Value at Risk (wartość zagrożona ryzykiem, w skrócie V⁢a⁢R) jest przykładem miary ryzyka opartej na nieco innej filozofii niż miary omówione w wykładzie 14. VaR, to miara, za pomocą której nie tyle określa się, na ile niedokładne są prognozy końcowego wyniku inwestycji, ale uzyskuje informacje jak duże środki należy przeznaczyć na zabezpieczenie danej inwestycji, a nawet całej instytucji finansowej. Krótko mówiąc VaR uprzedza nas, ile możemy stracić.

Miary takie jak VaR wykorzystuje się m.in.:

1. ∙ jako element kontroli, np.:
   – poszczególnych departamentów i oddziałów przez zarząd banku,
   – poszczególnych banków przez nadzór bankowy,
   – zarządu spółki akcyjnej przez radę nadzorczą i akcjonariuszy;

2. ∙ przy ustalaniu limitów dotyczących adekwatności kapitałowej instytucji finansowych, czyli określaniu ,,jak duże powinny być środki własne firmy, aby zabezpieczona była jej wypłacalność”;

3. ∙ przy ustalaniu wysokości depozytów wymaganych przez izby rozrachunkowe działające na rynku instrumentów pochodnych;

4. ∙ jako benchmark przy podejmowaniu decyzji inwestycyjnych, np.:
   ,,Ustala się pewną wartość graniczną d i zarządzający portfelem inwestycyjnym może tylko tak kształtować skład portfela, aby dana miara ryzyka jej nie przekroczyła”.
   

Ogólnie, Value at Risk to odpowiedź probabilisty na pytanie ,,ile można stracić?”. Jest to największa strata, jaką można ponieść przy zadanym poziomie ufności c.

Ustalmy pewien horyzont czasowy T. Niech X będzie zmienną losową, za pomocą której modelujemy przyszły stan należności netto danej instytucji finansowej (pasywa minus aktywa) albo stratę z danej inwestycji (aktualna wartość inwestycji minus jej wartość po upływie czasu T). Jeśli X ma rozkład ciągły i jej dystybuanta jest ściśle rosnąca (np. X ma rozkład normalny), to V⁢a⁢Rc⁢X określa się w następujący sposób

W przypadku ogólnym (np. gdy zmienna losowa X jest dyskretna) powyższe równanie może nie mieć rozwiązań lub może mieć ich więcej niż jedno. Dlatego też zdefiniujemy V⁢a⁢R jako tzw. dolny kwantyl.

Oczywiście można też definiować V⁢a⁢R jako górny kwantyl

lub jako średnią ważoną obu kwantyli.

Kwestią otwartą pozostaje wybór właściwego poziomu ufności c. Analitycy banku J.P.Morgan, twórcy pojęcia Value at Risk, przyjmowali c=95⁢% ([37]). Natomiast Komitet Bazylejski postuluje przyjęcie c=99⁢% ([5]). Ta różnica wynika między innymi z faktu, że według analityków z banku J.P.Morgan Value at Risk miało być narzędziem kontrolnym używanym przez zarząd banku, natomiast Komitet Bazylejski zaproponował użycie Value at Risk w ramach nadzoru bankowego. Oczywiste jest, że nadzór zewnętrzny jest bardziej wymagający (większe c oznacza większą wartość V⁢a⁢R).

Omówimy pokrótce podstawowe własności V⁢a⁢R. Zauważmy, że oba zbiory V:PX<V≤c i V:PX≤V<c są półprostymi, wobec tego kres górny każdego z nich jest równy kresowy dolnemu odpowiednio każdego z dopełnień. Zatem V⁢a⁢Rcu⁢X i V⁢a⁢Rc⁢X są równe odpowiednio

Korzystając z powyższego, udowodnimy następujący lemat.

Dowód.
Punkt 1 wynika z ciągłości prawdopodobieństwa ([21] §Twierdzenie 7).

zatem, ponieważ PX<V⁢a⁢Rcu⁢X-1n≤c, to

Podobnie

Ponieważ PX≤V⁢a⁢Rcu⁢X+1n≥c, to

Punkt 2 wynika z przedstawienia V⁢a⁢Rcu⁢X jako kres dolny, a punkt 3 z przedstawienia V⁢a⁢Rc⁢X jako kres górny.

Punkt 4 wynika z nierówności z punktu 1 i z faktu, że V⁢a⁢Rc⁢X jest mniejszy od V⁢a⁢Rcu⁢X.

wobec tego wszystkie nierówności ,,≤” w tym wzorze są równościami.

Podobnie pokazuje się punkt 5:

Punkt 6 wynika z punktu 4.

Na zakończenie przeanalizujmy możliwość zastosowania Value at Risk do wyznaczania optymalnej alokacji posiadanych środków. Rozważymy następujący prosty przykład.

Udziałowcy Towarzystwa Ubezpieczeniowego TU SA zastanawiają się, czy zachodzi potrzeba dokapitalizowania spółki. TU SA sprzedało szereg polis ubezpieczeniowych co może skutkowac wypłatą wysokich odszkodowań. Jeśli kwota odszkodowań przekroczy posiadane fundusze, TU SA będzie zagrożone bankructwem. Aby go uniknąć udziałowcy będą zmuszeni do poniesienia dodatkowych kosztów. Z drugiej strony dokapitalizowanie też wiąże się z pewnymi kosztami. W tej sytuacji udziałowcy muszą rozstrzygnąć, jaki jest optymalny poziom funduszy posiadanych przez TU SA.

Przyjmiemy następujące oznaczenia:
Y – wielkość odszkodowań pomniejszoną o środki posiadane przez TU SA (modelujemy ją jako zmienną losową);
x – kwota, którą udziałowcy chcą dokapitalizować spółkę;
K⁢x,Y – koszty w zależności od x i Y.

gdzie: a – koszt kapitału (np. stopa procentowa), b – koszty, które poniosą udziałowcy na pokrycie roszczeń przekraczających fundusze TU SA (w przeliczeniu na 1 jednostkę monetarną). Oczywiście 0<a<b.

Racjonalni akcjonariusze będą się starać zminimalizować oczekiwane koszty. A więc wybiorą x, które zminimalizuje wartość oczekiwaną relatywnej straty, czyli różnicy K⁢x,Y-K⁢0,Y,

Pokażemy, że optymalny poziom dokapitalizowania jest równy Value at Risk Y, wyznaczonemu dla poziomu ufności c=1-ab.

Zauważmy, że w odróżnieniu od straty K⁢x,Y, relatywna strata

jest ograniczona i niezależnie od tego, jaki jest rozkład Y i ile wynosi x, posiada skończoną wartość oczekiwaną, która jest funkcją ciągłą zmiennej x. Ponadto, gdy K⁢x,Y mają skończoną wartość oczekiwaną, to E⁢V⁢x i E⁢K⁢x,Y przyjmują minimum w tych samych punktach.

Dowód.
Niech x1 i x2, x1<x2, będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Zapiszemy różnicę relatywnych strat za pomocą funkcji charakterystycznych I∗

Zatem przyrost wartości oczekiwanej relatywnej straty wynosi

Rozważymy trzy przypadki:
A. Oba punkty leżą na prawo od V⁢a⁢Rcu,

B. Oba punkty leżą na lewo od V⁢a⁢Rc,

C. Oba punkty leżą pomiędzy V⁢a⁢Rc i V⁢a⁢Rcu,

Przypadek A.
Na mocy lematu 5.4.1

Wobec tego

Zatem, ponieważ wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest nieujemna, to

W ten sposób pokazaliśmy, że funkcja E⁢V⁢x jest ściśle rosnąca na półprostej
V⁢a⁢Rcu⁢Y,+∞. Ale wiemy, że jest ona ciągła, zatem jest ściśle rosnąca na półprostej domkniętej V⁢a⁢Rcu⁢Y,+∞.

Przypadek B.
Na mocy lematu 5.4.1

Wobec tego

Zatem, ponieważ wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest nieujemna, to

W ten sposób pokazaliśmy, że funkcja E⁢V⁢x jest ściśle malejąca na półprostej -∞,V⁢a⁢Rc⁢Y. Z ciągłości wynika, że jest ona ściśle malejąca na półprostej domkniętej -∞,V⁢a⁢Rc⁢Y.

Przypadek C.
Gdy V⁢a⁢Rc⁢Y jest mniejszy od V⁢a⁢Rcu⁢Y, to na mocy lematu 5.4.1

Wobec tego

Ponadto

czyli

Z powyższego wynika, że

W ten sposób pokazaliśmy, że funkcja E⁢V⁢x jest stała na odcinku
V⁢a⁢Rc⁢Y,V⁢a⁢Rcu⁢Y. Z ciągłości wynika, że jest ona stała na odcinku domkniętym V⁢a⁢Rc⁢Y,V⁢a⁢Rcu⁢Y.

Podsumowując, gdy dystrybuanta Y jest ściśle monotoniczna w pewnym otoczeniu V⁢a⁢Rc⁢Y, to V⁢a⁢Rcu⁢Y=V⁢a⁢Rc⁢Y i E⁢V⁢x przyjmuje minimum dokładnie w jednym punkcie. W przeciwnym przypadku każdy punkt z przedziału V⁢a⁢Rc⁢Y,V⁢a⁢Rcu⁢Y minimalizuje E⁢V⁢x.

Miary dyspersji ostrzegają, o ile stopa zwrotu R⁢A albo wypłata W1⁢A różnią się od prognozy (np. wartości oczekiwanej lub mediany). Ostrzeżenie to może dotyczyć zarówno:
1. Możliwości wystąpienia efektu niezgodnego z przewidywaniami. Nieważne, czy jest to przykra niespodzianka, czy przyjemne zaskoczenie; ważne, że prognoza była niedokładna.
2. Możliwości poniesienia straty. Uwzględniamy tylko przykre niespodzianki.

Najbardziej popularne miary ryzyka-dyspersji to omówione na poprzednim wykładzie (patrz 14.3.1):

1. Odchylenie standardowe i wariancja.

Wyznaczamy prognozę błędu prognozy.

2. Ujemne semiodchylenie standardowe i ujemna semiwariancja.

Są to odpowiedniki odchylenia standardowego i wariancji w przypadku drugiej interpretacji ryzyka.

3. Odchylenie przeciętne i ujemne semiodchylenie przeciętne.

Więcej przykładów i informacji o miarach dyspersji (dewiacji) czytelnik może znaleźć w pracy [40].

Miary monotoniczne mają za zadanie oceniać, która inwestycja może przynieść większą stratę. Funkcja

jest monotoniczą miarą ryzyka jeżeli spełnia następujące warunki

Poza tym ,,mile widziane” są następujące własności:

Miary spełniające aksjomaty A1, A2, A3 i A4 nazywa się wypukłymi (patrz [14]). Natomiast miary spełniające wszystkie pięć aksjomatów to tzw. koherentne miary ryzyka (patrz [2, 3]). Podstawowym zastosowaniem takich miar jest wyznaczanie wielkości ”kapitału ekonomicznego” potrzebnego do zabezpieczenia danej pozycji.

Przykłady miar monotonicznych.

1. Prawdopodobieństwo nieosiągnięcia wyznaczonego poziomu T (poziomu aspiracji)

Gdy T=0 jest to prawdopodobieństwo poniesienia straty.
Gdy T≤0, to S⁢FT spełnia tylko warunki A1 i A2.

2. Value at Risk - największa strata przy zadanym poziomie istotności α (α=0.05,0.01,…).

V⁢a⁢Rα spełnia warunki A1, A2, A4 i A5, ale na ogół nie spełnia A3 – patrz lemat 15.1.

3. Conditional VaR (zwany też Probable Maximum Loss lub Expected Shortfall) - warunkowa oczekiwana wartość straty pod warunkiem, że osiągnie ona lub przekroczy VaR.

Dla zmiennych losowych W1() o ciągłym rozkładzie C⁢V⁢a⁢R jest koherentną miarą ryzyka i spełnia wszystkie pięć aksjomatów (patrz [32, 39, 1]).

4. Spadek oczekiwanej użyteczności.

gdzie φ wklęsła i rosnąca funkcja na R+ (funkcja użyteczności) np. ln⁡t.
ρφ spełnia warunki A1, A2 i A3.

5. Miary ryzyka indukowane przez zmianę miary probabilistycznej.
Niech Yi, i=1,…⁢k, nieujemne zmienne losowe o skończonej wartości oczekiwanej (np. kursy waluty lokalnej w i-tej walucie lub koszyku walut).

Miary indukowane są koherentnymi miarami ryzyka i spełniają wszystkie pięć aksjomatów.

6. Miary wyznaczone przez poziom krytyczny r taki, że wartość oczekiwana jego przekroczenia przez stratę jest stała i wynosi γ, γ>0.

Miary ργ są wypukłe i spełniają warunki A1, A2, A3 i A4 ([22]).

7. Miary wyznaczone przez poziom krytyczny r taki, że wartość oczekiwana przekroczenia r jest proporcjonalna do r i wynosi γ⁢r, γ>0.

gdzie

Miary ργ spełniają warunki A1, A2, A3 i A5 ([22]).

8. Miary wyznaczone przez poziom krytyczny r taki, że dla ustalonego parametru, γ>0.

Miary ργ są koherentne i spełniają warunki A1, A2, A3, A4 i A5 ([22]).

9. Składka holenderska.

Miary ργ są koherentne i spełniają warunki A1, A2, A3, A4 i A5.

Miary efektywności (performance measures) mają za zadanie ocenić w jakim stopniu dana strategia inwestycyjna gwarantuje uzyskanie (i przekroczenie) zadanego poziomu aspiracji T. Zwykle benchmark T jest wielkością deterministyczną, ale może być też zależny od czynników losowych.

Miary efektywności najczęściej konstruowane są jako iloraz dwóch miar:
miary nadwyżki stopy zwrotu nad benchmarkiem T
i miary dyspersji stopy zwrotu względem benchmarku T.
Można tu zauważyć pewną analogię z testami statystycznymi dotyczącymi wartości oczekiwanej.

Przykłady miar efektywności ([31]).

Przyjmiemy następujące oznaczenia:
R – stopa zwrotu z inwestycji, a T – benchmark czyli wymagany poziom stopy zwrotu (poziom aspiracji).

1. Uogólniony współczynnik Sharpe'a.

2. Współczynnik Sortino.

3. Wskaźnik potencjału nadwyżki (Upside Potential Ratio).

4. Stosunek zysku do straty (Gain-Loss Ratio), zwany też funkcją omega.

Miary 2, 3, i 4, w odróżnieniu od ,,symetrycznego” współczynnika Sharpe'a, określane są w literaturze jako ”Downside Risk Measures”.