Zagadnienia

2. Pieniądz

Liczba godzin 2.
Zakres materiału:
Proces bogactwa. Proces akumulacji. Stopa zwrotu. Inflacja i realna stopa zwrotu. Metoda strumieni pieniężnych. Współczynnik dyskonta. Rodzaje kapitalizacji: prosta, składana, ciągła. Struktura liczenia dni (tzw. day count). Inflacja i realna stopa zwrotu

2.1. Opis inwestycji finansowych

2.1.1. Ujęcie ,,globalne”

Rozważmy inwestycję finansową w okresie T0,T1. T=T1-T0 nazywa się ,,czasem życia inwestycji” lub ,,horyzontem czasowym”.

Inwestycję modelujemy za pomocą procesu bogactwa (wealth process)

K:T0,T10,,

gdzie Kt interpretujemy jako stan posiadania inwestora w chwili t.

W szczególności:
K=KT0 oznacza kapitał początkowy inwestora,
Kt=0 dla pewnego t oznacza bankructwo inwestora w chwili t.

Jeżeli dodatkowo założymy, że funkcja Kt jest rosnąca, to mówimy o procesie akumulacji. Taki proces wykorzystuje się na przykład do modelowania rachunku oszczędnościowego a vista, którego posiadacz nie dokonywał wypłat. Gdy porównujemy wartości procesu akumulacji w dwóch momentach t1 i t2, t1<t2, to mówimy, że kwota Kt1 zakumulowała się do kwoty Kt2 lub że wartość skumulowana kwoty Kt1 (zainwestowanej w chwili t1) w chwili t2 wyniosła Kt2.

Zysk to różnica wartości procesu bogactwa w dwóch momentach czasu.

Zt2,t1=Kt2-Kt1,t2>t1.

Jeśli t1 jest momentem rozpoczęcia inwestycji (t1=T0), to zwyczajowo opuszczamy jeden argument funkcji Z.

Zt=Zt,T0=Kt-K.
Uwaga 2.1

Gdy Z przyjmuje wartość ujemną, wówczas mówimy o stracie.

Jeśli Kt1>0, to możemy określić stopę zwrotu w okresie t1,t2 (względny przyrost procesu bogactwa Kt)

rt2,t1=Zt2,t1Kt1=Kt2Kt1-1,
rt=rt,T0=Kt-KK.

Gdy modelowany proces jest ,,mierzony” w pewnych jednostkach monetarnych, to stopa zwrotu mówi nam, ile wynosi zysk z jednej jednostki monetarnej. Jak łatwo zauważyć, stopy zwrotu wyznaczają proces bogactwa. Mamy

Kt=1+rtK,Kt2=1+rt2,t1Kt1.

Warto zwrócić uwagę na zależność ,,wielookresowej” stopy zwrotu od stóp zwrotu w poszczególnych okresach.

Lemat 2.1

Niech t0<t1<<tn. Jeżeli w okresie ti-1,ti stopa zwrotu wynosi ri, i=1,,n, to stopa zwrotu w okresie t0,tn wyniesie

r=i=1n1+ri-1.

Dowód.
Korzystamy z zależności

Kti=Kti-11+rti,ti-1=Kti-11+ri,i=1,2,,n.

Mnożąc powyższe równości stronami, a następnie skracając, otrzymujemy

Ktn=Kt01+r11+rn.

Zatem

r=rtn,t0=Ktn-Kt0Kt0=1+r11+rn-1.

2.1.2. Ujęcie ,,lokalne”

Z każdą inwestycją związane są przepływy gotówki (cash flows), zwane też przepływami (strumieniami) pieniężnymi

CF0,CF1,,CFn,

które mają miejsce w chwili tiT0,T1,

T0=t0<t1<<tn.

Niekiedy będziemy stosowali zapis uproszczony

CFt0,CFt1,,CFtn.

Ujemna wartość CFi (lub CFt) oznacza wydatki, a dodatnia przychody. Zysk z inwestycji wyznaczamy według następującego wzoru:

Z=CF0+CF1++CFn.

Gdy rozpatrujemy inwestycję jednookresową (n=1), taką, że CF0<0, a CF1>0 (najpierw inwestujemy), to wzór na stopę zwrotu jest następujacy:

r=CF1+CF0CF0=CF1CF0-1.

Przykład
Inwestor kupił za 100 zł roczną obligację. Po roku wypłata wyniosła 110 zł.
Mamy następujące dane:
czas życia inwestycji 1 rok, zatem t0,1;
K0=100,
K1=110.
Dla t0,1 Kt jest wartością rynkową obligacji w momencie t.
Zysk i stopa zwrotu wynoszą odpowiednio

Z=110-100=10,r=10100=0,1.

Alternatywny opis wygląda następująco:

CF0=-100,CF1=110.

Zatem zysk i stopa zwrotu wynoszą odpowiednio

Z=-100+110=10,r=10-100=0,1.

Podsumowanie:
Proces bogactwa opisuje stan posiadania inwestora, a przepływy gotówki tylko stan jego rachunku bankowego.

2.2. Przykłady procesów akumulacji

2.2.1. Odsetki proste (procent prosty)

Rachunek oszczędnościowy a vista, z odsetkami naliczanymi proporcjonalnie do czasu utrzymywania lokaty, jest opisywany następującym procesem akumulacji:

Kt=K1+tr, gdzie t kolejny okres lub jego część, t0,T,K=const.

Stopa zwrotu dla takiego procesu wynosi

r1=r,rt=Kt-KK=tr.

2.2.2. Odsetki złożone (procent złożony)

Inna metoda naliczania odsetek opisana jest za pomocą funkcji wykładniczej zależnej od czasu

Kt=K1+rt, gdzie t kolejny okres, t0,T,K=const.

Stopa zwrotu dla takiego procesu wynosi

r1=r,rt=Kt-KK=1+rt-1=tr+tt-12r2+.

Jak widać, różnica między stopami zwrotu powyższych procesów jest rzędu r2.

2.2.3. Okresowa kapitalizacja odsetek

W praktyce stosuje się połączenie obu sposobów oprocentowania. Pomiędzy pełnymi okresami nalicza się odsetki w sposób prosty, a następnie dodaje się odsetki do kapitału (kapitalizacja odsetek).

Kt=K1+rt1+tr,t0,T,K=const.

t część całkowita, t część ułamkowa (czyli t=t+t, gdzie tZ, t0,1). Zauważmy, że

r1=r,rt=Kt-KK=1+rt1+tr-1.

Poniżej przedstawione są wykresy opisanych powyżej trzech procesów akumulacji:

y=K1+tr,y=K1+rt oraz y=K1+rt1+tr.
Rys. 2.1. Porównanie procesów akumulacji..

2.2.4. Kapitalizacja ciągła

Czasami wygodniej jest zapisywać proces akumulacji opisujący procent złożony za pomocą funkcji wykładniczej o podstawie e.

Kt=Ketγ,t0,T,K=const.

Mówimy wówczas o kapitalizacji ciągłej. Wielkość oznaczoną literą γ będziemy nazywać intensywnością oprocentowania. Łatwo wyrazić ją za pomocą stopy procentowej (procent złożony)

γ=ln1+r,r=eγ-1.
Uwaga 2.2

W niektórych ,,źródłach” γ nazywa się ,,chwilową stopą procentową”.

Aby porównywać różne procesy akumulacji, należy dokonać wyboru wspólnej jednostki czasu i ustalić wzorcowy typ procesu.

2.2.5. Roczna skala czasowa

Od tej chwili jako jednostkę czasu przyjmujemy rok kalendarzowy. Niech τ – długość okresu mierzona w latach (np. miesiąc, kwartał, …) r – stopa zwrotu jednookresowa (miesięczna, kwartalna, …), a r=rτ-1 – stopa zwrotu w skali rocznej. Wówczas proces akumulacji opisujący procent prosty przyjmuje następującą postać

Kt=K1+rtτ=K1+tr.

Natomiast dla procentu złożonego mamy

Kt=K1+rtτ=K1+τrtτ.

Jeżeli długość okresu maleje do 0, to otrzymamy w granicy kapitalizację ciągłą z intensywnością równą r

limτ0K1+τrtτ=Ketr.

Stąd też nazwa – kapitalizacja ciągła.

Uwaga 2.3

W matematyce aktuarialnej, dla podkreślenia, że stopa procentowa podana jest w skali rocznej, stosuje się symbol im. Oznacza on stopę procentową (dla procentu prostego) dla okresu 1m roku w skali rocznej. Jeśli r oznacza oprocentowanie okresowe, to

im=mr i r=imm.

Na przykład w ćwiczeniu 2.8 mamy i4=0,08 i r=0,02.

Uwaga 2.4

W dalszym ciągu będziemy oznaczać stopy zwrotu i stopy procentowe wymiennie literami r i i. Symbol r pochodzi od angielskiego rate of return i chętnie jest używany w finansach, a i od interest rate (lub rate of interest) i używany jest przez aktuariuszy.

2.2.6. Nominalna i efektywna stopa procentowa

Jak już wspominaliśmy, aby móc porównywać różne procesy akumulacji, należy wybrać typ wzorcowy procesu. Wybór oprocentowania prostego prowadzi do stopy nominalnej, a oprocentowania złożonego do stopy efektywnej.

Niech Kt będzie pewnym procesem akumulacji.

Stopa nominalna w okresie t,t+h (t czas w latach)

in=inh,t

to taka stopa procentowa, że

Kt+h=Kt1+hinh,t,

czyli

inh,t=Kt+h-KthKt.

Stopa efektywna w okresie t,t+h (t czas w latach)

ief=iefh,t

to taka stopa procentowa, że

Kt+h=Kt1+iefh,th,

czyli

iefh,t=Kt+hKth-1.

Podobnie określa się efektywną intensywność oprocentowania w okresie t,t+h

γef=γefh,t.

Jest to taka intensywność, że

Kt+h=Ktehγefh,t,

czyli

γefh,t=1hlnKt+hKt=ln1+iefh,t.

Porównamy teraz graniczne wartości efektywnej intensywności i stopy nominalnej. Okazuje się, że jeżeli istnieją, to są sobie równe.

Lemat 2.2

Dla ustalonego momentu t następujące warunki są równoważne:
1. Prawostronna pochodna K w punkcie t istnieje i jest równa k

k=limh0+Kt+h-Kth;

2. Efektywna intensywność γefh,t ma w punkcie h=0 granicę kKt;
3. Stopa nominalna inh,t ma w punkcie h=0 granicę kKt.

Dowód.
12
.
Jeśli K ma w t prawostronną pochodną, to również ma ją złożenie lnK. Zatem

γef(h,t)=lnKt+h-lnKthln(K(t))=kKt.

23.
Przedstawimy in jako iloczyn dwóch funkcji posiadających granicę gdy h0.

inh,t=Kt+h-KthKt=ehγefh,t-1h=ehγefh,t-1hγefh,tγefh,t.

Zatem

limh0+inh,t=limh0+ehγefh,t-1hγefh,tlimh0+γefh,t=1kKt.

31.

limh0+Kt+h-Kth=Ktlimh0+Kt+h-KthKt=
=K(t)limh0+in(h,t)=K(t)kKt=k.

Przykład
Odsetki proste Kt=1+trK, t0,T.

inh,t=Kt+h-KthKt=1+t+hrK-1+trKh1+trK=
=hrh1+tr=r1+tr.

Jak widać, stopa nominalna nie zależy od długości okresu h i maleje wraz z upływem czasu. Największa wartość przyjmowana jest w momencie początkowym

inh,0=r.
iefh,t=Kt+hKth-1=1+t+hr1+trh-1=
=1+hr1+tr1h-1

Zauważmy, że dla okresów długości 1 stopa efektywna i nominalna są równe.

ief1,t=1+r1+tr-1=r1+tr=in1,t.

Efektywna intensywność wynosi

γefh,t=ln1+iefh,t=1hln1+hr1+tr.

A więc ona również maleje w miarę upływu czasu.

Przykład
Odsetki złożone Kt=1+rtK, t0,T.

inh,t=Kt+h-KthKt=1+rh-1h.

Zauważmy, że stopa nominalna nie zależy od t. Dla okresów długości 1 wynosi ona

in1,t=r.
iefh,t=Kt+hKt1/h-1=1+rh1/h-1=r

A zatem stopa efektywna jest stała. Podobnie efektywna intensywność

γefh,t=ln1+r.

Przykład
Kapitalizacja ciągła Kt=ertK, t0,T.

inh,t=Kt+h-KthKt=1herh-1.

Zauważmy, że stopa nominalna nie zależy od t.

iefh,t=Kt+hKt1/h-1=erh1h-1=er-1

Jak widać, stopa efektywna jest stała. Podobnie efektywna intensywność

γefh,t=ln1+iefh,t=r.
Uwaga 2.5

W praktyce bankowej dla okresów do jednego roku stosuje się zazwyczaj stopę nominalną, a dla dłuższych efektywną.

2.2.7. Porównanie stopy nominalnej i stopy efektywnej

Niech Kt będzie dowolnym procesem akumulacji. Okazuje się, że to, która ze stóp, nominalna czy efektywna, jest większa, zależy tylko od długości okresu h.

Lemat 2.3

Dla ustalonego procesu akumulacji Kt i dowolnego czasu t0 zachodzą następujące implikacje

0<h<1inh,t<iefh,t,
h=1inh,t=iefh,t,
h>1inh,t>iefh,t.

Dowód.
Korzystamy ze wzoru na stopę nominalną

inh,t=Kt+h-KthKt=1hKt+hKt-1.

Ale jak wcześniej wyliczyliśmy

Kt+hKt=ief+1h=ehγef.

Zatem

in=1hehγef-1.

Rozważmy funkcję

fx=ex-1x

dla x>0. Można ją rozwinąć w szereg potęgowy zbieżny na całej prostej rzeczywistej.

fx=1xn=1xnn!=n=1xn-1n!

Pierwszy wyraz rozwinięcia jest stały, a wszystkie pozostałe są ściśle rosnące dla x>0. Zatem f też jest ściśle rosnąca. Zauważmy, że

in=fhγefγef.

Dla h=1 mamy in=fγefγef=eγef-1=ief.
Dla 0<h<1 mamy in<fγefγef=eγef-1=ief.
Dla h>1 mamy in>fγefγef=eγef-1=ief.

Możemy teraz przeformułować uwagę 2.5 z poprzedniego podrozdziału. W praktyce bankowej do określenia wysokości oprocentowania kredytów i lokat używa się minin,ief.

2.2.8. Rachunek czasu w matematyce finansowej

Jak ustaliliśmy wcześniej, czas mierzymy w latach. W związku z tym zachodzi pytanie, jak przeliczać dni na lata. Najprościej byłoby podzielić liczbę dni przez długość roku. Problem pojawia się, gdy następuje zmiana roku zwykłego na przestępny lub odwrotnie?

Metody stosowane przez banki.

1. Dokładna liczba dni:

t=m1365+m2366,

gdzie: m1 – liczba dni w roku zwykłym, a m2 – w przestępnym. Procent prosty obliczony w oparciu o dokładną liczbę dni nazywa się ,,dokładnym procentem prostym” (exact simple interest).

Metoda ta jest dość skomplikowana rachunkowo, dlatego stosuje się też inne, prostsze.

2. Zasada równych miesięcy.
Przyjmujemy, że każdy miesiąc ma równą liczbę dni – 30, a rok ma ich 360.

t=m360,

gdzie: m – pomnożona przez 30 liczba pełnych kalendarzowych miesięcy, powiększona o liczbę dni z ,,napoczętego” miesiąca.

m=D2-D1+30M2-M1+360R2-R1,

D1M1R1 oznacza datę rozpoczęcia inwestycji, a D2M2R2 datę zakończenia inwestycji. Procent prosty obliczony w oparciu o zasadę równych miesięcy nazywa się ,,zwykłym procentem prostym” (ordinary simple interest).

3. Reguła bankowa (Banker's rule).

t=m360,

gdzie: m – dokładna liczba dni.

2.2.9. Dyskonto

O dyskoncie mówimy, gdy opłata za korzystanie z cudzych pieniędzy jest pobrana z ,,góry”. Stopą dyskonta nazywamy stosunek zysku (zwanego wtedy dyskontem) do końcowej wielkości kapitału.

Dt=Kt-K0Kt.

W skali rocznej stopa ta wynosi

Dt=Kt-K0tKt,

gdzie: t – czas w latach. Stopa dyskonta jest ściśle związana ze stopą zwrotu.

Lemat 2.4
1-Dt1+rt=1

Dowód.

Dt=Kt-K0Kt=1-K0Kt,
rt=Kt-K0K0=KtK0-1.

Zatem

1-Dt1+rt=1-1-K0Kt1+KtK0-1=K0KtKtK0=1.

Uwaga. W matematyce aktuarialnej, aby podkreślić, że stopa dyskonta podana jest w skali rocznej, stosuje się symbol dm. Oznacza on stopę dyskonta dla okresu 1m roku w skali rocznej. Jeśli d=D1m oznacza okresową stopę dyskonta, to

dm=D1m=md i d=dmm.

Okazuje się, że dla krótkiego okresu czasu (czyli dużego m) i ,,gładkiego” procesu akumulacji dm mało różni się od im (wprowadzonego w §1.3.5).

Lemat 2.5

Jeżeli proces akumulacji Kt, t0,T, ma prawostronną pochodną w ,,0” równą k, to

limmdm=limmim=kK0.

Dowód.

im=mK1m-K0K0=1K0K1m-K01m.

Zatem gdy 1m zbiega do zera, to otrzymujemy w granicy kK0. Podobnie

dm=mK1m-K0K1m=1K1mK1m-K01m.

Zatem

limmim=limm1K1mlimmK1m-K01m=kK0.

Przykład
Rozważmy proces akumulacji ,,kapitalizacja ciągła” Kt=K0eγt. Kt jest różniczkowalny w ,,0” i K0=K0γ. Zatem

limmdm=limmim=γ.

2.3. Inflacja i realna stopa zwrotu

Za pomocą procesu bogactwa można też modelować ,,inflację”, czyli spadek wartości wybranej jednostki monetarnej – JM.

Ustalamy pewien koszyk dóbr konsumpcyjnych. Na podstawie cen tych dóbr w chwili t wyznaczamy CPIt – indeks cenowy konsumenta (consumer price index), czyli wartość koszyka w chwili t wyrażoną w JM. Stopa inflacji w okresie t1,t2, to względny przyrost CPI

rCPIt2,t1=CPIt2-CPIt1CPIt1.

Niech Kt będzie pewnym procesem bogactwa. Jeżeli chcemy ocenić, ile dóbr konsumpcyjnych można nabyć za Kt JM w chwili t, to musimy przeliczyć Kt na ,,koszyki”, czyli wyznaczyć wielkość zwaną jego realną wartością

Krealt=KtCPIt.

Stopę zwrotu procesu bogactwa Kreal nazywamy ,,realną stopą zwrotu”. Można ją łatwo wyznaczyć, znając stopę zwrotu procesu Kt i stopę inflacji.

Lemat 2.6

Wzór Fishera.

rrealt2,t1=rt2,t1-rCPIt2,t11+rCPIt2,t1.

Dowód.

rrealt2,t1=Krealt2Krealt1-1=Kt2Kt1CPIt1CPIt2-1=
=1+rt2,t11+rCPIt2,t1-1=rt2,t1-rCPIt2,t11+rCPIt2,t1.

Uwaga. Dla odróżnienia od realnej stopy zwrotu stopę rt2,t1 nazywa się ,,nominalną stopą zwrotu”.

2.4. Ćwiczenia

Ćwiczenie 2.1

Rozważmy proces bogactwa Kt=t2+2t+3, gdzie t0,1000 – czas w miesiącach,
a) sprawdzić, czy jest to proces akumulacji,
b) obliczyć miesięczny zysk Zn dla n-tego miesiąca,
c) obliczyć miesięczną stopę zwrotu rn dla n-tego miesiąca.

Rozwiązanie.
a) Dla t0 funkcja kwadratowa Kt=t2+2t+3 jest ściśle rosnąca, zatem
. K jest procesem akumulacji.
b) Zn=Kn-Kn-1=n2+2n+3-n-12-2n-1-3=2n+1.
c) rn=Kn-Kn-1Kn-1=2n+1n2+2.

Odpowiedź.K jest procesem akumulacji. W n-tym miesiącu zysk wynosi 2n+1, a stopa zwrotu 2n+1n2+2.

Ćwiczenie 2.2

Wiadomo, że proces akumulacji Kt ma postać at2+b, gdzie t0,100 – czas w latach. Wyznaczyć stopę zwrotu w okresie 5,10, jeżeli wiadomo, że 100 jednostek monetarnych zainwestowanych w chwili 0 akumuluje się do 172 po 3 latach.

Rozwiązanie. Z warunku K0=100, wynika, że b=100. Mamy także K3=172, co oznacza, że a32+100=172 czyli a=8. Zatem

K5=852+100=300,K10=8102+100=900,
r5,10=K10-K5K5=900-300300=2.

Odpowiedź. Stopa zwrotu w okresie 5,10 wynosi 200%, tzn. w ciągu tych pięciu lat kapitał uległ potrojeniu.

Ćwiczenie 2.3

Inwestor zainwestował na giełdzie 1024 zł. W pierwszym miesiącu poniósł stratę, stopa zwrotu wyniosła –50%. Natomiast w kolejnych miesiącach stopy zwrotu wyniosły +25%.
a) Wyznaczyć stopę zwrotu z pierwszego półrocza.
b) Wyznaczyć wartość inwestycji po pół roku.
c) Po ilu miesiącach inwestycja zaczęła przynosić zysk?

Rozwiązanie. Jako jednostkę czasu przyjmiemy miesiąc.

r6=1-0.51+0.255-1=54245-1=31252048-1=0.52588.

Zatem

K6=K01+r6=102431252048=1562.5.

Ponadto zauważmy, że

r4=1-0.51+0.253-1=125128-1=-0.023<0,
r5=1-0.51+0.254-1=625512-1=0.221>0.

Odpowiedź. Stopa zwrotu za pierwsze półrocze wyniosła 52.59%. Inwestycja po pół roku była warta 1562.5 zł, ale zysk przyniosła dopiero w piątym miesiącu od momemtu zainwestowania pieniędzy.

Ćwiczenie 2.4

Bank udzielił pożyczki w wysokości 1000 zł. Pożyczkobiorca spłacił ją w trzech ratach. Po pół roku wpłacił 500 zł, po 7 miesiącach 300, a po roku kolejne 300. Wyznaczyć łączną kwotę odsetek pobranych przez bank.

Rozwiązanie. Przeanalizujemy zadanie z punktu widzenia banku. Mamy cztery przepływy gotówki

CF0=-1000,CF1=500,CF2=300,CF3=300.

Zatem zysk banku (odsetki) wynosi

Z=CF0+CF1+CF2+CF3=-1000+500+300+300=100.

Odpowiedź. Bank pobrał 100 zł odsetek.

Ćwiczenie 2.5

Obliczyć wartość skumulowaną 2000 EUR zainwestowanych na pół roku na procent prosty, przy stopie procentowej 8% rocznie.

Rozwiązanie. Na podstawie definicji procentu prostego mamy

K0.5=20001+0.50.08=20001.04=2080.

Odpowiedź. Po pół roku inwestor otrzymał 2080 EUR.

Ćwiczenie 2.6

Obliczyć wartość skumulowaną 2000 EUR zainwestowanych na cztery lata na procent składany przy stopie procentowej 8% rocznie.

Rozwiązanie. Na podstawie definicji procentu składanego mamy

K4=20001.084=20001.36049=2720.98.

Odpowiedź. Po czterech latach inwestor otrzymał 2720.98 EUR.

Ćwiczenie 2.7

Obliczyć wartość skumulowaną 2000 EUR zainwestowanych na cztery i pół roku przy stopie procentowej 8% rocznie i rocznej kapitalizacji odsetek.

Rozwiązanie. Roczna kapitalizacja odsetek oznacza, że

K4.5=20001+0.081+0.081+0.081+0.081+0.50.08=
=20001.0841.04=20001.41491=2829.82.

Odpowiedź. Po czterech i pół roku inwestor otrzymał 2829.82 EUR.

Ćwiczenie 2.8

Obliczyć wartość skumulowaną kwoty 500 zł zainwestowanej na pięć lat na 8% (w skali rocznej) składane kwartalnie.

Rozwiązanie.

K5=5001+0.08445=5001.0220=742.97

Odpowiedź. Po pięciu latach inwestor otrzyma 742.97 zł.

Ćwiczenie 2.9

Rozważmy proces akumulacji Kt, gdzie t0,20 czas w latach. Niech rn roczna stopa zwrotu w n-tym roku. Pokazać, że rn=ief1,n-1.

Rozwiązanie. Z definicji efektywnej 1 rocznej (h=1!) stopy procentowej w n-tym roku mamy

Kn=Kn-11+ief1,n-1.

Zatem

rn=KnKn-1-1=Kn-11+ief1,n-1Kn-1-1=ief1,n-1.
Ćwiczenie 2.10

Obliczyć wysokość odsetek, jakie zarobił kapitał 2000 USD zdeponowany w banku 17 czerwca 1999 roku, jeśli pieniądze zostały wypłacone 10 września tego samego roku, a stopa procentu prostego wynosiła 8%. Zastosować trzy metody obliczania czasu.

Rozwiązanie. Dokładne oprocentowanie proste. Dokładna liczba dni inwestycji wynosi 85. Zatem otrzymujemy

20000.0885365=37.26

Reguła równych miesięcy. Formuła na obliczanie przybliżonej liczby dni daje wynik

3600+309-6+10-17=83

Stąd

20000.0883360=36.89

Natomiast reguła bankiera daje następujący wynik

20000.0885360=37.78.

Odpowiedź. Odsetki obliczone według dokładnej liczby dni wyniosły 37.26 USD, zgodnie z zasadą równych miesięcy 36.89 USD, a według reguły bankowej 37.78 USD.

Ćwiczenie 2.11

Porównujemy dwie roczne inwestycje o tej samej stopie zwrotu i tej samej stopie dyskonta. Wiemy o nich, co następuje:
Inwestycja A. Zysk płatny na końcu roku z zainwestowania kwoty K na jeden rok wynosi 336.
Inwestycja B. Dyskonto dla wypłaty K wynosi 300.

Obliczyć wielkość kwoty K, roczną stopę zwrotu r i roczną stopę dyskonta d.

Rozwiązanie. Na podstawie warunków zadania mamy

K1+r=K+336

oraz

K-3001+r=K.

Wstawiając 1+r z pierwszego równania do drugiego, dostajemy

K-300K+336K=K.

Mnożąc stronami przez K, mamy

K-300K+336=K2

co sprowadza się do równania

36K=300336

stąd K=2800. Ponadto otrzymujemy

r=336K=0.12,d=300K=0.1071.

Odpowiedź. Kwota K wynosi 2800. Natomiast stopy zwrotu i dyskonta wynoszą odpowiednio 12% i 10.71%.

Ćwiczenie 2.12

Bank proponuje swoim klientom roczną lokatę o oprocentowaniu stałym 8%. Wyznaczyć realną stopę zwrotu z tej lokaty, jeśli roczna stopa inflacji π wyniesie
a) 5%, b) 7%, c) 10%.

Rozwiązanie.

rreal=r-π1+π,

Zatem

ra=0.08-0.051+0.05=0.0286,
rb=0.08-0.071+0.07=0.0093,
rc=0.08-0.11+0.1=-0.0182.

Odpowiedź.Realna stopa zwrotu wyniesie odpowiednio 2.86%, 0.93% i –1.82%.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.