Zagadnienia

13. Metody stochastyczne w finansach

Liczba godzin 6.
Zakres materiału:
Funkcja użyteczności. Kryterium oczekiwanej użyteczności. Dominacja stochastyczna. Podstawowe miary ryzyka.

13.1. Strategie inwestycyjne

W tym wykładzie analizie poddane zostaną inwestycje jednookresowe.

Rys. 13.1. Przepływy pieniężne.

W momencie T0 inwestor inwestuje kwotę k, a w ustalonym momencie T1 otrzymuje K jednostek monetarnych. Kwota k jest znana (deterministyczna), a K modelujemy jako zmienną losową.

Pytanie.
Jaką metodę (strategię) ma zastosować inwestor, aby wybrać najlepszą z wielu możliwych inwestycji?

Odpowiedź matematyka jest następująca:
Inwestor powinien wprowadzić na zbiorze wszystkich możliwych (dopuszczalnych) inwestycji relację określającą, które z nich są ,,lepsze”, a które ,,gorsze”.

W poniższym podrozdziale omówimy własności takich relacji, a w kolejnych zajmiemy się ich konstrukcją.

13.1.1. Relacje quasi-porządku

Zastosowanie standardowych relacji porządkujących (patrz [35] rozdział IX) wymaga od inwestora informacji niejednokrotnie niemożliwych do uzyskania dlatego znacznie bardziej praktyczne jest wprowadzenie relacji quasi-porządkujących.

Definicja 13.1

Relację określoną na zbiorze X nazywamy quasi-porządkiem, jeżeli jest
a) zwrotna

xXxx;

b) przechodnia

x,y,zXxyyzxz.

Z każdą relacją quasi-porządku związane są trzy ,,pokrewne” relacje , i .

xyxy¬yx;
xyyx;xyyx.

Zauważmy, że dla dwóch różnych elementów x,y możliwe są cztery ewentualności, które się nawzajem wykluczają:

xy,yx,xyyx,¬(xy)¬(yx),

x jest lepszy, y jest lepszy, x i y są tak samo dobre lub x i y są nieporównywalne.

13.2. Podejście mikroekonomiczne

13.2.1. Oczekiwana użyteczność

Założenia:
1. Inwestor zna rozkłady prawdopodobieństwa ewentualnych inwestycji.
2. Inwestor postępuje w sposób racjonalny.

Inwestorowi przyporządkowuje się funkcję użyteczności (satysfakcji) ([30, 12])

φ:RR-.

Inwestor postępuje w sposób racjonalny, jeśli wybiera inwestycję o największej oczekiwanej użyteczności wypłaty K

EφK.

Do wyznaczania oczekiwanej użyteczności wykorzystuje się uogólnioną wartość oczekiwaną ([26] §1.1.3), która może przyjmować wartości zarówno skończone, jak i nieskończone (±). Uogólniona wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest zawsze określona, może być skończona lub równa +. W przypadku dowolnych zmiennych losowych korzysta się z rozkładu na część dodatnią i ujemną, czyli

EφK=EφK+-EφK-.

Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej a

a=a+-a-, gdzie a+=adlaa0,0dlaa<0,a-=-adlaa0,0dlaa>0.

Zauważmy, że tylko w przypadku, gdy EφK+=EφK-=+, oczekiwana użyteczność będzie nieokreślona (-).

Na funkcję użyteczności φ nakłada się następujące warunki:
1. φ jest niemalejąca: ,,inwestor preferuje większy zysk”.
2. φ jest wklęsła: ,,awersja do ryzyka”.

Uwaga. Funkcja φ jest wklęsła, a -φ wypukła, gdy zbiór

x,yR2:yφx

jest wypukły. Jest to równoważne następującemu warunkowi:
dla dowolnych nieujemnych wag λ1 i λ2 (λ1+λ2=1, λi0)

x,yφλ1x+λ2yλ1φx+λ2φy.

(Więcej informacji czytelnik znajdzie w książce [38], która jest znakomitym kompendium wiedzy o funkcjach wypukłych.)

Wklęsłość uzasadnia się tym, że tłumaczy ona pewne stylizowane fakty. Otóż każda funkcja wklęsła i niemalejąca spełnia następujące oszacowania:

xyh0φx+h-φxφy+h-φy0,
xyh0φx-φx-hφy-φy-h0,
xh>0φx-φx-hφx+h-φx0.

Możemy je zinterpretować w następujący sposób:
,,Ta sama kwota zysku bardziej cieszy, gdy mamy mniej.”
,,Taka sama strata bardziej boli, gdy mamy mniej.”
,,Strata bardziej boli, niż zysk cieszy.”

Zauważmy, że sformułowane powyżej kryterium oznacza, że z każdą funkcją użyteczności φ związaliśmy relację quasi-porządku na zbiorze K zmiennych losowych, które modelują możliwe wypłaty,

K1φK2E(φ(K1))E(φ(K2)).

Wypłata, dla której oczekiwana użyteczność jest nieokreślona, tzn.

EφK+=EφK-=+,

jest nieporównywalna z innymi wypłatami. Natomiast każde dwie wypłaty o określonej oczekiwanej użyteczności (skończonej lub nieskończonej) są porównywalne.

Wniosek 13.1

Jeżeli dla ustalonej funkcji użyteczności φ i dla każdej zmiennej losowej z K jest określona oczekiwana użyteczność, to relacja φ jest spójna

K1,K2KK1φK2K2φK1.

Przez Dφ będziemy oznaczać dziedzinę efektywną funkcji użyteczności φ, tzn. zbiór tych argumentów, dla których funkcja φ przyjmuje skończone wartości

Dφ=xR:φx>-.

Niech dφ oznacza kres dolny Dφ,

dφ=infx:xDφ.

Ponieważ funkcja φ jest niemalejąca, to jej dziedzina efektywna może być:
i. zbiorem pustym (Dφ=);
ii. całą prostą rzeczywistą (Dφ=-,+, dφ=-);
iii. półprostą otwartą (Dφ=dφ,+);
iv. półprostą domkniętą (Dφ=dφ,+).

Przypadek i.
(φ stała równa -) jest nieciekawy z punktu widzenia zastosowań i w dalszym ciągu będziemy go pomijać.
Przypadek ii.
φ jest ciągła.
Przypadek iii.
Ciągłe jest obcięcie φ do dziedziny efektywnej.
Przypadek iv.
φ obcięta do dziedziny efektywnej może być nieciągła w punkcie dφ. Ma to miejsce gdy

limxdφ+φx>φdφ.

Będziemy wówczas przedstawiać funkcję φ jako sumę dwóch funcji niemalejących i wklęsłych, ciągłej na dφ,+ i stałej na dφ,+

φx=φ~x+φdφ+-φdφκx-dφ;

gdzie φdφ+ prawostronna granica φ w dφ,

φ~x=φx dla x>dφφdφ+ dla x=dφ- dla x<dφ,
κx=0 dla x>0-1 dla x=0- dla x<0.

Funkcje wklęsłe, ciągłe na swojej dziedzinie efektywnej, można scharakteryzować za pomocą funkcji liniowych.

Lemat 13.1

Jeśli funkcja wklęsła φ jest ciągła na Dφ, to istnieją ciągi liczb rzeczywistych ann=1 i bnn=1, takie, że

xDφφx=infnanx+bn.

Dowód[23] lemat 5.2.1.

Zauważmy, że gdy zmienna losowa K przyjmuje z niezerowym prawdopodobieństwem wartości z dopełnienia Dφ, to oczekiwana użyteczność wynosi - lub jest nieokreślona

PKRDφ>0EφK=-EφK=-.

Oznacza to, że inwestor z góry odrzuca możliwość wyboru inwestycji (strategii) o takiej wypłacie.

13.2.2. Własności oczekiwanej użyteczności

Omówimy teraz podstawowe własności oczekiwanej użyteczności. Szczególną uwagę zwrócimy na kryteria pozwalające stwierdzić, czy dla danej zmiennej losowej K jest ona określona. Dla ustalenia uwagi przyjmujemy, że zmienne losowe K, K1 i K2 z dalszej części rozdziału są zdefiniowane na tej samej przestrzeni probabilistycznej Ω,M,P. Na początek pokażemy, że oczekiwana użyteczność jest monotoniczna.

Twierdzenie 13.1

Jeśli prawie na pewno K1K2 (tzn. PK1<K2=0), a oczekiwana użyteczność K2 jest określona i większa od -, to oczekiwana użyteczność K1 jest określona i nie mniejsza niż oczekiwana użyteczność K2

EφK1EφK2.

Jeśli ponadto φ obcięta do dziedziny efektywnej jest ściśle rosnąca, a K1 i K2 są istotnie różne (PK1K2>0) oraz oczekiwana użyteczność K2 jest skończona, to

EφK1>EφK2.

Dowód.
Ponieważ K2 ma oczekiwaną użyteczność różną od -, to prawie na pewno nie przyjmuje wartości z dopełnienia dziedziny efektywnej φ. A skoro φ jest niemalejąca, to otrzymujemy następujące nierówności

φK1φK2>- p.n.

Zatem zmienna losowa φK1-φK2 jest prawie na pewno nieujemna i ma nieujemną wartość oczekiwaną (skończoną lub nieskończoną)

EφK1-φK20.

Ponieważ E(φ(K2)>-, to oczekiwana użyteczność K1 jest określona i jest od niej nie większa

E(φ(K1))=E(φ(K1)-φ(K2)+φ(K2))=E(φ(K1)-φ(K2))+E(φ(K2)
E(φ(K2).

Gdy K1 i K2 są istotnie różne, a φ obcięta do dziedziny efektywnej jest ściśle rosnąca, to

PφK1-φK2>0>0.

Zatem

EφK1-φK2>0.

Ponieważ oczekiwana użyteczność K2 jest skończona, to otrzymujemy ,,ostrą” nierówność

EφK1>EφK2.

Przeformułujemy teraz powyższe twierdzenie w terminach quasi-porządku.

Wniosek 13.2

Jeżeli oczekiwane użyteczności K1 i K2 są określone i prawie na pewno
K1K2, to

K1φK2.

Ponadto, jeśli φ jest ściśle rosnąca, a Ki są istotnie różne i mają skończone oczekiwane użyteczności, to

K1φK2.

Zauważmy, że z powyższego twierdzenia wynika prosty warunek dostateczny istnienia oczekiwanej użyteczności.

Wniosek 13.3

Jeżeli prawie na pewno K nie przyjmuje wartości mniejszych niż pewna stała x należąca do efektywnej dziedziny φ, to oczekiwana użyteczność K jest określona i różna od -.

xDφKx p.n. EφK>-

Dowód.
Skoro x należy do dziedziny efektywnej φ, to użyteczność wypłaty x jest większa od -. Zatem z powyższego twierdzenia otrzymujemy, że oczekiwana użyteczność wypłaty K jest określona i nie mniejsza od φx. Czyli

EφKEφx=φx>-.

Teraz uogólnimy nierówność Jensena (patrz [21] §5.7 Twierdzenie 2, [8] str. 276).

Twierdzenie 13.2

Jeżeli zmienna losowa K ma skończoną wartość oczekiwaną (tzn. KL1) to spełnione są następujące warunki:
i. oczekiwana użyteczność K jest określona;
ii. EφKφEK;
iii. dla dowolnego σ-ciała F, FM, jest określona oczekiwana użyteczność warunkowej wartości oczekiwanej E(K|F) i E(φ(K))E(φ(E(K|F)))φ(E(K)).
Ponadto, jeśli φ jest ściśle wklęsła, a K nie jest stała i φEK>-, to
EφK<φEK.

Uwagi.
1. Funkcja wklęsła jest ściśle wklęsła, gdy na żadnym przedziale nie jest liniowa, tzn. gdy prosta styczna do wykresu ma z nim tylko jeden punkt wspólny.
2. Punkt iii. oznacza, że jeśli uśrednimy wypłatę, to jej oczekiwana użyteczność nie zmaleje.

Dowód.
Ad ii. oraz i.
Jeżeli K ma skończoną oczekiwaną użyteczność, to ii. wynika z nierówności Jensena dla funkcji -φ. Ponieważ zakładamy tylko istnienie skończonej wartości oczekiwanej K, to musimy pokazać istnienie oczekiwanej użyteczności.

Niech y=lx,

lx=φx0+ax-x0,

bedzie równaniem prostej stycznej do wykresu φx w punkcie x0, x0>dφ. φ jest wklęsła, zatem jej wykres leży poniżej lub na prostej stycznej

xlxφx.

Zatem zmienna losowa φK-lK jest niedodatnia i ma wartość oczekiwaną (w R--),

EφK-lK0.

Ale jak łatwo zauważyć, lK ma skończoną wartość oczekiwaną

ElK=Eφx0+aK-x0=φx0+aEK-x0.

Z tego wynika, że istnieje oczekiwana użyteczność K i spełnia nierówność

EφK=EφK-lK+lK=EφK-lK+ElK
E(l(K))=φ(x0)+a(E(K)-x0).

Gdy EK>dφ, to podstawiamy x0=EK i otrzymujemy warunek ii. W przeciwnym przypadku, gdy EKdφ, to albo z dodatnim prawdopodobieństwem K przyjmuje wartości z dopełnienia dziedziny efektywnej φ, wówczas oczekiwana użyteczność K jest równa - i warunek ii. też jest spełniony

E(φ(K)))=-=φ(E(K)),

albo K jest prawie na pewno stała, K=dφp.n., a zatem EφK=φdφ=φEK.

Ad iii.
Dowód punktu iii. jest trochę bardziej skomplikowany. KL1, a więc warunkowa wartość oczekiwana E(K|F) jest określona i też należy do L1,

E(E(K|F))=E(K).

Zatem jej oczekiwana użyteczność jest określona i nie większa niż φEK (punkt (i)). Gdy oczekiwana użyteczność K jest równa -, to warunek (iii) jest automatycznie spełniony. W przeciwnym przypadku, gdy zarówno EK i EφK są skończone, korzystamy z nierówności Jensena dla warunkowej wartości oczekiwanej dla φ ([23, lemat 5.2.2])

φ(E(K|F))E(φ(K)|F)p.n.

Następnie korzystamy z twierdzenia o iterowaniu wartości oczekiwanej i otrzymujemy następującą nierówność

E(φ(E(K|F)))E(E(φ(K)|F))=E(φ(K)).

Co kończy dowód iii.

Gdy φ jest ściśle wklęsła, to

xxx0lx=φx0+ax-x0>φx.

Ponadto rozkład K nie jest skupiony w jednym punkcie

PKx0>0,

zatem

PlK>φK>0.

A z tego wynika, że dla x0=EK otrzymujemy

φEK=ElK>EφK.

Przeformułujemy powyższe twierdzenie w terminach quasi-porządku.

Wniosek 13.4

Jeżeli EK i φEK są skończone, to

E(K)φK.

Ponadto, jeśli φ jest ściśle wklęsła, a K nie jest stała, to

E(K)φK.

Z powyższego twierdzenia wynika również następująca charakteryzacja niechęci (awersji) do ryzyka.

Wniosek 13.5

Inwestor, który planuje inwestycje w oparciu o ściśle wklęsłą funkcję użyteczności, mając do wyboru inwestycję pewną o znanej z góry wypłacie k1 i inwestycję wymagającą takich samych nakładów, o tym samym czasie życia i o losowej (nieznanej) wypłacie K o wartości oczekiwanej k1, wybierze tę pierwszą.

Natomiast z punktu iii. twierdzenia 13.2 wynika warunkowa monotoniczność oczekiwanej użyteczności.

Wniosek 13.6

Jeżeli para K1,K2 jest nadmartyngałem, tzn.

E(K2|K1)K1p.n.,

oraz K2 ma skończoną zarówno wartość oczekiwaną jak i oczekiwaną użyteczność, to oczekiwana użyteczność K1 jest określona i nie mniejsza niż oczekiwana użyteczność K2

EφK1EφK2.

Dowód.
Z twierdzenia 13.2 wynika, że oczekiwana użyteczność E(K2|K1) istnieje i spełnia nierówność

E(φ(K2))E(φ(E(K2|K1))).

Natomiast z twierdzenia 13.1 otrzymujemy istnienie EφK1 i oszacowanie

E(φ(E(K2|K1)))E(φ(K1)).

Co kończy dowód.

Z twierdzenia 13.2 wynika tylko górne ograniczenie na oczekiwaną użyteczność. Dolne ograniczenie może nie istnieć. Okazuje się, że skończona wartość oczekiwana wypłaty K wcale nie musi implikować skończonej oczekiwanej użyteczności nawet, jeśli K nie przyjmuje wartości spoza dziedziny efektywnej φ (- patrz ćwiczenie 13.5).

Na zakończenie pokażemy, że oczekiwana użyteczność jest wklęsła.

Twierdzenie 13.3

Jeżeli zmienne losowe K1 i K2 mają skończoną oczekiwaną użyteczność to dla dowolnych wag λ1 i λ2 (λ1+λ2=1, λi0)
i. zmienna losowa λ1K1+λ2K2 ma określoną oczekiwaną użyteczność,
ii. E(φ(λ1K1+λ2K2)λ1E(φ(K1))+λ2E(φ(K2)).
Ponadto, jeśli φ jest ściśle wklęsła, K1 i K2 są istotnie różne, PK1K2>0, a wagi λi dodatnie, to E(φ(λ1K1+λ2K2)>λ1E(φ(K1))+λ2E(φ(K2)).

Dowód.
φ
jest funkcją wklęsłą czyli dla dowolnych wag λ1 i λ2

x,yφλ1x+λ2yλ1φx+λ2φy.

Zatem zmienna losowa φλ1K1+λ2K2-λ1φK1-λ2φK2 jest nieujemna i ma nieujemną wartość oczekiwaną. Zatem

Eφλ1K1+λ2K2=
=E((φ(λ1K1+λ2K2)-λ1φ(K1)-λ2φ(K2))+(λ1φ(K1)+λ2φ(K2)))=
=E((φ(λ1K1+λ2K2)-λ1φ(K1)-λ2φ(K2)))+E(λ1φ(K1)+λ2φ(K2))
λ1EφK1+λ2EφK1.

Gdy φ jest funkcją ściśle wklęsłą, to dla xy, φx,φy>- i λi>0

φλ1x+λ2y>λ1φx+λ2φy.

Zatem nieujemna zmienna losowa φλ1K1+λ2K2-λ1φK1-λ2φK2 jest dodatnia na zbiorze, który ma dodatnią miarę. Zatem jej wartość oczekiwana jest dodatnia i nierówność z punktu ii. jest ostra.

Wniosek 13.7

Jeżeli istotnie różne zmienne losowe K1 i K2 mają równe skończone oczekiwane użyteczności, a φ jest ściśle wklęsła, to dla dowolnych dodatnich wag λ1 i λ2 (λ1+λ2=1, λi>0)

λ1K1+λ2K2φK1,K2.

Dowód.
Niech φ0 oczekiwana użyteczność K1 i K2. Z powyższego twierdzenia wynika, że

E(φ(λ1K1+λ2K2)>λ1E(φ(K1))+λ2E(φ(K2))=(λ1+λ2)φ0=φ0.

Zatem kombinacja wypukła K1 i K2 jest od nich obu ,,lepsza”.

Z powyższego wniosku wynika następująca zasada dywersyfikacji portfela.

Wniosek 13.8

Inwestor, który planuje inwestycje w oparciu o ściśle wklęsłą funkcję użyteczności, mając do wyboru trzy inwestycje wymagające takich samych nakładów, o tym samym czasie życia i o istotnie różnych wypłatach K1, K2 i K3, takich, że oczekiwane użyteczności K1 i K2 są skończone i równe, a K3 jest kombinacją wypukłą K1 i K2, wybierze tę trzecią.

13.3. Ćwiczenia

Ćwiczenie 13.1

Niech X1 i X2 będą zmiennymi losowymi zero-jedynkowymi

PXi=1=pi,PXi=0=1-pi,pi0,1,

a φ dowolną funkcją użyteczności taką, że φ0>-. Pokazać, że

p1p2X1φX2.

Rozwiązanie.

Dla zmiennej losowej zero-jedynkowej oczekiwana użyteczność wynosi

EφX=1-pφ0+pφ1=φ0+pφ1-φ0.

φ jest niemalejąca. Zatem gdy p1p2, to oczekiwana użyteczność X1 jest większa lub równa oczekiwanej użyteczności X2. A stąd

X1φX2.
Ćwiczenie 13.2

Niech X1 i X2 będą zmiennymi losowymi zero-jedynkowymi

PXi=1=pi,PXi=0=1-pi,pi0,1,

a φ dowolną funkcją użyteczności taką, że φ1>φ0>-. Pokazać, że gdy zmienne losowe Xi mają taką samą oczekiwaną użyteczność, to mają takie samo prawdopodobieństwo osiągnięcia sukcesu.

Rozwiązanie.

EφXi=1-piφ0+piφ1=φ0+piφ1-φ0.

Zatem z równości oczekiwanych użyteczności otrzymujemy

p1=EφX1-φ0φ1-φ0=EφX2-φ0φ1-φ0=p2.
Ćwiczenie 13.3

Wyznaczyć oczekiwaną użyteczność EφX, gdy X ma rozkład normalny N0,1 a φx=minx,M, gdzie M ustalony parametr rzeczywisty.

Rozwiązanie.

EφX=12π-Mxexp-x22dx+MPX>M=12πexp-M22+M1-FM.

Odpowiedź. Oczekiwana użyteczność X wynosi 12πexp-M22+M1-FM, gdzie F jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego.

Ćwiczenie 13.4

Inwestor podejmuje decyzje w oparciu o logarytmiczną funkcję użyteczności

φx=lnx dla x>0,- dla x0.

Może zainwestować 1000 zł w dwie inwestycje, o tym samym czasie życia. Wypłata z pierwszej ma rozkład

K1 960 980 1000 1030 1050
prawdopodobieństwo [%] 20 10 15 25 30

a z drugiej

K2 960 970 990 1000 1010 1040 1050 1060
prawd. [%] 15 5 5 15 5 25 20 10

Którą z inwestycji wybierze?

Rozwiązanie. Wyznaczamy oczekiwane użyteczności:

ElnK1=0,2ln960+0,1ln980+0,15ln1000+0,25ln1030+
+0,3ln1050=6,919597359,
ElnK2=0,15ln960+0,05ln970+0,05ln990+0,15ln1000+
+0,05ln1010+0,25ln1040+0,2ln1050+0,1ln1060=6,925494121.

Jak widać, oczekiwana użyteczność drugiej wypłaty jest trochę większa.

Odpowiedź. Inwestor wybierze drugą inwestycję.

Ćwiczenie 13.5

Wyznaczyć oczekiwaną użyteczność dla wypłaty K, która ma rozkład jednostajny na przedziale 0,2

PKx=0 dla x012x dla 0<x<21 dla 2x

i dla funkcji użyteczności

φx=- dla x01-1x dla 0<x.

Porównać ją z użytecznością wartości oczekiwanej K.

Rozwiązanie. Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu jednostajnego na przedziale o długości 2 jest równa 0,5 wewnątrz tego przedziału i 0 poza nim. Zatem

EφK=021-1x12dx=-.

Z drugiej strony wartość oczekiwana K wynosi 1, a więc

φEK=φ1=0.

Odpowiedź. Oczekiwana użyteczność dla wypłaty K wynosi -, podczas gdy użyteczność wartości oczekiwanej K wynosi 0.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.