Rozważmy inwestycję, w czasie trwania której będzie miało miejsce n nieujemnych przepływów gotówki C⁢F1,C⁢F2,…,C⁢Fn, odpowiednio w momentach 0<t1<…<tn, (np. obligację n-kuponową o stałym oprocentowaniu lub portfel zawierający kilka obligacji). Załóżmy, że jej wartość obecna jest dodatnia (tzn. przynajmniej jeden przepływ gotówki jest niezerowy).

Uwaga. Warto zauważyć, że duration i convexity zdefiniowane zostały za pomocą analogicznych formuł jak pierwszy i drugi moment zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym. A stąd wynika, że dla duration i convexity zachodzą podobne zależności jak dla momentów.

Jako przykład wykorzystania tej analogii pokażemy, że średni kwadrat C jest większy od kwadratu średniej D2.

Dowód.
Rozważmy średni kwadrat odchylenia od średniej. Mamy

Z obserwacji rynku wynika, że struktura terminowa stóp procentowych nie jest stała, lecz zmienia się wraz z upływem czasu. Najczęściej obserwowane zmiany polegają na zwiększeniu lub zmiejszeniu średniej efektywnej intensywności o stałą, co wizualnie odpowiada przesunięciu równoległemu jej wykresu. Okazuje się, że wpływ takich zmian na wartość obecną portfela obligacji dobrze charakteryzuje się używając duration i convexity.

Jak w podrozdziale 8.1 rozważamy inwestycję, w czasie trwania której będzie miało miejsce n przepływów gotówki C⁢F1,C⁢F2,…,C⁢Fn, odpowiednio w momentach 0<t1<…<tn. Zakładamy, że wszystkie C⁢Fi są dodatnie.

Oznaczmy przez P⁢V⁢x, D⁢x i C⁢x wartość obecną, duration i convexity wyznaczone zgodnie ze strukturą terminową B⁢x,t.

Dowód.

Ostatnią równość otrzymamy po zróżniczkowaniu pierwszej.

Po skróceniu przez P⁢V⁢x otrzymujemy

Z lematu 8.1 wynika, że w przypadku, gdy mamy co najmniej dwa dodatnie przepływy gotówki, to pochodna duration jest ujemna. Zatem

Z punktu widzenia praktyka duration mierzy liniową część zależności wartości teoretycznej (czyli PV) od przesunięcia równoległego (czyli od ,,czynnika ryzyka” x), a convexity część kwadratową tej zależności. Rzeczywiście po zastosowaniu wzoru Taylora otrzymujemy:

Rozważmy teraz ogólniejsze inwestycje, w których mamy do czynienia zarówno z wypłatami, jak i z wpłatami (przychodami i rozchodami), tzn. przepływy gotówki mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne. Niech I oznacza inwestycję, w czasie trwania której będzie miało miejsce n przepływów gotówki C⁢F1,C⁢F2,…,C⁢Fn, odpowiednio w momentach 0<t1<…<tn. Zakładamy, że przynajmniej jeden przepływ jest dodatni i przynajmniej jeden ujemny.
Przedstawimy I jako różnicę dwóch inwestycji o przepływach nieujemnych I+ i I-. W czasie trwania I+ (I-) będzie miało miejsce n przepływów gotówki C⁢Fi+ (C⁢Fi-), odpowiednio w momentach 0<t1<…<tn,

Oznaczmy przez P⁢V±⁢x, D±⁢x i C±⁢x wartość obecną, duration i convexity wyznaczone zgodnie ze strukturą B⁢x,t dla inwestycji I±.

Dowód.
Rzeczywiście dla każdego i

Zatem

Załóżmy dodatkowo, że dla pewnego x∗>x0 wartości obecne obu inwestycji I± są równe P, P>0,

Wówczas wartość obecna inwestycji I P⁢V⁢x∗ jest równa 0. Natomiast dla x bliskich x∗ wartość obecna P⁢V⁢x zależy od duration i convexity I±.

Dowód.
Korzystamy z lematu 8.3 i wniosku 8.2.

Zauważmy, że gdy duration są równe, to część liniowa się zeruje i x∗ jest punktem krytycznym P⁢V⁢x. Jeśli dodatkowo convexity są różne, to w x∗ mamy ekstremum lokalne.

Jeżeli dodatkowo ograniczymy przemienność wpłat i wypłat, to okaże się, że w punkcie x∗ jest ekstremum globalne. Na przykład, jeśli najpierw mamy serię wypłat, potem serię wpłat i na koniec znowu serię wypłat, to w x∗ P⁢V⁢x ma globalne minimum.

Dowód.
Niech a i b rozdzielają momenty przychodów i wydatków

W dowodzie twierdzenia wykorzystamy następujące oszacowania wariancji ,,czasu życia” inwestycji I±.

Dowód lematu.
Zauważmy, że momenty czasu ti, w których mają miejsce wydatki spełniają oszacowanie

zatem

Natomiast momenty czasu ti, w których mają miejsce przychody, spełniają oszacowanie

zatem

Dowód twierdzenia cd.
Zamiast różnicy P⁢V+ i P⁢V- będziemy badać ich iloraz. Niech

Z założenia P⁢V+⁢x∗=P⁢V-⁢x∗ wynika, że F⁢x∗=1. Pokażemy, że funkcja F ma w tym punkcie silne minimum globalne.

Z założenia D+⁢x∗=D-⁢x∗ wynika, że F′⁢x∗=0. Pokażemy, że jest to jedyny punkt, w którym pochodna F się zeruje.

Niech G⁢x=D-⁢x-D+⁢x. Oczywiście G⁢x∗=0. Z lematu 8.2 otrzymujemy

Z oszacowania wariancji czasu życia wynika, że gdy dla pewnego x D+⁢x=D-⁢x (czyli G⁢x=0), to G′⁢x>0. Ponieważ G jest funkcją ciągłą, to z powyższego wynika, że zeruje się ona tylko w punkcie x∗ i co więcej – zmienia w tym punkcie znak z ,,–” na ,,+”. Obie wartości obecne są nieujemne, zatem to samo zachodzi dla F′,

Czyli F ma w punkcie x∗ silne minimum globalne. Zatem

Co kończy dowód.

Powyższe fakty są wykorzystywane w praktyce bankowej przy tworzeniu tzw. regulacji ostrożnościowych, które najczęściej sprowadzają się do ustalenia limitów na moduł różnicy duration dla pasywów i aktywów (tzw. duration gap) oraz dla różnicy convexity. Ponadto wymaga się, aby present value pasywów i present value aktywów były równe.

Rozważmy płaską strukturę terminową, opisaną poprzez zależność od stopy procentowej r

Biorąc pod uwagę, że rodzinę płaskich struktur terminowych można przedstawić jako rodzinę przesunięć równoległych

to wyniki z poprzedniego podrozdziału stosują się również do tego przypadku. Co najwyżej należy skorzystać z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej, aby opisać zależność P⁢V od r.

Jak poprzednio rozważmy inwestycję, w czasie trwania której będzie miało miejsce n dodatnich przepływów gotówki C⁢F1,C⁢F2,…,C⁢Fn, odpowiednio w momentach 0<t1<…<tn. Oznaczmy przez P⁢V⁢r, D⁢r i C⁢r odpowiednio wartość obecną, duration i convexity wyznaczone zgodnie ze strukturą B⁢t=1+r-t.

Dowód - patrz ćwiczenie 8.2.

Uwaga. Iloraz

nazywa się zmodyfikowanym duration (w odróżnieniu od D zwanego duration Macaulaya).

Na podstawie lematu 8.1 wnioskujemy, że gdy co najmniej dwa przepływy gotówki są dodatnie, to pochodna duration jest ujemna. Zatem

Dowód - patrz ćwiczenie 8.3.

Z punktu widzenia praktyka duration mierzy część liniową zależności wartości teoretycznej (czyli PV) od ,,czynnika ryzyka” r, a suma duration i convexity część kwadratową tej zależności. Rzeczywiście po zastosowaniu wzoru Taylora otrzymujemy:

Niech P⁢VI oznacza wartość obecną inwestycji I.
Future Value ozn. F⁢Vt (wartość przyszła) to wielkość przepływu gotówki po czasie t, którego wartość obecna jest równa P⁢VI.

W szczególności, jeżeli I generuje tylko jeden przepływ gotówki C⁢F, który ma miejsce w momencie t, to

W modelach opartych na istnieniu deterministycznego procesu akumulacji K⁢t, Future Value interpretuje się jako wartość inwestycji I w chwili t. A dokładniej, jest to suma następujących dwóch kwot: kwoty otrzymanej przez reinwestowanie przepływów gotówki C⁢Fi dla ti<t i kwoty równej wartości obecnej pozostałych przepływów gotówki liczonej po upływie czasu t. Niech T oznacza chwilę obecną, a F wartość zreinwestowanej inwestycji I w momencie T+t. Otrzymujemy:

Na ogół w modelach stochastycznych powyższy wzór nie zachodzi. Co więcej może się okazać, że wartość oczekiwana F jest różna od F⁢Vt.

Przeanalizujmy jak zmienia się F⁢Vt przy przesunięciu równoległym struktury terminowej. Niech C⁢Fs oznacza przepływ gotówki w momencie s, a F⁢Vt⁢x Future Value inwestycji I liczoną według struktury terminowej B⁢x,t=Bo⁢t⁢exp⁡-x⁢t.

Zauważmy, że gdy x rośnie, to rośnie pierwszy składnik i maleje ostatni; na odwrót, gdy x maleje, to maleje pierwszy składnik i rośnie ostatni.

Zachodzi pytanie, w jaki sposób F⁢Vt zależy od x. Okazuje się, że w ogólnym przypadku odpowiedź można sformułować, wykorzystując duration D⁢x. Dla ułatwienia ograniczymy się do takich inwestycji, w których wszystkie przepływy gotówki są dodatnie i liczba przepływów jest nie mniejsza od dwóch.

Dowód.
Rozważamy nową inwestycję I1 złożoną z inwestycji I oraz inwestycji I- o jednym ujemnym przepływie gotówki

który ma miejsce po upływie czasu t. Zgodnie z twierdzeniem 8.1 Present Value inwestycji I1 P⁢V1⁢x ma silne globalne minimum w punkcie x∗

Ponieważ Future Value jest liniowa ze względu na inwestycje, to

Zatem dla x≠x∗ zachodzi ostra nierówność F⁢Vt⁢x>F⁢Vt⁢x∗.

W przypadku, gdy zachodzi tylko jeden niezerowy przepływ gotówki w chwili t1, to F⁢Vt1 nie zależy od x, a dla t<t1 (odpowiednio t>t1) F⁢Vt⁢x jest ściśle malejącą (odp. ściśle rosnącą) funkcją x.

Uwaga. Dobór składu portfela obligacji o stałym oprocentowaniu taki, że średni czas życia portfela pokrywa się z momentem t, dla którego wyznaczamy Future Value, nazywa się immunizacją, czyli uodpornieniem portfela. Według klasycznej teorii, należy tak dobierać skład portfela, aby był on uodporniony na przesunięcie równoległe struktury terminowej.

Odpowiedź.
Otrzymujemy następujące wartości duration:

i convexity:

Rozwiązanie.
Niech x⁢r=ln⁡1+r. Wówczas

Rozwiązanie.
Zauważmy, że granice D⁢r wynoszą odpowiednio:

Rozwiązanie.
Oznaczmy przez K wartość nominalną obligacji.
1. Ponieważ jest tylko jedna płatność w przyszłości

Zatem

2. Mamy pięć płatności.

Wzór na wartość obecną przybierze postać

Zatem

3. Jak poprzednio, mamy pięć płatności.

Wzór na wartość obecną przybierze postać

Zatem