w oparciu o ściśle wklęsłą funkcję użyteczności, mając do wyboru inwestycję pewną o znanej z góry wypłacie k1 i inwestycję wymagającą takich samych nakładów, o tym samym czasie życia i o losowej (nieznanej) wypłacie K o wartości oczekiwanej k1, wybierze tę pierwszą.

Natomiast z punktu iii. twierdzenia 13.2 wynika warunkowa monotoniczność oczekiwanej użyteczności.

Wniosek 13.6

Jeżeli para K1,K2 jest nadmartyngałem, tzn.

E(K2|K1)≤K1p.n.,

oraz K2 ma skończoną zarówno wartość oczekiwaną jak i oczekiwaną użyteczność, to oczekiwana użyteczność K1 jest określona i nie mniejsza niż oczekiwana użyteczność K2

E⁢φ⁢K1≥E⁢φ⁢K2.

Dowód.
Z twierdzenia 13.2 wynika, że oczekiwana użyteczność E(K2|K1) istnieje i spełnia nierówność

E(φ(K2))≤E(φ(E(K2|K1))).

Natomiast z twierdzenia 13.1 otrzymujemy istnienie E⁢φ⁢K1 i oszacowanie

E(φ(E(K2|K1)))≤E(φ(K1)).

Co kończy dowód.

Z twierdzenia 13.2 wynika tylko górne ograniczenie na oczekiwaną użyteczność. Dolne ograniczenie może nie istnieć. Okazuje się, że skończona wartość oczekiwana wypłaty K wcale nie musi implikować skończonej oczekiwanej użyteczności nawet, jeśli K nie przyjmuje wartości spoza dziedziny efektywnej φ (- patrz ćwiczenie 13.5).

Na zakończenie pokażemy, że oczekiwana użyteczność jest wklęsła.

Twierdzenie 13.3

Jeżeli zmienne losowe K1 i K2 mają skończoną oczekiwaną użyteczność to dla dowolnych wag λ1 i λ2 (λ1+λ2=1, λi≥0)
i. zmienna losowa λ1⁢K1+λ2⁢K2 ma określoną oczekiwaną użyteczność,
ii. E(φ(λ1K1+λ2K2)≥λ1E(φ(K1))+λ2E(φ(K2)).
Ponadto, jeśli φ jest ściśle wklęsła, K1 i K2 są istotnie różne, PK1≠K2>0, a wagi λi dodatnie, to E(φ(λ1K1+λ2K2)>λ1E(φ(K1))+λ2E(φ(K2)).

Dowód.
φ jest funkcją wklęsłą czyli dla dowolnych wag λ1 i λ2

∀x,y⁢⁢⁢⁢φ⁢λ1⁢x+λ2⁢y≥λ1⁢φ⁢x+λ2⁢φ⁢y.

Zatem zmienna losowa φ⁢λ1⁢K1+λ2⁢K2-λ1⁢φ⁢K1-λ2⁢φ⁢K2 jest nieujemna i ma nieujemną wartość oczekiwaną. Zatem

E⁢φ⁢λ1⁢K1+λ2⁢K2=

=E((φ(λ1K1+λ2K2)-λ1φ(K1)-λ2φ(K2))+(λ1φ(K1)+λ2φ(K2)))=

=E((φ(λ1K1+λ2K2)-λ1φ(K1)-λ2φ(K2)))+E(λ1φ(K1)+λ2φ(K2))≥

≥λ1⁢E⁢φ⁢K1+λ2⁢E⁢φ⁢K1.

Gdy φ jest funkcją ściśle wklęsłą, to dla x≠y, φ⁢x,φ⁢y>-∞ i λi>0

φ⁢λ1⁢x+λ2⁢y>λ1⁢φ⁢x+λ2⁢φ⁢y.

Zatem nieujemna zmienna losowa φ⁢λ1⁢K1+λ2⁢K2-λ1⁢φ⁢K1-λ2⁢φ⁢K2 jest dodatnia na zbiorze, który ma dodatnią miarę. Zatem jej wartość oczekiwana jest dodatnia i nierówność z punktu ii. jest ostra.

Wniosek 13.7

Jeżeli istotnie różne zmienne losowe K1 i K2 mają równe skończone oczekiwane użyteczności, a φ jest ściśle wklęsła, to dla dowolnych dodatnich wag λ1 i λ2 (λ1+λ2=1, λi>0)

λ1K1+λ2K2≻φK1,K2.

Dowód.
Niech φ0 oczekiwana użyteczność K1 i K2. Z powyższego twierdzenia wynika, że

E(φ(λ1K1+λ2K2)>λ1E(φ(K1))+λ2E(φ(K2))=(λ1+λ2)φ0=φ0.

Zatem kombinacja wypukła K1 i K2 jest od nich obu ,,lepsza”.

Z powyższego wniosku wynika następująca zasada dywersyfikacji portfela.

Wniosek 13.8

Inwestor, który planuje inwestycje w oparciu o ściśle wklęsłą funkcję użyteczności, mając do wyboru trzy inwestycje wymagające takich samych nakładów, o tym samym czasie życia i o istotnie różnych wypłatach K1, K2 i K3, takich, że oczekiwane użyteczności K1 i K2 są skończone i równe, a K3 jest kombinacją wypukłą K1 i K2, wybierze tę trzecią.

13.3. Ćwiczenia

Ćwiczenie 13.1

Niech X1 i X2 będą zmiennymi losowymi zero-jedynkowymi

PXi=1=pi,⁢PXi=0=1-pi,⁢⁢pi∈0,1,

a φ dowolną funkcją użyteczności taką, że φ⁢0>-∞. Pokazać, że

p1≥p2⟹X1⪰φX2.

Rozwiązanie.

Dla zmiennej losowej zero-jedynkowej oczekiwana użyteczność wynosi

E⁢φ⁢X=1-p⁢φ⁢0+p⁢φ⁢1=φ⁢0+p⁢φ⁢1-φ⁢0.

φ jest niemalejąca. Zatem gdy p1≥p2, to oczekiwana użyteczność X1 jest większa lub równa oczekiwanej użyteczności X2. A stąd

X1⪰φX2.

Ćwiczenie 13.2

Niech X1 i X2 będą zmiennymi losowymi zero-jedynkowymi

PXi=1=pi,⁢PXi=0=1-pi,⁢⁢pi∈0,1,

a φ dowolną funkcją użyteczności taką, że φ⁢1>φ⁢0>-∞. Pokazać, że gdy zmienne losowe Xi mają taką samą oczekiwaną użyteczność, to mają takie samo prawdopodobieństwo osiągnięcia sukcesu.

Rozwiązanie.

E⁢φ⁢Xi=1-pi⁢φ⁢0+pi⁢φ⁢1=φ⁢0+pi⁢φ⁢1-φ⁢0.

Zatem z równości oczekiwanych użyteczności otrzymujemy

p1=E⁢φ⁢X1-φ⁢0φ⁢1-φ⁢0=E⁢φ⁢X2-φ⁢0φ⁢1-φ⁢0=p2.

Ćwiczenie 13.3

Wyznaczyć oczekiwaną użyteczność E⁢φ⁢X, gdy X ma rozkład normalny N⁢0,1 a φ⁢x=min⁡x,M, gdzie M ustalony parametr rzeczywisty.

Rozwiązanie.

E⁢φ⁢X=12⁢π⁢∫-∞Mx⁢exp⁡-x22⁢d⁢x+M⁢PX>M=12⁢π⁢exp⁡-M22+M⁢1-F⁢M.

Odpowiedź. Oczekiwana użyteczność X wynosi 12⁢π⁢exp⁡-M22+M⁢1-F⁢M, gdzie F jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego.

Ćwiczenie 13.4

Inwestor podejmuje decyzje w oparciu o logarytmiczną funkcję użyteczności

φ⁢x=⁡ln⁡x dla x>0,-∞ dla x≤0.⁢

Może zainwestować 1000 zł w dwie inwestycje, o tym samym czasie życia. Wypłata z pierwszej ma rozkład

K1	960	980	1000	1030	1050
prawdopodobieństwo [%]	20	10	15	25	30

a z drugiej

K2	960	970	990	1000	1010	1040	1050	1060
prawd. [%]	15	5	5	15	5	25	20	10

Którą z inwestycji wybierze?

Rozwiązanie. Wyznaczamy oczekiwane użyteczności:

E⁢ln⁡K1=0,2⁢ln⁡960+0,1⁢ln⁡980+0,15⁢ln⁡1000+0,25⁢ln⁡1030+

+0,3⁢ln⁡1050=6,919597359,

E⁢ln⁡K2=0,15⁢ln⁡960+0,05⁢ln⁡970+0,05⁢ln⁡990+0,15⁢ln⁡1000+

+0,05⁢ln⁡1010+0,25⁢ln⁡1040+0,2⁢ln⁡1050+0,1⁢ln⁡1060=6,925494121.

Jak widać, oczekiwana użyteczność drugiej wypłaty jest trochę większa.

Odpowiedź. Inwestor wybierze drugą inwestycję.

Ćwiczenie 13.5

Wyznaczyć oczekiwaną użyteczność dla wypłaty K, która ma rozkład jednostajny na przedziale 0,2

PK≤x=⁡0 dla x≤012⁢x dla 0<x<21 dla 2≤x⁢

i dla funkcji użyteczności

φ⁢x=⁡-∞ dla x≤01-1x dla 0<x.⁢

Porównać ją z użytecznością wartości oczekiwanej K.

Rozwiązanie. Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu jednostajnego na przedziale o długości 2 jest równa 0,5 wewnątrz tego przedziału i 0 poza nim. Zatem

E⁢φ⁢K=∫021-1x⁢12⁢d⁢x=-∞.

Z drugiej strony wartość oczekiwana K wynosi 1, a więc

φ⁢E⁢K=φ⁢1=0.

Odpowiedź. Oczekiwana użyteczność dla wypłaty K wynosi -∞, podczas gdy użyteczność wartości oczekiwanej K wynosi 0.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Rynki kapitałowe (Matematyka finansowa I)

Zagadnienia

13. Metody stochastyczne w finansach

13.1. Strategie inwestycyjne

13.1.1. Relacje quasi-porządku

Definicja 13.1

13.2. Podejście mikroekonomiczne

13.2.1. Oczekiwana użyteczność

Wniosek 13.1

Lemat 13.1

13.2.2. Własności oczekiwanej użyteczności

Twierdzenie 13.1

Wniosek 13.2

Wniosek 13.3

Twierdzenie 13.2

Wniosek 13.4

Wniosek 13.5

Wniosek 13.6

Twierdzenie 13.3

Wniosek 13.7

Wniosek 13.8

13.3. Ćwiczenia

Ćwiczenie 13.1

Ćwiczenie 13.2

Ćwiczenie 13.3

Ćwiczenie 13.4

Ćwiczenie 13.5