δ⁢t=δ – funkcja stała. Wówczas:

Zauważmy, że wartości B⁢t, dla t∈t1,t2, są ważonymi średnimi geometrycznymi wartości początkowej i końcowej.

Dowód.

δ⁢t – funkcja kawałkami stała.

gdzie 0=t0<t1<t2<…<tn=+∞. Wówczas dla t∈ti-1,ti mamy:

Strukturę kawałkami płaską stosujemy gdy znamy tylko skończoną liczbę wartości B⁢t, a w pozostałych punktach interpolujemy B za pomocą średniej geometrycznej ważonej.

Wówczas

Jak widać z powyższego, B⁢t jest średnią ważoną czynników dyskontujących wyznaczonych przez płaskie struktury terminowe. Wzór Stoodleya stosuje się, gdy inwestor oczekuje, że w przyszłości będzie obwiązywać jedna z dwu płaskich struktur terminowych, ale nie wie która.

Własności funkcji δ.
Funkcja δ jest ściśle malejąca.

Wzór Nelsona-Siegela ([24, §15.4]) jest często używany do przybliżonego opisu struktury terminowej.

Wówczas

Zaletą wzoru Nelsona-Siegela jest liniowa zależność R¯ od parametrów β. Co przy ustalonym parametrze skali τ pozwala je wyznaczyć (na podstawie danych empirycznych) za pomocą metody najmniejszych kwadratów. Zauważmy, że:

Ponadto

Czyli pochodna δ′ zeruje się i zmienia znak, gdy

Zatem intensywność δ⁢t posiada ekstremum, gdy

Dla parametru β2 dodatniego jest to maksimum, a dla ujemnego minimum. Maksymalna i odpowiednio minimalna intensywność wynoszą

W tym przypadku wzór na funkcję dochodowości Y⁢t jest końcowym wnioskiem ze stochastycznego modelu struktury terminowej, znanego jako model Vasička ([19, §5.2], [24, §7.4.1]). Model Vasička zależy od czterech dodatnich parametrów a, b, σ i r. Ponadto musi być spełniony warunek 2⁢a⁢b≥σ2. Najprostszy opis otrzymamy wprowadzając dwie funkcje pomocnicze A1⁢t i A2⁢t takie, że

Po scałkowaniu otrzymujemy

Funkcja A2 jest ściśle rosnąca, A2⁢0=0 i limt→∞⁡A2⁢t=1a.

Chwilową intensywność otrzymujemy, różniczkując Y⁢t.

Zauważmy, że δ⁢0=r i limt→∞⁡δ⁢t=2⁢a⁢b-σ22⁢a2. Co jest uzasadnieniem warunku 2⁢a⁢b≥σ2 (funkcja δ⁢t powinna być nieujemna dla wszystkich dodatnich t).

Okazuje się, że dobierając odpowiednio parametry, możemy otrzymać funkcję δ monotoniczną lub z jednym maksimum.

Dowód.
Funkcję δ możemy zapisać w postaci funkcji złożonej

Trójmian kwadratowy P⁢x przyjmuje maksimum w punkcie xm=b-a⁢rσ2. Badamy monotoniczność P⁢x w przedziale 0,1a, czyli domknięciu obrazu funkcji A2⁢t.

Gdy xm należy do przedziału otwartego 0,1a, to trójmian P⁢x ma ,,garb”, najpierw rośnie, a potem maleje. Gdy xm leży na lewo od tego przedziału (xm≤0), to trójmian P jest ściśle malejący, a gdy na prawo (xm≥1a), to ściśle rosnący. Ponieważ funkcja A2⁢t jest ściśle rosnąca, to samo dotyczy funkcji δ.

Interpretacja parametrów modelu:
r – chwilowa stopa procentowa,
σ – wielkość zaburzeń losowych,
ba – położenie równowagi, do którego ,,dąży” model (nie osiągane ze względu na zaburzenia),
a – szybkość reakcji modelu na zaburzenia.

Tym razem wzór na funkcję dochodowości Y⁢t jest końcowym wnioskiem ze stochastycznego modelu struktury terminowej, znanego jako model Coxa, Ingersolla, Rosa ([19, §5.2], [24, §7.4.2]). Model ten zależy od czterech dodatnich parametrów a, b, σ i r. Podobnie jak poprzednio, najprościej opisać go, wprowadzając dwie funkcje pomocnicze A1⁢t i A2⁢t takie, że

Po scałkowaniu otrzymujemy

Funkcja A2 jest ściśle rosnąca, A2⁢0=0 i limt→∞⁡A2⁢t=α=2a+2⁢γ.

Chwilową intensywność otrzymujemy, różniczkując Y⁢t.

Zauważmy, że δ⁢0=r i limt→∞⁡δ⁢t=b⁢α. Okazuje się, że tak jak w modelu Vasička, dobierając odpowiednio parametry, możemy otrzymać funkcję δ monotoniczną lub z jednym maksimum. Stosując podobne rozumowanie jak w poprzednim podrozdziale, pokazujemy, że:

Interpretacja parametrów jest identyczna jak w modelu Vasička.

FRA (ang. Forward Rate Agreement) to umowa pomiędzy dwoma kontrahentami, którzy ustalają wysokość stopy procentowej mającej obowiązywać w przyszłości dla określonej kwoty wyrażonej w walucie transakcji dla z góry ustalonego okresu.

W kontrakcie FRA są dwie strony transakcji:

1. Długa pozycja (ang. long position –- a FRA buyer) otrzymuje przepływ determinowany przez stawkę referencyjną, w zamian za stawkę stałą kontraktu (co niekiedy, w celu uniknięcia popełnienia błędu, bywa zapisywane jako: RECEIVE floating and PAY fixed),
2. Krótka pozycja (ang. short position –- a FRA seller) otrzymuje przepływ stały (którego wysokość w rzeczywistości jest ustalona w dniu zawarcia transakcji) w zamian za stawkę referencyjną (RECEIVE fixed and PAY floating).

W kontrakcie FRA występuje:

1. Data zawarcia transakcji (ang. transaction date) Tt,
2. Data ustalenia stawki referencyjnej (ang. fixing date) Tf,
3. Data rozpoczęcia okresu odsetkowego obowiązywania stawki referencyjnej (ang. start date) Ts; przeważnie jest to data spot (tzn. drugi kolejny dzien roboczy) od dnia fixingu stawki,
4. Data zakończenia okresu odsetkowego obowiązywania stawki referencyjnej (ang. end date) Te.

Stopy (stawki) rr⁢e⁢f i rF⁢R⁢A podawane są w skali rocznej.

Rozliczenie kontraktu następuje w drugim kolejnym dniu roboczym po ustaleniu stawki Tm=Tf+s⁢p⁢o⁢t, który przeważnie pokrywa się z datą rozpoczęcia okresu odsetkowego obowiązywania stawki referencyjnej. Podczas rozliczania kontraktu nie dochodzi do rzeczywistej wymiany odsetek a jedynie do transferu zdyskontowanej różnicy stóp rr⁢e⁢f-rF⁢R⁢A⋅Te-Ts w odpowiednim kierunku. A zatem, gdy Tm=Ts, to wypłaty (tzw. kwoty kompensacyjne) wynoszą

gdzie K kwota kontraktu (umowna kwota kapitału, na który opiewa kontrakt), a czas jest liczony w latach (por. [4, §8.1.2.3]).

Stawki rF⁢R⁢A są ściśle powiązane ze strukturą terminową stóp procentowych w dniu zawarcia transakcji.

Dowód.
Rozważmy dwie inwestycje:
A. Sprzedaż kontraktu FRA na okres <Ts,Te> na kwotę 1 i kupno 1 obligacji płacącej 1 w chwili Ts.
B. Kupno obligacji płacących 1 w chwili Te za kwotę B⁢Ts-Tt i ich sprzedaż w chwili Tf.

Rozliczenie.

W chwili zawarcia transakcji mamy:

Rozliczenie obu transakcji nastąpi w chwili Ts=Tf+s⁢p⁢o⁢t.

Po przyrównaniu obydwu wypłat otrzymujemy

Co po uproszczeniu daje tezę lematu.

Swap stopy procentowej, IRS (ang. interest rate swap), to kontrakt wymiany płatności odsetkowych, jeden z podstawowych instrumentów pochodnych, będący przedmiotem obrotu na rynku międzybankowym. IRS jest umową pomiędzy dwiema stronami, na podstawie której strony wypłacają sobie wzajemnie (w określonych odstępach czasu w trakcie trwania kontraktu) odsetki od umownego nominału kontraktu, naliczane według odmiennie zdefiniowanych stóp procentowych. Transakcja IRS może być traktowana jako seria kontraktów FRA, albo jako wymiana odsetek od dwóch obligacji kuponowych.

Obecnie w coraz większym zakresie transakcje IRS zawierane są przez korporacje. Dokonują tego m.in. w celu zapewnienia sobie stałego kosztu finansowania (receive floating rate and pay fixed), albo pozyskania tańszego finansowania w walucie obcej (receive foreing fixed rate vs. pay domestic fixed rate).

W rodzinie IRS można wyróżnić:

1. Prosty (waniliowy) swap stopy procentowej (ang. plain vanilla IRS) – strony wymieniają się przepływami uzależnionymi od stopy stałej i zmiennej (fixed rate vs. floating rate).
2. Basis swap - obie strony płacą odsetki wg różnej stopy zmiennej, np. WIBOR 3-miesięczny w zamian za WIBOR 6-miesięczny (floating rate vs. floating rate).
3. Walutowy swap stopy procentowej (ang. currency IRS, CIRS) – strony wymieniają się płatnościami denominowanymi w różnych walutach. Nie należy go mylić ze swapem walutowym.

W waniliowej transakcji IRS wyróżnia się dwie pozycje, przy czym to kierunek płatności stawki zmiennej określa jaką pozycję zajmuje kontrahent w transakcji IRS:

1. Kontrahent A zajmuje długą pozycję w stopie zmiennej – referencyjnej, gdy otrzymuje przepływ wyznaczony przez stawkę zmienną w zamian za ustaloną stawkę stałą (RECEIVE floating and PAY fixed).
2. Kontrahent B zajmuje krótką pozycję w stopie zmiennej (ang. short position), gdy płaci odsetki określone przez stawkę zmienną, a w zamian otrzymuje płatności determinowane przez stawkę stałą (RECEIVE fixed and PAY floating).
W charakterze stopy zmiennej występuje zazwyczaj stopa ”rynkowa” (LIBOR, EURIBOR, WIBOR lub inna, zależnie od rynku). Wysokość stopy stałej dla standardowych kontraktów jest kwotowana przez banki i zwana stopą swapową (ang. swap rate). Jest ona dobrana w taki sposób, by początkowa wartość kontraktu była zerowa.

Należy zwrócić uwagę, że wysokość stopy zmiennej płaconej w danym okresie odsetkowym standardowo ustalana jest z góry na początku tego okresu (tak jak dla lokat bankowych). Niekiedy spotykane są kontrakty, w których stopa ta ustalana jest z dołu (tzw. ang. LIA swap lub Libor in arrears swap). Należą one jednak do grupy skomplikowanych w wycenie, tzw. egzotycznych instrumentów pochodnych.

Opcja na górny pułap stopy procentowej (interest rate cap)
jest instrumentem służącym do ochrony różnego rodzaju zobowiązań głównie długoterminowych przed wzrostem stopy procentowej. Przedmiotem zabezpieczenia mogą być na przykład długoterminowe kredyty lub różnego rodzaju instrumenty finansowe, których oprocentowanie jest zmienne i ustalane na bazie danej stawki referencyjnej. Opcja cap jest wielookresowym odpowiednikiem opcji call. W wyniku zawarcia transakcji cap nabywca opcji otrzymuje gwarancję od sprzedawcy, którym jest najczęściej bank, że wzrost stopy procentowej ponad poziom uzgodniony w umowie zostanie zrekompensowany przez sprzedającego

Opcja na dolny pułap stopy procentowej (interest rate floor)
jest instrumentem służącym do ochrony różnego rodzaju należności długoterminowych (choć nie tylko) przed spadkiem stopy procentowej. Przedmiotem tego zabezpieczenia mogą być długoterminowe lokaty lub różnego rodzaju instrumenty finansowe, których oprocentowanie jest zmienne i ustalane na bazie danej stawki referencyjnej. Opcja floor jest wielookresowym odpowiednikiem opcji put. W wyniku zawarcia transakcji typu floor nabywca opcji otrzymuje od sprzedawcy, którym jest najczęściej bank, gwarancję, że spadek stopy procentowej poniżej uzgodnionego w umowie pułapu zostanie zrekompensowany przez sprzedającego. Kompensata polega na przekazaniu przez wystawcę floor kwoty stanowiącej różnicę pomiędzy referencyjną stopą procentową, a stopą procentową ustaloną w transakcji opcyjnej zwaną pułapem. Wystawca płaci ją na początku każdego podokresu wówczas, gdy różnica pomiędzy powyższymi kwotami jest ujemna. W każdym innym przypadku nie dochodzi do żadnej płatności.