Rozważmy ciąg płatności C⁢F0,C⁢F1,…,C⁢Fn mających miejsce odpowiednio w momentach 0=t0<t1<…<tn. Na przykład
C⁢F0 – zakup obligacji (C⁢F0<0),
C⁢Fi – odsetki (kupony) i=1,…,n-1 (C⁢Fi>0),
C⁢Fn – odsetki i wykup obligacji (C⁢Fn>0).

Dla płaskiej struktury terminowej mamy

lub jeśli zastąpimy stopę procentową r intensywnością δ

Pytanie: Przy jakiej stałej stopie procentowej r (intensywności δ) inwestycja jest opłacalna, tzn. P⁢V>0?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, wprowadza się pojęcie wewnętrznej stopy zwrotu.

Jak łatwo zauważyć, wewnętrzna stopa zwrotu, to taka stopa procentowa, przy której wartość obecna wpływów z inwestycji jest równa wartości obecnej nakładów inwestycyjnych. Podobnie wewnętrzna intensywność, to taka intensywność oprocentowania, przy której wartość obecna wpływów z inwestycji jest równa wartości obecnej nakładów inwestycyjnych.

Oczywiście obie te wielkości są związane zależnością

Zilustrujemy definicje na przykładzie.

W ogólnym przypadku funkcja P⁢V⁢r może nie mieć miejsc zerowych lub może się zerować w kilku punktach.

Rozważmy następujący przykład:
Inwestor wpłaca 100 natychmiast i 132 na koniec dwóch lat w zamian za 230 otrzymane na koniec pierwszego roku. Równanie wartości dla tej transakcji ma postać

lub

Po sprowadzeniu do postaci iloczynu mamy

Stąd stopą zwrotu jest 10⁢% lub 20⁢%.

Wprawdzie nie jest rzeczą łatwą pogodzić się z faktem, że istnieją transakcje z wieloma stopami zwrotu, jednak gdy zaobserwujemy, że funkcja P⁢V⁢r=∑t=0nvt⁢Rt po pomnożeniu przez 1+rn jest wielomianem n-tego stopnia zmiennej r, to staje się oczywiste, że posiada ona – licząc pierwiastki zespolone i pierwiastki wielokrotne – n miejsc zerowych.

Można sobie wyobrazić przypadki jeszcze bardziej niezwykłe:

Pokażemy, że dla w miarę naturalnych ograniczeń na przepływy gotówki I⁢R⁢R istnieje. Wystarczy, że suma wypłat przewyższa sumę wpłat i pierwsza jest wpłata.

Dowód.
Rozważmy funkcję P⁢V⁢δ

Funkcja P⁢V⁢δ jest ciągła i ponadto zmienia znak. Zatem, musi istnieć punkt, w ktorym przyjmuje wartość zero .

Teza lematu pozostanie prawdziwa, gdy pierwszy przepływ gotówki (wpłata) ma miejsce w momencie t1>0.

Dowód patrz ćwiczenie 7.1

Warunki gwarantujące jednoznaczność nie są już tak oczywiste. Najprostszy przypadek to ,,najpierw wpłaty, a potem wypłaty”. W szczególności obejmuje to przypadek inwestycji w obligacje, kiedy mamy jedną wpłatę, a następnie same wypłaty.

Dowód.
Niech t∗ ,,rozdziela” wpłaty i wypłaty

Wyłączamy czynnik wykładniczy e-t∗⁢δ z P⁢V.

Następnie rozkładamy sumę na część dodatnią i ujemną. Zauważmy, że funkcja

jest ściśle malejąca. Rzeczywiście dla i=0,…,k C⁢Fi<0 i t∗-ti>0. Ponadto

Również funkcja

jest ściśle malejąca. Rzeczywiście dla i=k=1,…,n C⁢Fi>0 i t∗-ti<0. Ponadto

Zatem funkcja A⁢δ+B⁢δ=et∗⁢δ⁢P⁢V⁢δ jest ciągła, ściśle malejąca i zmienia znak

Ponieważ czynnik wykładniczy nigdzie się nie zeruje, to istnieje dokładnie jedno miejsce zerowe funkcji P⁢V⁢δ.

Powyższy lemat można uogólnić na przypadek, gdy pierwsza wpłata następuje po czasie t1>0.

Bardziej skomplikowany przypadek to ,,jedna zmiana znaku skumulowanego przepływu”. Oznaczmy przez Q skumulowany przepływ.

Dowód.
Niech N wspólny mianownik t1,…⁢tn. Oznaczmy przez Cj przepływ gotówki w momencie t=jN. j=0,1,….

Zaczniemy od dowodu pomocniczego faktu.

Zatem, gdy

to

Dalej powtarzamy rozumownie z poprzedniego lematu i pokazujemy, że istnieje dokładnie jedna I⁢R⁢R.

Załóżmy, że istnieje dokładnie jedna I⁢R⁢R, C⁢F0<0 i ∑iC⁢Fi>0. Możemy wówczas przeformułować kryterium inwestycyjne oparte na P⁢V (2.1.4) obliczonej dla płaskiej struktury terminowej. Niech B⁢t=1+r-t – czynnik dyskontujący.

Dowód.
P⁢V⁢r zmienia znak w I⁢R⁢R z ,,+” na ,,–”. Zatem gdy I⁢R⁢R>r, to P⁢V⁢r>0, a gdy I⁢R⁢R<r, to P⁢V⁢r<0.

Uwaga. Gdy I⁢R⁢R>r to I⁢R⁢R-r wyznacza tzw. ,,margines bezpieczeństwa”.

Gdy I⁢R⁢R nie jest wyznaczone jednoznacznie (istnieje kilka miejsc zerowych), ale C⁢F0<0 i ∑iC⁢Fi>0, to można sformułować jedynie dużo słabsze kryterium:
Jeżeli I⁢R⁢Rm⁢i⁢n>r, to inwestycja jest opłacalna, a gdy I⁢R⁢Rm⁢a⁢x<r, to nieopłacalna.

Rozważmy obligację, z której n krotnie wypłacane są odsetki (obligacja n-kuponowa), co daje n+1 przepływów pieniężnych. Niech P=-C⁢F0 – cena zakupu, C⁢F1,…,C⁢Fn-1 – kupony, C⁢Fn – ostatni kupon i kwota otrzymana po wykupieniu obligacji. Kolejne przepływy gotówki następują, odpowiednio, po czasie t1,…,tn.

Dla takiej obligacji stopa zwrotu liczona do momentu zapadalności (Y⁢T⁢M) jest wyznaczona przez równanie

Lub po podzieleniu przez 1+Y⁢T⁢Mtn

To samo równanie wyznacza wewnętrzną stopę zwrotu.

Ponadto spełnione są założenia lematu 2.2.3. Zatem Y⁢T⁢M jest wyznaczona jednoznacznie.

Wewnętrzna stopa zwrotu znalazła swoje miejsce w obowiązujących w Polsce aktach prawnych dotyczących kredytów. W ustawie o kredycie konsumenckim ([45, 46]) ustawodawca wprowadził wymóg informowania kredytobiorcy o ,,rzeczywistej rocznej stopie oprocentowania”, którą dla kredytów o stałym oprocentowaniu wyznacza się jako wewnętrzną stopę zwrotu dla wszystkich przepływów gotówki wynikających z danej umowy kredytowej. Zatem jest to stopa procentowa i, która spełnia następujące równanie

gdzie,
k=1,…,n – numer kolejnego przepływu gotówki;
tk – czas wyrażony w latach, pomiędzy pierwszą wypłatą i k-tym przepływem gotówki (t1=0), wyznaczony zgodnie z zasadą ,,dokładnej liczby dni” (patrz podrozdział 1.3.8);
C⁢Fk – k-ty przepływ gotówki;

Transze kredytu (Kk) bierzemy ze znakiem minus, a raty kredytowe (R⁢Kk), zapłacone odsetki O⁢Dk, prowizje i inne opłaty (Pk) ze znakiem plus.

Zgodnie z ustawą, rzeczywistą roczną stopę oprocentowania podaje się z dokładnością co najmniej do 1 promila.

1. Przypadek nieskończonej liczby płatności.
Równanie wartości ma postać

Zadanie jest dobrze postawione, gdy szereg jest zbieżny.

2. Przypadek ciągłego strumienia płatności.
Równanie wartości ma postać

gdzie: P cena (koszt inwestycji) (P=-C⁢F0), g⁢t gęstość płatności.

Oznaczmy przez Q⁢t skumulowany przepływ gotówki

Dowód.
Rozważmy funkcję P⁢V⁢δ,

Jak łatwo zauważyć, zmienia ona znak P⁢V⁢0=Q∞>0 i limt→∞⁡P⁢V⁢t=Q⁢0<0. Ponieważ jest ciągła, to posiada miejsca zerowe.

Po scałkowaniu przez części otrzymamy

Ponieważ obie otrzymane całki są funkcjami malejącymi zmiennej δ, to P⁢V zeruje się tylko w jednym punkcie.